Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

Раздел 4. Теория квантового генератора

Окончательно получим стационарное решение для разности фаз:

Из (4.69) видно, что если предположить, что частота лазерного перехода равна частоте резонатора ωл = ωр, то cos( ) 0

и, следовательно, разность фаз равна /2, т. е. поляризация опережает поле по фазе на 90 , следовательно, энергия от среды передается полю.

Найдем решение для разности населенности, используя первое

и второе уравнения из (4.68) и приравняв отношение E1 :

P1

Из первого уравнения выразим поляризацию:

Найденное соотношение подставим в третье уравнение и окончательно получим:

61

Практическая квантовая радиофизика

Для начала генерации необходимо, чтобы амплитуда поля была больше нуля. Для случая ωл = ωр это достигается при условии

N0 2 2 23 0 . d p

Знак равенства соответствует пороговой разности населенности. Тогда уравнение (4.73) можно записать с учетом введенных обозначений в виде

где Nпорог 2 2 23 0 . d p

Из (4.74) следует: чем выше добротность и чем больше превышение инверсной населенности, создаваемой источником накачки, надпорогом, тембольше амплитуда поля врезонаторе.

Задача 4.3. Оценить плотность мощности возбуждения, требуемой для поддержания инверсной населенности в единице объема активной среды. Сравнить результаты для лазеров на рубине и неодиме.

Принять, что плотность активных частиц в рубине составляет N0 = 2·1019 см–3, пороговая разность населенности Nпо-

рог = 1018 см–3, время продольной релаксации T1 = 4·10–3 с, энергия лазерного перехода, соответствующая излучению в крас-

ной части видимого спектра (λ = 0,6943 мкм), л 2,7 10 19 Дж. Считать, что резонатор лазера характеризуется постоян-

принять следующие параметры: пороговая разность населен-

62

Раздел 4. Теория квантового генератора

ности Nпорог = 2,2·1016 см–3, время продольной релаксации T1 = 4·10–4 с, энергия лазерного перехода л 1,7 10 19 Дж,

постоянная затухания резонатора p / Qp 2 109 c 1 .

Решение.

Плотность мощности источника возбуждения, требуемую для поддержания инверсной населенности в единице объема активной среды, можно оценить следующим образом:

W л ( Nпорог NСТ ) ,

2T1

где ΝСТ — равновесная разность населенности. Оценивая плотность мощности для рубина, получаем 600 Вт/см3.

Для лазера на стекле с неодимом требуется меньшая пороговая мощность возбуждения, так как при четырехуровневой схеме возбуждения нижний уровень рабочего перехода, находящийся на значительном расстоянии от основного состояния, при тепловом равновесии практически не содержит активных частиц. Тогда для плотности мощности источника возбуждения для неодима получаем:

W л Nпорог .

2T1

Оценки дают 19 Вт/см3.

Задача 4.4. Привести систему уравнений (4.68) к укороченной форме. Исследовать стационарный режим квантового генератора с одним возбуждаемым типом колебаний на устойчивость. Считать, что при генерации частота линии и собственная частота резонатора совпадают. Оценить, при каком превышении над порогом стационарный режим становится неустойчивым для молекулярного генератора:

ωл = ωр = 2π · 2,4 · 1010 Гц, Qр = 104, 1/Т1 = 1/Т2 = 104 с–1.

Решение.

63

Практическая квантовая радиофизика

Используем систему уравнений (4.68) для стационарного случая:

0 2 Peq d 2 Neq Eeq sin eq ;

1( Neq N0 ) Eeq Peq sin eq .

z0 N0 . Если ωл = ωр, sin Φ = 1, то систему уравнений, опи-

Neq

сывающую квантовый генератор с одним возбуждаемым типом колебаний, можно преобразовать к виду [5]:

причем стационарные значения равны: x = y = z = 1. Эти уравнения называют укороченными уравнениями.

Исследуем, при каких условиях решения уравнений будут устойчивы. По Ляпунову, решение будет устойчивым, если малое изменение начальных условий не может вызвать больших изменений решений.

Зададим малые отклонения от стационарных условий: x = 1 + δx, y = 1 + δy, z = 1 + δz и исследуем, будут ли устойчивы стационарные значения системы (4.75). Найдем систему

64

Раздел 4. Теория квантового генератора

линейных уравнений первого порядка относительно δx, δy, δz, пренебрегая членами второго порядка малости.

Решение линеаризованной системы уравнений найдем в виде

Подстановка решения в (4.75) приводит к следующей системе уравнений:

Далее исследование на устойчивость сводится к исследованию решений системы уравнений. Система уравнений устойчива, если корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. Если система уравнений имеет нетривиальное решение, то определитель, составленный из коэффициентов уравнения (4.75), должен обращаться в нуль:

Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение в виде

λ3 + λ2 (γ3 + γ2 + γ1) + λ (γ1γ3 + γ1γ2z0) + 2 γ1 γ2γ3 (z0 – 1) = 0. (4.77)

Согласно критерию Рауса — Гурвица, для того чтобы все корни действительного уравнения имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства T0 > 0, T1 > 0, T2 > 0, где T0 = α0, T1 = α1,

первой и третьей степенях характеристического уравнения (4.77). Выше порога генерации z0 > 1, следовательно

65

Практическая квантовая радиофизика

α0 = 2γ1 γ2 γ3(z0 – 1) > 0;

α1 = γ1 γ3 + γ1 γ2 z0 > 0.

Выясним, при каких условиях появляется неустойчивость,

т. е. T2 < 0:

которое приводит к соотношению

Таким образом, стационарный режим в квантовом генераторе с одним возбуждаемым типом колебаний становится неустойчивым, если реализуется условие (4.80). Для молекулярного генератора справедливы условия γ2 = γ1 >> γ3, тогда неравенство (4.80) переходит в z0 > γ3/γ1.

Согласно условиям задачи γ3/γ1 ≈ 103, т. е. порог должен быть превышен примерно в 103 раз для появления неустойчивости.

66

Практическая квантовая радиофизика

В оптическом диапазоне используют открытые резонаторы. Удаление части стенок объемного резонатора приводит к тому, что большая часть собственных колебаний будут сильно затухающими и лишь малая их часть затухает слабо. В результате спектр открытого резонатора сильно «разреживается». Таким образом, под открытым резонатором понимают некоторую колебательную систему, образованную совокупностью зеркал, в которой могут возбуждаться и поддерживаться слабо затухающие электромагнитные колебания оптических и СВЧ диапазонов с излучением в свободное пространство. Плоскопараллельный резонатор представляет собой два зеркала, между которыми помещается рубиновый стержень или любое другое рабочее вещество лазера (такой резонатор принято называть интерферометром Фабри — Перо). Если допустить, что между двумя плоскими зеркалами, расположенными на расстоянии L друг от друга, распространяется плоская волна, то в результате отражения от зеркал в пространстве между зеркалами образуется стоячая волна. Условие резонанса имеет

вид: L = q /2, или

где q — целое число, называется продольным индексом колебания. Например, если длина волны равна 500 нм и расстояние между зеркалами 25 см, то q = 106. Тогда разность резонансных собственных частот соседних продольных или аксиальных мод открытого резонатора равна

Для лазера с резонатором, имеющим длину 25 см, интервал между соседними резонансными частотами равен

6 108 c 1 600 Мгц. Большинство линий лазерных пере-

ходов шире, чем 600 МГц, поэтому в пределах уширенной линии содержится много продольных мод.

Однако следует учитывать, что края зеркал сильно искажают поле плоской волны, что приводит к появлению колебаний с различными поперечными индексами m и n.

68

Раздел 5. Открытые резонаторы

Моды открытого резонатора обозначаются сходно с обозначениями мод закрытого резонатора: ТЕМmnq, где ТЕМ означает поперечную электромагнитную световую волну, состоящую из электромагнитных полей, которые перпендикулярны к направлению распространения волны. Обычно, q очень велико для практических размеров лазeрa. Величины же т и n, наоборот, достаточно малы и часто определяются при исследовании лазерного излучения. Поэтому при записи мод с определенными значениями m, n и q величина q обычно опускается, ТЕМmn, но при этом следует помнить, что каждая мода по-прежнему сохраняет продольный характер, соответствующий некоторому конкретному значению q. Обычно важно знать, сколько продольных типов колебаний содержит спектр лазерного излучения, так как именно число продольных мод является величиной, определяющей полноеуширение спектра излучениялазера.

Рис. 5.1. Модовая структура мод низшего порядка

Если поперечные индексы малы, т. е. (m, n) << q, то резонансные частоты плоскопараллельного резонатора можно найти из выражения (1.21) путем разложения его в степенной ряд:

69

Практическая квантовая радиофизика

Тогда разность частот между поперечными модами, отличающимися только значениями m на 1, равна:

Для типичных значений L разность частот между поперечными модами составляет порядка нескольких мегагерц. Из (5.3) следует, что моды с одинаковыми значениями q, но разными m и n, такими, что m2+n2 = const, имеют одну и ту же частоту. Такие моды называют частотно-вырожденными.

Открытые резонаторы с плоскими зеркалами чувствительны к деформациям и перекосам зеркал, что ограничивает их применение. Этого недостатка лишены открытые резонаторы со сферическими зеркалами, в которых лучи, неоднократно отражаясь от вогнутых зеркал, не выходят за пределы огибающей поверхности — каустики. Резонатор, состоящий из двух сферических зеркал, имеющих одинаковые радиусы R и расположенных на расстоянии L друг от друга так, что их центры кривизны совпадают (т. е. L = 2R), называют концентрическим или сферическим резонатором. В этом случае моды резонатора представляют собой приближенно суперпозицию двух сферических волн, исходящих из точки С1 и распространяющихся в противоположных направлениях.

Поскольку волновое поле быстро убывает вне каустики при удалении от нее, излучение из сферического открытого резонатора с каустикой гораздо меньше, чем излучение из плоского. Разрежение спектра в этом случае реализуется благодаря тому, что размеры каустики, ограничивающей поле, растут с ростом m и n.

Для обобщенного сферического резонатора резонансные частоты можно оценить по формуле

70