Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

Раздел 8. Нелинейные явления в оптике

Приравнивая упругую силу Fуп и силу F1 друг к другу, получаем:

Найдем решение уравнения относительно Ρ, считая член, пропорциональный Ρ3, малым. Пусть

где Ρ0, Ρ1 — члены нулевого и первого порядка малости соответственно.

Подставляя (8.6) в (8.5), получим два уравнения: одно для членов нулевого порядка малости, другое — для членов первого порядка малости:

В приближении слабого поля χ = e2N/k восприимчивость не зависит от внешнего поля.

Задача 8.2. Вычислить макроскопическую поляризацию и восприимчивость газа из частиц без постоянного электрического дипольного момента при воздействии переменного электромагнитного поляЕ(t). Рассмотретьзадачу вскалярнойформе [5].

Решение.

Уравнение движения электрона с зарядом e и массой m в электромагнитном поле имеет вид:

111

Практическая квантовая радиофизика

Пренебрегая членом –qr3 в выражении для Fуп получаем вместо (8.10):

m d2r/dt2 = eE(t) – γm drdt – kr

Уравнение для поляризации получим, учитывая P = erN:

Пусть напряженность поля E(t) меняется по гармоническому закону:

Тогда решение уравнения (8.12) будем искать в виде:

(ω20 − ω2)P0 (cosωt cosφ − sinωt sinφ) − γωP0× ×(cosωt sinωt + sinωt cosωt) = e2N/m Е0 cosωt.

Приравнивая соответственно коэффициенты при cosωt и sinωt нулю, имеем

Из первого равенства (8.14) определим фазу поляризации:

аподставляяэтовыражениевовтороеуравнение(8.14), получаем:

P0 = {(e2NЕ0/m) (1+tg2φ)–½ }/{ (ω0 – ω)2 – γωtgφ} = = (e2NЕ0/m)/{(ω20 – ω2)2 + (γω)2}½.

Окончательно решение уравнения для поляризации получаем в виде

P = {(e2N/m)cos(ωt + φ)} /{(ω20 – ω2)2 + (γω)2}½. (8.16)

Вдали от резонанса | ω – ω0 | >> γ, т. е.

(γω/(ω02 – ω2) (γω)/(2ω(ω0 – ω)) = γ/(2(ω0 – ω))

(здесь использовано приближение ω0 + ω 2ω), tgφ 0 и выражение (8.16) принимает вид:

112

Раздел 8. Нелинейные явления в оптике

где χ(ω) = (e2N)/(m | ω02 – ω2 |).

Если напряженность электромагнитного поля достаточно велика, то велико и смещение электрона, тогда в выражении для Fу нужно учесть нелинейный член –qr3. Тогда уравнение

движения электрона запишется как m d2r/dt2 = eξ – γm drdt – kr – qr3, а уравнение для поляризации

d2P/dt2 + γ dPdt + ω20P +(q/e2N2m)P3 = (e2N/m)E. (8.18)

Учитывая, что напряженность поля E(t) меняется по гар-

моническому закону и что | ω – ω0 | >> γ, член γ dPdt много

меньше членов d2P/dt2 и ω20P, и им можно пренебречь. Нелинейный член, пропорциональный P3, будем учитывать только в первом порядке малости. Решение уравнения для поляризации будем искать в виде:

где P0 — член нулевого, а P1 — член первого порядка малости. Подставляя (8.19) в (8.18) и собирая отдельные члены нулевого и первого порядка малости, получаем два уравнения:

Учитывая, что напряженность поля E(t) меняется по гармоническому закону:

E3(t) = E03 (t)/4(3cosωt + cos3ωt).

113

Практическая квантовая радиофизика

Используя это равенство, запишем уравнение (8.23) в виде d2P1/dt2 + ω20P1 = –(qχ3(ω)/me2N2)E03(3cosωt + cos3ωt). (8.24)

Это уравнение гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила (правая часть уравнения), состоящая из двух членов: один меняется с частотой ω, другой — с частотой 3ω. Поэтому решение уравнения (8.24) будем искать в виде:

Подставляя его в уравнение (8.24) и приравнивая порознь коэффициенты при cosωt и cos3ωt нулю, имеем:

Объединяя решения (8.22) и (8.26), получим окончательно:

P = P0 + P1 = χ(ω, E0)E0 cosωt + χ(3ω, E0)E0cos3ωt, (8.27)

где

χ(ω, E0) = χ(ω) – (3qχ3(ω)/4me2N2 (ω02 – ω2))E02;

χ(3ω, E0) = –(qχ3(ω)/4mN2e2(ω20 – ω2))E03,

а величина χ(ω) определяется формулой (8.22). Следовательно, в сильном электромагнитном поле частоты

ω в поляризации появляется дополнительная компонента на утроенной частоте. Однако известно, что заряд, совершающий гармоническое колебание некоторой частоты, излучает монохроматическую электромагнитную волну той же частоты. Введение ангармонической возвращающей силы привело к появлению двух волн: кроме частоты ω появилась волна на частоте равной 3ω (третья гармоника).

Задача 8.3. Определить форму и ширину линии комбинационного рассеяния в газообразной среде в зависимости от направления наблюдения. Распределение атомов по скоростям в выбранномнаправлениизадается распределениемМаксвелла [5]:

114

Раздел 8. Нелинейные явления в оптике

где υ — скорость в данном направлении; υ0 — наиболее вероятная скорость [5].

В вычислениях понадобится табличный интеграл

где Φ — интеграл вероятности.

Решение.

Будем использовать выражение для вероятности испускания фотонов с частотой, резонансной переходу m l,

где γn, γn, γe — константы затухания, определяющие ширины уровней; mn ; G d2mn E .

Это легко проверить непосредственным сравнением вычисленных правых и левых частей уравнения (8.29). При тех же предположениях

115

Практическая квантовая радиофизика

иутверждение (8.28) принимает вид:

G 2 G 2

2

Учет движения атомов в случае бегущих волн сводится к тому, что частоты (Ω) и (Ωμ) вследствие эффекта Доплера из-

меняются: Ω Ω – k , Ωμ Ωμ – k , где k и k — волно-

вые векторы волн. Это означает, что для движущегося атома выражение (8.31) имеет вид:

q k k.

Очевидно, для справедливости (8.32), т. е. для справедливости (8.29), (8.30) и n m i 2 2 , требуется более

жесткое условие, чем раньше: величина Ω должна быть не только больше однородных ширин уровней γn, γm, но и больше доплеровской ширины (Ω >> kv0).

Для получения формы линии комбинационного рассеяния в газообразной среде необходимо усреднить (8.32) по распределению скоростей f(υ).

получаем из (8.32):

116

Раздел 8. Нелинейные явления в оптике

Аналогично берут и второй интеграл в фигурной скобке. В результате имеем:

117

Практическая квантовая радиофизика

Первый член в фигурной скобке определяет форму линии ступенчатого перехода, второй — форму линии комбинационного рассеяния. Форма линии — доплеровская. Ее полуширинаД определяется членом, входящим в знаменатель показа-

теля экспоненты:

Задача 8.4. Самофокусировка и дефокусировка света в нелинейной среде:

1.Оценить длину самофокусировки для гауссова пучка, имеющего круглое сечение радиуса а. Длиной самофокусировки называют путь L, при прохождении которого в нелинейной среде пучок сходится к оси.

2.Оценить мощность, необходимую для получения длины

самофокусировки L = 10 см при сечении пучка a = 1 см в сероуглероде, если n0 = 1,62 и n2 = 0,22 · 10–19 м2/В2.

118

Раздел 8. Нелинейные явления в оптике

Решение.

1. На длине самофокусировки между осевым лучом и крайними лучами образуется разность фаз:

nL / c ,

где n n2 E02 — изменение показателя преломления, вызван-

ного нелинейностями.

С другой стороны, изгиб волнового фронта можно найти следующим образом:

n0b / c n0a2 /(2cL) .

2. Будем предполагать, что распределение амплитуд волн в пучке дается соотношением:

E(r) E(0) 1 r2 / a2 .

Тогда для средней плотности потока энергии имеем:

Мощность потока энергии в пучке равна:

где σ — площадь поперечного сечения. После интегрирования получаем:

P 0n0cE02a2 / 4 0n0ca4 /(8n2 L2 ) .

Подставляя численные значения, находим:

Р = 10 МВт.

119