Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ИММАНУИЛА КАНТА

Г.С. Куприянова

ПРАКТИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ РАДИОФИЗИКА

Рекомендовано Редакционно-издательским советом Российского государственного университета им. Иммануила Канта

в качестве учебного пособия

Издательство Российского государственного университета им. Иммануила Канта

2008

Практическая квантовая радиофизика

где — диэлектрическая проницаемость среды, μ — магнит-

ная проницаемость среды. Положим μ = 1, = 1.

Из уравнений Максвелла получим уравнение для напряженности электрического поля в резонаторе. Используя традиционный подход, исключим из уравнений Максвелла величины, относящиеся к магнитному полю. Возьмем rot от правой и левой частей векторного уравнения (1.1):

В правой части этого равенства поменяем местами операции rot и ∂/∂t и подставим выражение (1.4) для вектора магнитной индукции. Тогда

Следует учесть, что равно нулю не divE , а divD , а divE лишь близка к нулю. Будем считать это равенство точным. Подставляя в левую часть уравнения (1.5) равенство (1.9), а в правую — равенство (1.8), получаем, что напряженность электрического поля будет удовлетворять волновому уравнению:

4

Раздел 1. Равновесное излучение в резонаторе

Кроме того, напряженность электрического поля должна удовлетворять следующему граничному условию на каждой стенке:

где n — нормаль к поверхности рассматриваемой стенки, так как стенка проводящая (если это условие не выполняется, то возникает движение электронов — ток, электрический ток приведет к выравниванию разности потенциалов и в конце концов установится положение, при котором вышеприведенное условие будет выполняться).

Волновое уравнение решается разделением переменных в виде

Подставляя (1.12) в уравнение (1.10), получаем:

где k — волновой вектор с компонентами такими, что выполняется соотношение k2 = kx2 + ky2 + kz2.

Общее решение уравнения, характеризующее временную зависимость волны (1.13), можно записать в виде

где А0, φ — амплитуда и начальная фаза колебания, (сk)2 = ω2. Решение (1.15) позволяет найти амплитуду колебаний вол-

ны в данной точке резонатора, не зависящую от времени и соответствующую определенной конфигурации стоячей волны

5

Практическая квантовая радиофизика

электромагнитного поля внутри резонатора, которую называют модой резонатора. Решение уравнения (1.14) было получено Гельмгольцем в виде

Кроме того, решения (1.16) удовлетворяют граничным условиям (1.11) на трех плоскостях x = 0, y = 0, z = 0, а также на

стенках резонатора x = LX, y = LY, z = LZ, где LX, LY, LZ — длина резонатора по осям x, y и z соответственно. Кроме того, необ-

ходимо учесть, что электрическое поле должно удовлетворять условию (1.3), которое приводит к U 0 . Подставляя (1.16) в U 0 , получим:

следовательно, из трех величин ex , ey , ez только две являются

независимыми. Поэтому каждому волновому вектору будут соответствовать две независимые компоненты. Кроме того, из (1.18) получаем соотношения вида

Здесь m, n, q — произвольные положительные числа, описывающие количество узлов моды стоячей волны в направлениях x, y, z соответственно. Учитывая, что k2 = kx2 + ky2 + kz2, найдем выражение для набора возможных частот моды:

6

Раздел 1. Равновесное излучение в резонаторе

с центральной длиной волны λ = 600 нм резонатора объемом

1 см3.

Решение.

На первом этапе найдем число мод Nν резонатора, имеющих частоты от 0 до ν. Это число будет таким же, как и число

волновых векторов k , величины которых находятся в пределах 0 — 2c . Дискретный набор волновых векторов задается

выражением (1.20). В системе координат kx, ky и kz возможные значения для k даются векторами, соединяющими начало координат с узловыми точками трехмерной решетки. Число таких точек можно легко подсчитать, если учесть, что точки должны лежать только в положительной октанте. Число точек, соответствующих положительным величинам k в пределах

0 — 2c , равно 1/8 отношения объема сферы с центром в на-

каждого значения k возможно существование двух мод, мы имеем:

где V — объем резонатора.

7

Практическая квантовая радиофизика

Определим количество мод, приходящихся на единичный частотный интервал. Продифференцируем выражение (1.22), получим:

Учитывая связь между частотой и длиной волны, легко найти количество мод, приходящихся на единичный интервал длин волн, из (1.23).

Оценим численное значение, подставляя данные задачи в

(1.25):

Задача 1.2. Определить спектральную плотность энергии, заключенную в этой полости, если считать, что за среднюю энергию одной моды можно принять среднюю энергию осциллятора.

Решение.

1. Получим решение для случая классического осциллятора. Средняя энергия классического осциллятора <E> = kT. Тогда спектральную плотность энергии получим умножением числа мод, заключенных в единице объема полости и в единичном частотном интервале, на среднюю энергию осциллятора. Используя (1.23), найдем:

Это известная формула Релея — Джинса.

8

Раздел 1. Равновесное излучение в резонаторе

2. В случае квантового осциллятора средняя энергия зада-

тральную плотность энергии можно определить в виде:

Задача 1.3. Определить, на какой длине волны наблюдается максимум функции спектральной плотности. Определить значение этой длины волны, если полость, в которой заключена электромагнитная энергия, имеет температуру Т = 6000 К.

Решение.

Закон Вина гласит, что произведение длины волны, на которую приходится максимум спектральной плотности на температуру, есть величина постоянная и равна постоянной Вина:

maxT b , b = 2,9 · 10–3 м · К.

Тогда max b /T 2,9 10 3 / 6 103 0,473 мкм.

Задача 1.4. Оценить напряженности электрического и магнитного полей монохроматического излучения гелий-неоно- вого лазера с λ = 632,8 нм мощностью 100 мВт при поперечном сечении пучка 1 см2? Чему равен поток фотонов? Чему равно давление излучения? Чему равны напряженности электрического и магнитного полей микроволнового излучения с частотой 30 ГГц (30 · 109 Гц) генератора мощностью 100 мВт при таком же поперечном сечении пучка в 1 см2?

Задача 1.5. Согласно закону Стефана — Больцмана, полная

интенсивность излучения во всем спектре частот черного тела I пропорциональна Т4, I = σТ4, где σ = 5,67 · 10–8 Дж · м–2 · с–1 ·К–4

— постоянная Больцмана. Покажите, что это соотношение согласуется с формулой Планка.

9

Практическая квантовая радиофизика

Задача 1.6. Покажите, что формула Релея — Джинса может быть получена из формулы Планка для высоких температур или низких частот (kT >> hν).

Задача 1.7. Температура огненного шара атомной бомбы достигает 106 К. Чему равна длина волны или частота наиболее интенсивного электромагнитного излучения огненного шара? Какое количество фотонов будет испущено, если предположить, что 5 мг вещества превращено в энергию и вся энергия будет испущена в виде электромагнитной энергии, соответствующей максимуму излучения?

Задача 1.8. Лазер на СО2 работает на одном колебательновращательном переходе. Примем, что частота перехода равна 3 · 1013 Гц с шириной на полувысоте 10 Гц и выходная мощность СО2 лазера, работающего в непрерывном режиме, составляет порядка 10 Вт. Чему должна равняться температура источника черного тела с поперечным сечением 1 см2, эквивалентного лазеру с такой выходной мощностью?

Задача 1.9. Клистрон, или генератор обратной волны, который используется в микроволновой спектроскопии, дает мощность в 0,1 Вт в полосе частот от 1 до 100 ГГц с шириной полосы 100 кГц. Оценить соответствующую выходную мощность теплового излучения с температурой 2000 К и сечением 1 см2 при 30 000 МГц? Считать, что ширина полосы излучения черного тела равна ширине полосы клистрона 100 кГц? Можно ли считать источник теплового излучения в виде черного тела эквивалентным обычному клистрону, используемому во вращательной спектроскопии?

10