Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

L (m n 1) arctg(

N . (6.33)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Раздел 6. Пространственная структура лазерных пучков

Сходные результаты получаются, если использовать формулы для симметричного резонатора (6.11). Найдем параметры ФС и dC:

ФС = 2/11 + 2/12 – 4 · 0,392/132 = 0,33 дпт; dC d p ( 1 2 C ) / C 0,79 м

и оценим конфокальный параметр по формуле (6.12): zk = 1,486 м.

Результат согласуется с результатами, полученными матричным методом.

Задача 6.5.

Резонатор длиной L = 1 м образован двумя сферическими зеркалами, радиус кривизны которых одинаков и равен 4 м. В резонаторе генерируется излучение длиной волны 0,514 мкм. Используя метод эквивалентного резонатора, определить конфокальный параметр, радиус пятна в центре и на зеркалах.

Решение.

Радиус кривизны волнового фронта в конфокальном резонаторе рассчитывается по формуле (6.3). Можно считать, что зеркала радиуса кривизны R располагаются в местах расположения синфазных поверхностей некоторого конфокального резонатора, параметры которого неизвестны. Тогда в месте расположения первого зеркала можно записать:

R	(z) [x2 z2	]/ x ,
1	k

где x — координата синфазной поверхности, радиус которой совпадает с радиусом кривизны первого зеркала. Тогда для второго зеркала имеем:

R	(z) [(L x)2 z2	]/(L x) .
2	k

Здесь L — длина резонатора. Используя эти два уравнения, найдем неизвестные параметры: эффективный конфокальный параметр и координату центра эффективного конфокального резонатора. Вычтем второе уравнение из первого:

Практическая квантовая радиофизика

		R (z) x x2	z2 ;
		1		k
R (z) (L x) (L x)2					z2 .
2					k
Получим:
	L2 R (z) L				1
x		2			2 (м).
x	R	(z) R (z)	2L		2 (м).
1		2

Оценим конфокальный параметр из первого уравнения: zэк2 .кон R1(z) x x2 74 , тогда zэк. кон = 1,32 м.

Найдем размер пятна в центре и на зеркалах:

	2		7	–9	–4
r		(0)		= 216 · 10 м, r(0) = 4,6 · 10		м;
r		(0)	2	= 216 · 10 м, r(0) = 4,6 · 10		м;

r2 (12) 47 , окончательно r(1/2) = 4,9 · 10–4 м.

Тежепараметрымогутбытьрассчитаныматричнымметодом. Найдем матрицу ABCD:

А = –1/4;

В = 2L 1L2 = 3/2;

С = 1 2 1 2 L = –3/4; D = 1 1L = 1/2;

		0,25	1,5

	M	0,75	0,5	.
		0,75	0,5
Найдем	след матрицы	(А + D) = 0,25. Тогда (A + D)/2 =
= 0,125 < 1.	Следовательно, резонатор устойчивый, тогда

cos = (A + D)/2 = 0,125. Тогда = 82,80.

1. Радиус кривизны волнового фронта в выходной опорной

плоскости найдем по формуле R	2B	2 0,756	= 4 м (сов-
	D A	0,126

падает с радиусом кривизны зеркал).

Раздел 6. Пространственная структура лазерных пучков

Радиус сечения пучка на зеркале резонатора

r1/ e

= 0,49 мм.

sin

Положение сечения перетяжки z = (A – D)/2C = 0,5 м

влево от правого зеркала.

Радиус пучка в сечении перетяжки

sin

= 0,46 мм.

Конфокальный параметр пучка

sin

= 1,32 м.

Это

согласуется

длиной

эквивалентного

резонатора

Lэ = 2,64 м, найденной ранее.

6. Расходимость пучка 2

2r0

= 0,7 мрад.

sin

Задача 6.6. В предыдущей задаче одно из зеркал заменить на вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 1,5 м. Вычислить положение перетяжки пучка, размер пятна в перетяжке и на обоих зеркалах.

Ответ: z = 1/7 м, zк. = 0,74 м, r(0) = 0,35 мм.

Задача 6.7. Рассмотреть распространение луча конечного сечения в нелинейной среде, в которой коэффициент преломления меняется по закону

n n		1 n	2	y2	, n2<<n0.	(6.28)
0		2	2

Здесь y задает расстояние луча от оптической оси z. Такая ситуация реализуется в кристаллах лазеров на твердых диэлектриках. Путь луча в такой среде подчиняется уравнению

Практическая квантовая радиофизика

d 2 y	1	dn	,	(6.29)
dz2	n	dy

где ось z определяет направление оптической оси лазера [14, c. 157].

Определить матрицу ABCD прохождения луча через нелинейную среду.

Решение.

Решение дифференциального уравнения (6.29) с учетом условия (6.28) имеет вид:

y a exp(i	n2	z) bexp(i	n2	z) .	(6.30)
	n		n

При z = 0 во входной опорной плоскости имеем: y1 a b ;

тогда отклонение луча tgθ ~ θ (считаем, что углы малы) можно определить, найдя первую производную от y(z):

a i	n2	b i	n2	i	n2	(a b) .

1	n0		n0		n0

Отсюда найдем значения коэффициентов a и b:

a	1 ( y		i 1	)	и b	1 ( y		i 1	) .

	2	1	n2 / n0			2	1	n2 / n0

Тогда для выходных характеристик луча после прохождения среды длиной L, используя решение уравнения (6.30), можно записать соотношения:

y2 a exp(i L) bexp(i L) ;

2 ia exp(i L) ib exp(i L) .

Здесь	n2	.
Здесь	n	.
	n
	0

Подставляя найденные значения коэффициентов, запишем выходные характеристики луча после преобразований в виде

Раздел 6. Пространственная структура лазерных пучков

y2 cos( L)y1 sin( L) 1 / ;

2 sin( L) y1 cos( L) 1 .

Окончательно передаточная матрица ABCD имеет вид:

cos( L)

sin( L) /

sin( L)

cos( L)

Задача 6.8. Получить формулу для частоты

q,n,m

n m 1

arccos(

g g

)] ,

где

g 1

, здесь L — длина резонатора, R1, R2 — ра-

1,2

R1,2

диусы кривизны зеркал.

Решение.

При каждом отражении от зеркал пучок будет переходить сам в себя, что и обеспечит формирование моды резонатора. Будем предполагать, что эти моды можно отнести к семейству мод Эрмита — Гаусса и Лагерра — Гаусса, которые характеризуются одними и теми же значениями радиуса кривизны волнового фронта. Будем считать, что резонатор является устойчивым сферическим резонатором. Условие резонанса будет выполняться, если фазовый сдвиг внутрирезонаторного пучка за двойной проход по резонатору будет равен целому числу, умноженному на 2 , т. е.

2 ,

(6.31)

где — сдвиг фазы при прохождении волны от одного зеркала к другому; N — целое число. На оси резонатора (r = 0)

(d1) (d

kL (m n 1) arctg( rd21 )

2 )
arctg(	d2 ) .	(6.32)
	r2
	0

Практическая квантовая радиофизика

Считается, что зеркала расположены на расстояниях d1 и d2 от области сужения пучка и L = d1+ d2. С учетом (6.32) условие резонанса (6.31) принимает вид:

Длина волны в приведенных соотношениях — это длина волны, которую имела бы соответствующая плоская волна, если бы она распространялась в той же среде и с той же частотой, что и мода гауссова пучка. Длина волны гауссова пучка могла быть определена как расстояние вдоль оси, соответствующее фазовому сдвигу 2 . Ее величина, однако, не является постоянной и зависит, хотя и незначительно, от положения вдоль оси моды Эрмита — Гаусса. Условие резонанса можно выразить непосредственно через параметры резонатора. Выразим сначала расстояния d1 и d2, радиусы пучков r1 и r2 на зеркалах 1 и 2, минимальный радиус пучка r0 через радиусы кривизны зеркал R1 и R2 и расстояние d между ними. Таким образом, можно записать:

				r4
R	d		0			;		(6.34)
			2 d
1		1
			1
				r4
R	d			0			.	(6.35)
				2 d
2		2			2

Освобождаясь от величины r0 (радиус пучка в центре перетяжки) в этих уравнениях, получаем:

(R1 d1) /(R2 d2 ) d2 / d1 .	(6.36)
Учитывая равенство
L = d1+d2,	(6.37)
можно найти параметры d1 и d2:
d1 L(R2 L) /(R1 R2 2L) ;	(6.38)
d2 L(R1 L) /(R1 R2 2L) .	(6.39)

Раздел 6. Пространственная структура лазерных пучков

Подстановкой (6.39) и (6.38) в (6.34) или (6.35) находим минимальный радиус пучка r0:

r4	2	L(R L)(R L)(R R L)
		1	2	1 2	.	(6.40)
			(R1 R2 2L)2
0

Используя выражения (6.39), (6.38) и (6.40), легко найти величину радиусов пучков на зеркалах резонатора:

r4	R	2		L(R L)
	1		2		;	(6.41)
				(R1 R2 L) (R1 L)	;	(6.41)
1				(R1 R2 L) (R1 L)
r4	R	2		L(R L)
	2			1	.	(6.42)
	2			(R1 R2 L) (R2 L)	.	(6.42)
2				(R1 R2 L) (R2 L)

Вышеприведенные выражения позволяют записать условие резонанса в форме, включающей в явном виде параметры резонатора. Воспользуемся известной тригонометрической формулой:

		arctg arctg
						1					,					(6.43)
						1					,					(6.43)
arccos
arccos						2		2	2	2
				1		2		2	2	2
				1
где
		d1					L(R2 L)					;				(6.44)
		r2			(R L)(R R L)							;				(6.44)
		r2			(R L)(R R L)
		0		1				1	2
		d2					L(R1 L)						.			(6.45)
		d2			(R L)(R R L)								.			(6.45)
		r2			(R L)(R R L)
		0		2				1	2
Путем алгебраических преобразований выражение (6.43)
можно привести к виду:
arctg(	d1		) arctg( d2 ) arccos								g g				.	(6.46)
arctg(			) arctg( d2 ) arccos								g g				.	(6.46)
	r2				r2							1		2
		0					0

С учетом (6.46) условие резонанса (6.31) примет вид:

Практическая квантовая радиофизика

Выражение (6.47) позволяет определить резонансную частоту (собственную частоту резонатора) при N = q, (q — число продольных мод):

q,n,m	c	[q	n m 1	arccos( g g	2	)] .

	2L			1

Задача 6.9. He-Ne-лазер, генерирующий излучение на длине волны λ = 632,8 нм, имеет усиление 2 % за проход. Резонатор образован двумя вогнутыми сферическими зеркалами, имеющими одинаковые радиусы кривизны R = 5 м и расположенными на расстоянии L = 1 м друг от друга. Какого диаметра необходимо выбрать диафрагмы внутри резонатора, размещая их с обоих торцов, чтобы получить генерацию толь-

ко на моде ТЕМ00?

Ответ: d = 1,1 мм.

Раздел 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ

Рассмотрим резонансное взаимодействие лазерного излучения с веществом. К резонансному облучению будем относить такое облучение на частоте ω двухуровневого перехода ωmn, при котором выполняются следующие условия [13]:

— энергия взаимодействия частицы с полем не слишком велика, или V 21 , здесь

21	E2 E1	,	(7.1)

где Е2 и Е1 — энергетические уровни активных частиц, |V| — величина возмущения, обусловленного действием облучения;

— 21 — отстройка частоты перехода относительно частоты облучающего поля мала, << ω21, ω.

Для разрешенных дипольных переходов V d E 21 ,

d ~ 10–18 CГCЭ (1 Дебай), условие резонансного облучения нарушается для инфракрасного излучения при интенсивностях порядка 1011 — 1013 Вт/см2, а для видимого и ультрафиолетового — при 1013 — 1015 Вт/см2. Для сохранения условия резонансности напряженность поля излучения не должна превышать так называемую атомную напряженность поля, т. е.

E	e	5 10	9	В/см, где rБ = 0,5 · 10	–10	м — радиус первой
E	r2	5 10		В/см, где rБ = 0,5 · 10		м — радиус первой
	Б

боровской орбиты атома водорода. Это соответствует интенсивности линейно-поляризованного света I = 3,5 · 1016 Вт/см2.

Задача 7.1. Используя нестационарное уравнение Шредингера, получить систему уравнений, описывающую состоя-

Практическая квантовая радиофизика

ние системы при резонансном взаимодействии среды с лазерным облучением.

Решение.

Задача решается в так называемом резонансном приближении. Нестационарное уравнение Шредингера имеет вид

ˆ
H \| (t) i	t	\| (t) .	(7.2)
		ˆ ˆ	ˆ
Гамильтониан состоит из двух частей ( H H0			V ): основ-

ного гамильтониана, собственные функции и собственные значения которого известны, и малого гармонического возму-

щения Vˆ dˆ E(t) dˆ E (exp( j t) exp( j t)) / 2, где dˆ —

оператор дипольного момента.

Решение нестационарного уравнения Шредингера будем искать в виде

| (t) am e

iEm t

| m ,

(7.3)

где | m — собственные функции гамильтониана H0 .

Подставим (7.3) в уравнение (7.2), получим:

iEmt

iEm

iEmt

| m

am e

i am e

iEmt

| m ,

(7.4)

H0am e

| m Vam e

iEn t

умножим обе части уравнения на e

n | и учтем ортонор-

мированность базисных функций. Получим:

i mn an e

i(En Em )t

Enan e

i(En Em )t

am Hnm e

Vnm am e

(7.5)

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]