Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

Раздел 7. Взаимодействие лазерного излучения с веществом

Здесь использованы следующие обозначения:

ˆ

Vnm n | V | m ;

ˆ

Hnm n | H0 | m Em nm.

Окончательно получим:

будут очень сильно осциллировать, и наибольший вклад в (7.7) будут вносить слагаемые вида dnm Eam ei( nm )t . Представим медленно меняющиеся коэффициенты в симметричном виде:

101

Практическая квантовая радиофизика

Упростим (7.8) и (7.9), умножив обе части уравнений соот-

Задача 7.2. Получить решение уравнений (7.10.1), (7.10.2). Оценить вероятность нахождения частицы на уровне 2. Получить выражение для поляризации среды, возбуждаемой лазерным облучением.

Решение.

Для получения решения уравнений продифференцируем уравнение (7.10.2), подставим выражение для производной от с1 из (7.10.1), а выражение для коэффициента с1 выразим из

(7.10.2), получим

c2 Asin( t) B cos( t) .

Примем за начальные условия c1(t 0) 1; c2 (t 0) 0. То-

гда получаем, что В = 0.

Подставим полученное решение в (7.10.2) найдем решение для с1:

Учитывая, что при t = 0 с1 = 1, найдем значение для коэффициента А.

102

Раздел 7. Взаимодействие лазерного излучения с веществом

Окончательно решение уравнений (7.10) имеем в виде

Из (7.14) видно, что волновые функции стационарных состояний в отсутствии внешнего воздействия оказываются ос-

циллирующими во времени с частотой .

Тогда вероятность нахождения частицы на уровне 2 (заселения уровня 2) равна:

При интенсивном облучении (частота Раби существенно превышает отстройку частоты поля от точного резонанса

02 2 ) двухуровневая квантовая система осциллирует между уровнями 1—2 с частотой Раби:

22 (1 cos( 0t)) / 2 .

Вслабом поле (частота Раби много меньше отстройки частоты поля от точного резонанса 02 2 ) вероятность нахож-

дения частицы на уровне 2 никогда не достигает единицы. При этом осцилляции вероятности происходят с частотой от-

стройки 22 02 (1 cos( t)) / 2 2 . При точном резонансе час-

тица достигает уровня 2 даже при слабом поле, хотя и за очень длительное время, определяемое медленностью осцилляций Раби.

Из (7.15) следует, что спектральная зависимость амплитуды вероятности заселения пропорциональна ~ 02 / 02 2

и является лоренцовской. При этом частота Раби играет роль уширения, обусловленного влиянием поля. Причем чем выше напряженность поля, тем больше уширение, что меняет резонансные свойства облучения [13].

103

Практическая квантовая радиофизика

Оценим возникновение поляризации среды под действием облучения, которая обусловлена смешиванием состояний 1 и 2 полем излучения, т. е. возникновение отличных от нуля недиагональных элементов матрицы плотностью ρ12, ρ21. Среднее значение дипольного момента равно:

Следует учитывать, что матричные элементы дипольного момента d12 = d21 одинаковы.

Подставляя полученные данные, имеем:

Тогда среднее значение дипольного момента

d d21 ( 12ei t 21e i t )

d21 4 0 2 sin2 ( t)cos( t) d21 4 0 sin(2 t)sin( t). (7.18)

Таким образом, наведенный полем дипольный момент осциллирует на частоте поля, а его величина определяется чле-

ном 02 /( 02 2 ) . Результирующая поляризация среды равна

N<d>. С другой стороны, наведенная поляризация оказывает обратное действие на поле. Известно, что ускоренно движущаяся частица излучает электромагнитную волну. Тогда в резонансном приближении и при предположении малости частот Раби по сравнению с частотой световых колебаний получаем [13]:

Следовательно, при облучении резонансным полем в веществе к исходному полю Ecos( ) добавляется составляющая, синусоидально модулированная по амплитуде, являющаяся когерентной и сдвинутая по фазе на 90 :

104

Раздел 7. Взаимодействие лазерного излучения с веществом

Глубина модуляции m ~ Nd21 2 , а частота модуляции равна

частоте Раби.

Медленное по сравнению с периодом световых волн периодическое изменение напряженности результирующего поля для заданной напряженности поляризующего поля при резонансном взаимодействии излучения со средой получило название эффекта световых нутаций (когерентные биения). Измерение частоты световых нутаций является наиболее точным методом измерения матричного элемента оператора дипольного момента резонансного перехода d21 [13].

Задача 7.3. Получить выражение для вероятности нахождения частицы на уровне 2 и для поляризации среды при резонансном импульсном воздействии облучающего поля.

Решение.

В условиях точного резонанса = 0 и уравнения (7.10) имеют вид

Следует учитывать, что в условиях импульсного воздействия резонансные условия справедливы, если · τимп << 1. Введем обозначения:

d 1 d12 E (t)dt . 2 2

Перепишем уравнения (7.21) с учетом новых обозначений:

105

Практическая квантовая радиофизика

Продифференцируем уравнение (7.21.2) по θ и подставим первую производную из (7.21.1), получим:

С учетом начальных условий решение запишем в виде

Аналогично предыдущему найдем населенности уровней:

Оценим поляризацию, вычисляя недиагональные элементы матрицы плотности:

Из (7.23) следует, что при импульсном воздействии, таком, что выполняется условие:

населенность инвертируется, ρ11 = 0, а ρ22 = 1. Импульс, полная площадь которого равна π, называется π-импульсом. При этом поляризация равна нулю. Если же импульс излучения равен π/2, то населенности выравниваются, а поляризация оказывается максимальной.

106

Раздел 7. Взаимодействие лазерного излучения с веществом

Задача 7.4. Оценить изменение поляризации резонансной среды под действием двух разнесенных во времени импульсов лазерного излучения. Отклик среды на двухимпульсное воздействие облучающего поля называют фотонным эхом. Оценить момент возникновения фотонного эха и условия, при котором его амплитуда максимальна [13].

Решение.

Пусть среда характеризуется разбросом частот с некоторым распределением F( ). Рассмотрим случай сильного поля:

02 2 и достаточно короткого импульса: Δτимп << 1.

Во время действия мощного лазерного импульса взаимодействие среды с полем можно рассматривать как резонансное.

Решение уравнений хорошо известно:

c1(t 1) exp(i / 2)cos( 1 / 2); c2 (t 1) i exp( i / 2)sin( 1 / 2).

В момент времени t = τ1 + τ включается второй импульс длительностью τ2. Во время действия второго импульса вновь

107

Практическая квантовая радиофизика

справедливы условия резонансного взаимодействия излучения со средой, и можно использовать уравнения (7.27). Общее решение запишем в виде:

c1 (t) Acos( 2 / 2) Bsin( 2 / 2) ;

c2 (t) C cos( 2 / 2) Dsin( 2 / 2) .

Константы можно определить из начальных условий для волновых функций и их производных:

A = c1 (t = τ + τ1), B = iC, C = c2 (t = τ + τ1), D = iA,

тогда решение получаем в виде

c1 cos( 21 )cos( 22 )exp(i 2 ) sin( 21 )sin( 22 )exp( i 2 );

c2 isin( 21 )cos( 22 )exp( i 2 ) i cos( 21 )sin( 22 )exp(i 2 ).

После окончание второго импульса для нахождения волновой функции можно использовать уравнения (7.29) с учетом того, что облучающее поле равно нулю: Е = 0.

Окончательно решения можно записать в виде:

c1 cos(21 )cos( 22 )exp(i 2 (T )) sin(21 )sin( 22 )exp(i 2 (T ));

c2 isin(21 )cos( 22 )exp( i 2 (T )) icos(21 )sin( 22 )exp( i 2 (T )).

Полученные уравнения позволяют рассчитать поляризацию. Учтем, что при τ, Т >> 1, после усреднения по отстройкам на больших временах (Т + τ) сильно осциллирующие члены, содержащие (T + τ), дают ноль. Тогда получаем:

c2c1* i cos( 21 )sin( 21 )sin2 ( 22 )exp( i 2 (T )) .

Окончательно, учитывая (7.16), выражение для среднего значения дипольного момента имеет вид:

d d21 sin( 1)sin2 ( 22 )sin( (T ) t) .

108

Раздел 7. Взаимодействие лазерного излучения с веществом

Из полученного выражения видно, что индуцированный дипольный момент зависит от площади как первого, так и второго импульсов. Кроме того, видно, что разброс частот приводит к разбросу фаз осцилляций отдельных диполей, которые и создают макроскопическую поляризацию. Усреднение по расстройкам обращает дипольный момент в нуль всегда за исключением момента времени T = τ. В этот момент времени фазовые набеги всех диполей одинаковы. Предположим, что разброс частот подчиняется распределению Гаусса, т. е.

F( ) 1 exp( 2 ) ,

20

где 0 — ширина функции распределения. Усреднение по расстройкам приводит к следующему соотношению:

Таким образом, осциллирующий дипольный момент излучает электромагнитные колебания, при этом пик излучения возникает в момент времени Т = τ. Излучение электромагнитных колебаний, возникающее при двухимпульсном воздействии в момент Т = τ, называют фотонным эхом. Амплитуда эха

максимальна, если θ1 = 900, θ2 = 1800.

Для хорошо разрешенных переходов при |d| = 0,3 Дебай, при длительности импульса τ = 1 нс для создания π-импульса необходимо излучение интенсивностью порядка 104 Вт/см2. Фотонное эхо наблюдалось в примесных люминесцентных кристаллах (рубине) и в молекулярных газах.

109