Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

Раздел 2. Принцип работы лазера

денным состоянием 4 A2 . Произвести численные оценки для

пороговой населенности для начала генерации на линии R1 при комнатной температуре, считая, что полуширина линии люминесценции ν = 5,5 см–1. Учесть, что распределение частиц

на близкорасположенных уровнях E и 2A подчиняется распределению Больцмана.

Ответ: n(E ) 4,6 1018 см 3 , n(4 А2 ) 7,3 1018 см 3 , n(2A) 4,09 1018 см 3 .

Задача 2.5. Опираясь на схему энергетических уровней (см. рис. 2.1, б) и учитывая, что частота перехода между уров-

(g2=2) и4 A2 (g1=4).

Ответ: Т = –0,85 · 105 К.

21

Раздел 3. Форма линии излучения. Ширина линии излучения

К однородному уширению приводят:

1) спонтанные излучательные переходы, ответственные за естественную ширину линии; естественная ширина линии

связана с конечностью времени жизни частицы на энергетическом уровне из-за соотношения неопределенности, она определяет тот предел, ýже которого ширина спектральной ли-

нии быть не может: 2 1 . В оптическом диапазоне есте-

ственная ширина линий составляет для атомов 105 — 107 Гц, а для молекул 10 — l02 Гц;

2)безызлучательные переходы, вызванные неупругими соударениями частицы с ей подобными, с частицами другого сорта, с квазичастицами;

3)соударения частиц газа между собой; столкновительное

уширение имеет порядок 3 103 — 3 104 Гц (при комнатной температуре и давлении 0,1 Па);

4)соударения частиц газа со стенками газовой ячейки: столкновения со стенками уширяют линию на 103 — 104 Гц;

5)пролетная ширина (при работе с пучками).

Механизм уширения, вызывающий в излучении отдельных атомов различные изменения линий поглощения (излучения), называют неоднородным. Он действует таким образом, что резонансные частоты отдельных атомов распределяются в некоторой полосе частот и, следовательно, линия всей системы оказывается уширенной, форма линии описывается функцией Гаусса:

Примером неоднородного уширения является доплеровское, которое в оптическом диапазоне составляет 108 — 1010 Гц.

Когда два или несколько механизмов уширения дают сравнимые по величине вклады, результирующая форма линии определяется сверткой этих процессов. Следует учиты-

23

Практическая квантовая радиофизика

вать, что свертка лоренцева контура шириной ∆ν1 с лоренцевым контуром шириной ∆ν2 приводит снова к лоренцевой линии шириной ∆ν = ∆ν1 + ∆ν2. Свертка гауссова контура шири-

ной ∆ν с гауссовым контуром шириной ∆ν2 является опять гауссовой линией шириной ∆ν = (∆ν12 + ∆ν22)1/2.

Таблица 1

Ширины линий для различных механизмов уширения в различных средах

Задача 3.1. Оценить уширение линии неона, соответствующее длине волны генерации 0,6328 мкм, вызванное

эффектом Доплера при температуре Т = 300 К. Доказать, что форма линии описывается гауссовым распределением.

Решение.

Атомы неона в газе находятся в хаотическом тепловом движении. Известно, что из-за доплер-эффекта первого порядка частота излучения частиц, движущихся в направлении

наблюдателя со скоростью , смещается на величину 0 с ,

где 0 — частота излучения покоящихся частиц (частота

24

Раздел 3. Форма линии излучения. Ширина линии излучения

атомного перехода), и смещается на величину – 0 с для час-

тиц, движущихся в направлении от наблюдателя. В газе атомы неона движутся с различными скоростями движения, как по величине, так и по направлению, поэтому сдвиги по частоте будут различны. Следовательно, данный механизм приводит к неоднородному уширению.

Для вычисления формы линии учтем, что форма линии излучения газа будет определяться функцией распределения излучающих частиц по скоростям f . Тогда для нахождения

форм-фактора линии можно записать следующее соотношение: g( 0 )d g 0 d f d , здесь 2 .

Частота излучателя, движущегося со скоростью υ относи-

Форма линии, задаваемая кривой вида (3.4), называется гауссовой кривой. Гауссова кривая достигает максимума в точке0 . Тогда в максимуме форм-фактор имеет значение

25

Практическая квантовая радиофизика

Подставляя данные задачи в формулу (3.5), найдем полуширину линии:

Общая ширина линии равна 1,31 ГГц.

Задача 3.2. Вычислить доплеровскую ширину линии D ,

соответствующую переходу в молекуле СО2 с длиной волны 10,6 мкм при температуре Т = 400 К.

Ответ: 0,61 · 108 Гц.

Задача 3.3. Основными механизмами, вносящими вклад в ширину линии, являются столкновительное уширение и доп-

26

Раздел 3. Форма линии излучения. Ширина линии излучения

леровское уширение. Вследствие столкновений уширение линии, соответствующей переходу в молекуле СО2 с длиной волны 10,6 мкм при температуре Т = 400 К составляет

N = 5 МГц/мм рт. ст. Определить, при каком давлении углекислого газа D доплеровский механизм вносит такой же

вклад в уширение линии, как и столкновительный механизм.

Решение.

Используя формулу для ширины линии перехода при доплеровском уширении, получим:

А зная, что вклад столкновительного уширения составляет 5 МГц/мм рт. ст., подсчитаем давление, при котором доплеровское уширение дает тот же вклад:

0 N / D 0,1 . Наиболее типичные параметры для гелийнеонового лазера с длиной волны 0,6328 мкм: N 100 — 200 МГц, а D 1300 — 1700 МГц.

Примечание 2.

1 атм = 760 мм рт. ст. = 101325 Па; 1 Па = 7,5 · 10–3 мм рт. ст.

27

Практическая квантовая радиофизика

Задача 3.4. Вычислите однородную ширину линии перехода с λ = 0,622 мкм в неоне, если известно, что

Δνест = 20 МГц, а Δνстолкн = 0,64 МГц. Какую форму имеет результирующая линия?

Решение.

Так как каждый из механизмов, вносящих вклад в ширину линии, относится к однородному уравнению и описывается ункцией Лоренца, то и результирующая кривая также будет представлять собой лоренцеву линию. Для лоренцевой линии справедливо следующее соотношение:

Следовательно, результирующая ширина линии равна:

0 =20,64 МГц.

Задача 3.5. Форма линии сигнала ядерного магнитного резонанса. Определить величину максимального сигнала поглощения ядерного резонанса As75 (спин ядра S = 3/2, гиро-

магнитное отношение = 45,7 106 рад c–1 Т–1) в образце GaAs, помещенном в постоянное магнитное поле с индукцией B0 = 2,3 Т, при температуре Т = 300 К. Учесть, что напряжение, соответствующее максимуму поглощения, индуцируется в катушке, настроенной на резонанс, индуктивностью L = 1 мкГн,

релаксации принять равным Т1 = 0,1 с [6].

Решение.

Сигнал поглощения, наводимый в катушке, настроенной в резонанс, равен V FQ V0 , где V0 — амплитуда высокочас-

тотного напряжения, приложенного к катушке; V0 LI0 ; I0 —

ток, протекающий в катушке. Мнимая часть комплексной высокочастотной восприимчивости, обусловливающая сигнал поглощения, дается формулой

28

Раздел 3. Форма линии излучения. Ширина линии излучения

чивость, которая может быть оценена из закона Кюри, N — число ядер в единице объема вещества.

Максимальное значение сигнала поглощения (в данном случае — напряжения) достигается при оптимальном радио-

С другой стороны, амплитуда радиочастотного поля связана с током, протекающим в катушке: B1 = 0nI0, где n — число витков на единицу длины.

Время релаксации Т2 может быть определено из ширины линии, если предположить, что линия поглощения описывается лоренцевой кривой:

29

Практическая квантовая радиофизика

V FQ LI0 11 мкВ.

При вычислениях учитывалось, что контур настроен строго на резонанс 0 и радиочастотное поле имеет оптималь-

ное значение.

Задача 3.6. Оценить ширину линии ядерного резонанса для 19F в монокристалле фторида кальция CaF2, если учесть, что основной вклад в ширину линии вносят диполь-дипольные взаимодействия между соседними парами ядер. Считать, что ядра фтора являются единственными магнитными ядрами, которые образуют кубическую решетку с постоянной решетки, равной 2,73 А. Принять, что внешнее магнитное поле направлено вдоль оси куба [6].

Решение.

Ширину линии в магнитном резонансе можно оценить, используя формулы Ван-Флека для второго момента. Моментами спектральной линии M n называют параметры, которые

частоты резонанса.

Можно показать, что задание всех моментов равносильно

заданию формы линии g( ). Связь между вторым моментом и шириной линии зависит от формы линии. Если учесть, что диполь-дипольное взаимодействие приводит к гауссовой форме линии, то можно записать следующее соотношение:

B 2 2ln 2 B2 ,

где B — полная ширина линии между точками на резонансной кривой, отстоящими от вершины пика на половину его высоты;

< B2> — второй момент линии. Воспользуемся формулой ВанФлека для второго момента в случае одинаковых спинов:

30