Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

Раздел 6. Пространственная структура лазерных пучков

лентного резонатора было показано, что пучок, формируемый любым устойчивым резонатором (рис. 6.2), описывается формулами (6.3) и (6.7), если известны соответствующие значения конфокального параметра zk и положение перетяжки пучка. Более того, радиус кривизны волнового фронта и конфокальный параметр одинаковы для всех мод, поэтому можно ограничиться рассмотрением основной моды. Также следует учитывать, что тип колебаний лазерного пучка при его формировании не изменяется.

а

б

Рис. 6.2. Синфазные поверхности для моды ТЕМ00 в конфокальном резонаторе (а) и в обобщенном сферическом резонаторе (б)

Три основных параметра используются для характеристики сформированного пучка: радиус перетяжки r(0), расхо-

димость пучка 2 и расстояние от плоскости перетяжки до

81

Практическая квантовая радиофизика

задней фокальной плоскости zp. Тогда конфокальный параметр пучка zk r (0) / . Для произвольного лазерного резонатора

длиной dp с зеркалами, имеющими произвольную кривизну R1 и R2, можно использовать следующие формулы для нахождения оптической силы ФС и длины эквивалентного симметричного резонатора dC.

Знание параметров симметричного резонатора позволяет оценить конфокальный параметр:

Для симметричного резонатора длиной L радиус перетяжки пучка основной моды можно оценить по формуле

Легко проверить, что в частном случае конфокального резонатора формулы совпадают с (6.6) и (6.7).

Задача 6.2. Лазерный резонатор образован вогнутыми зеркалами, радиус кривизны которых R1 = 2 м и R2 = 3 м. Длина резонатора L = 1 м. Длина волны излучения λ0 = 0,633 мкм. Определить положение и диаметр перетяжки, а также расходимость пучка на уровне энергии 0,01 для основной моды.

Решение.

1. Оценим параметры симметричного резонатора по фор-

муле (6.11):

ФС = 2/3 + 2/2 – 4/6 = 1 дптр; dC d p ( 1 2 C ) / C 2,67 м

и конфокальный параметр по формуле (6.12): zk = 0,94 м.

82

Раздел 6. Пространственная структура лазерных пучков

2. Так как зеркала имеют разные радиусы кривизны, то плоскость перетяжки пучка будет смещена относительно середины резонатора в сторону зеркала с меньшей оптической силой. Величину смещения оценим по формуле:

0,5 + 0,17 = 0,67 м от второго.

3. Найдем размер пучка в центре перетяжки и на зеркалах

Положим z = 0, zk = 0,94 м, коэффициент Km = 1,519 можно определить по графику (см. рис. 6.1):

тогда диаметр пучка d(0) = 0,66 · 2 мм = 1,3 мм.

Положим в формуле (6.9) z = 0,33 м, zk = 0,94 м и коэффициент Km = 1,519, тогда диаметр пятна на первом зеркале d(0,33) = 0,68 · 2 мм = 1,37 мм; при z = 0,67, zk = 0,94 м коэф-

фициент Km = 1,519, тогда размер пятна на втором зеркале d(0,67) = 0,8 · 2 мм = 1,6 мм.

Задача 6.3. Используя метод эквивалентного конфокального резонатора, получить формулы для вычисления радиусов пучка на зеркалах и в перетяжке, а также для расстояний от зеркал до положения центра перетяжки.

Ответ:

83

Практическая квантовая радиофизика

перетяжке.

Расстояния от положения центра перетяжки до зеркал:

6.3. Матричный метод расчета основных параметров пучка

Рассмотрим луч света, проходящий через оптический элемент (например, линзу или зеркало). Если луч распространяется вдоль оси Oz, то положение лучевого вектора 1 на данной входной плоскости оптического элемента (рис. 6.3) можно задать двумя параметрами: его смещением y1 от оси Oz и угловым смещением θ1. Аналогичным образом лучевой вектор 2 на выходной плоскости, которая располагается в точке z = z2, можно определить его радиальным y2 и угловым θ2 смещениями. В приближении параксиальных лучей угловые смещения θ предполагаются достаточно малыми, так что можно записать: sin θ ≈ tg θ ≈ θ. В этом случае выходные y2(θ2) и входные y1(θ1) переменные связаны друг с другом линейным преобразованием. Таким образом, если положить θ1 ≈ (dy1 / dz) и θ2 ≈ (dy2 / dz), то можно записать следующие соотношения:

84

Раздел 6. Пространственная структура лазерных пучков

где A, B, C, D — постоянные. Соотношение (6.15) можно представить в матричном виде:

где передаточная матрица преобразования лучей ABCD полностью характеризует данный оптический элемент в приближении параксиальных лучей. Матричные элементы связаны с координатами главных плоскостей и фокусным расстоянием оптической системы.

h1 = (D – 1)/C; h2 = (A – 1)/C; F = –1/C.

Определитель этой матрицы равен 1.

Рис. 6.3. Прохождение луча через оптический элемент (к матричному представлению распространения луча через произвольный оптический элемент)

Рассмотрим свободное распространение луча на расстояние z = L в среде с показателем преломления n. Если входная и выходная плоскости расположены в непосредственной близости от среды с показателем преломления n, то соответствующая матрица ABCD запишется в виде

Если луч проходит среды с различными показателями преломления, то следует использовать так называемую приведенную длину, или оптическую длину пути Lопт:

85

Практическая квантовая радиофизика

В качестве следующего примера рассмотрим распространение луча через линзу с фокусным расстоянием F (будем считать F положительным для собирающей линзы). Для тонкой линзы, справедливо следующее условие:

y2 y1 .

Из закона геометрической оптики следует, что 1/a + 1/b = 1/F, где a и b — расстояния до точки и ее изображения, с учетом

При вычислениях матрицы следует придерживаться следующих правил знаков. За положительное направление вращения принимается поворот вокруг оптической оси по часовой стрелке, а также вверх от оптической оси. За положительное направление оси Z берется направление слева направо для падающего вектора и справа налево для отраженного.

Рассмотрим отражение луча сферическим зеркалом с радиусом кривизны R (будем считать R положительным для вогнутого зеркала и отрицательным для выпуклого). В этом случае плоскости Z1 и Z2 выбирают таким образом, что они совпадают одна с другой и располагаются непосредственно перед зеркалом. С учетом этих соглашений матрица ABCD вогнутого зеркала с радиусом кривизны R и, следовательно, фокусным расстоянием F = R/2 совпадает с матрицей для положительной линзы с фокусным расстоянием F. Таким образом, ABCD-мат- рица запишется в виде

Здесь = 2/R = 1/F — оптическая сила зеркала.

86

Раздел 6. Пространственная структура лазерных пучков

Следует отметить, что каждому оптическому элементу в соответствии с его функциями отражения и преломления лучей можно сопоставить матрицу ABCD (см. табл. в прил.). Если имеется сложная оптическая система, то ее действие будет характеризоваться матрицей M, полученной путем перемножения всех матриц, характеризующих каждый элемент в отдельности Mi. Заметим, что порядок, в котором матрицы располагаются в произведении, является обратным по отношению к порядку, в котором световой луч проходит соответствующие оптические элементы:

M = Mn Mn–1 … M2 M1.

Следуетотметить важныесвойстварезультирующей M-матрицы:

1.Определитель матрицы равен единице, т. е. AD – BC = 1. Это выполняется для произвольной последовательности оптических элементов, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей.

2.След результирующей матрицы Sp(M) = (A + D) позволяет оценить тип устойчивости резонатора. Если выполняется

условие 1 (A D) / 2 1, то резонатор является устойчивым.

В противном случае резонатор будет неустойчивым. Это означает, что после некоторого числа проходов луч, удаляясь от оптической оси, может покинуть резонатор.

3. Собственные значения матрицы устойчивого резонатора связаны с расходимостью луча соотношением 1,2 exp( i ) .

При этом полезны следующие соотношения: cos (A D) / 2

и sin 1 (A D)2 / 4 .

Зная значения элементов результирующей матрицы, мож-

87

Практическая квантовая радиофизика

который совершает полный проход резонатора. Входную опорную плоскость расположим на поверхности правого зеркала. Луч, отразившись от зеркала произвольной кривизны R1 (первый оптический элемент, который можно характеризовать матрицей М1), частично выходит из резонатора, а частично отражается от зеркала и возвращается в резонатор, затем проходит через следующий оптический элемент — среду с показателем преломления n (матрица М2), отражается от левого зеркала с радиусом кривизны R2 (третьего оптического элемента — М3) и вновь проходит через активную среду с показателем преломления n (четвертый оптический элемент — М4). Выходная опорная плоскость также будет располагаться на поверхности правого зеркала. Результирующая матрица будет равна произведению четырех матриц:

M = M4 M3 M2 M1.

88

Раздел 6. Пространственная структура лазерных пучков

Используя матрицы для вышеназванных оптических элементов, запишем результирующую матрицу в виде

Здесь L — оптическая длина пути луча в резонаторе, 1 и 2

— оптические силы первого и второго зеркала соответственно. Вычисления М приводят к следующему результату:

Для того чтобы рассчитать параметры луча после N полных проходов через резонатор, необходимо возвести полученную матрицу М в N-ю степень. При этом полезно бывает использование теоремы Сильвестра, согласно которой матрица после N проходов будет рассчитываться по формуле

где А, В, С, D — элементы матрицы М после одного прохода;— расходимость луча после одного прохода.

Задача 6.4. Принять, что резонатор длиной L = 39,2 см образован двумя сферическими зеркалами, радиус кривизны которых равен R1 = 11 м и R2 = 12 м соответственно. В резонаторе генерируется излучение длиной волны 0,63 мкм. Проверить, является ли резонатор устойчивым. Оценить основные параметры гауссова пучка в данном резонаторе.

Решение.

1. Рассчитаем элементы матрицы ABCD, используя формулы результирующей матрицы М для резонатора. В нашем случае Ф1 = 2/R1 = 0,18 дптр, Ф2 = 0,167 дптр, L = 0,392 м. Тогда

А = 0,8;

В = 2L 1L2 = 0,756;

89

Практическая квантовая радиофизика

С = 1 2 1 2 L = –0,337;

D = 1 1L = 0,929.

Подставляя вычисленные элементы в матрицу M, получим:

хождений направление луча совпадет с первоначальным и ни один из лучей не выйдет из резонатора.

2. Радиус кривизны волнового фронта в выходной опорной

4. Положение сечения перетяжки z = (A – D)/2C = 0,187 м влево от правого зеркала (из-за различного радиуса зеркал координата смещена от центра резонатора).

5. Радиус пучка в сечении перетяжки

90