Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

Раздел 5. Открытые резонаторы

диусы кривизны зеркал. Параметры g1, g2 имеют важное значение, так как они определяют устойчивость обобщенного резонатора. Резонатор называется неустойчивым, когда произвольный луч, последовательно отражаясь от каждого из двух зеркал, удаляется на неограниченно большое расстояние от оси резонатора. Если луч после отражения от зеркал остается в пределах ограниченной области, то резонатор называется устойчивым. Можно доказать, что обобщенный резонатор является устойчивым, если выполняется условие

Примером резонатора, параметр g которого лежит на границе, разделяющей области устойчивую и неустойчивую, является конфокальный резонатор. Резонатор, состоящий из двух сферических зеркал, имеющих одинаковые радиусы кривизны R и расположенных на расстоянии L друг от друга таким образом, что фокусы зеркал F1 и F2 совпадают, называют конфокальным резонатором. Отсюда следует, что центр кривизны С одного зеркала лежит на поверхности второго зеркала (т. е. L = R). Для конфокального резонатора резонансные частоты удовлетворяют соотношению

Как видно из представленной формулы, моды в конфокальном резонаторе являются вырожденными.

Следует отметить, что как конфокальный резонатор, так и концентрический сферический резонатор применяются нечасто, так как они имеют очень небольшой размер пятна в центре. Это не позволяет эффективно использовать поперечное сечение лазерной среды. Кроме того, эти резонаторы

71

Практическая квантовая радиофизика

TEM01 и основной моды колебаний TEM00 для резонатора, не содержащего активную среду. Рассмотреть обобщенный сферический резонатор длиной 0,5 м с зеркалами радиуса R1 = 4 м и R2 = 3 м и конфокальный резонатор длиной 1 м [5].

Решение.

1. Собственные частоты обобщенного сферического резонатора в отсутствии потерь определяются соотношением (5.5):

Учитывая, что изменяются только индексы поперечных мод, найдем разность между произвольной поперечной модой и основным колебанием:

Проведем численные оценки для обобщенного сферического резонатора длиной 0,5 м:

72

Раздел 5. Открытые резонаторы

2. Для конфокального резонатора можно воспользоваться формулой (5.7):

q,n,m 4cL [2q 1 n m] .

Тогда для типа колебаний n = 0, m = 1 разность частот равна:

n,m 0,0 4cL (n m) 4c 75 106 Гц.

5.2.Дифракционные потери

Суменьшением размеров зеркал резонатора возможны потери энергии, вызванные эффектами дифракции на зеркалах. В этом случае мода резонатора представляет собой определенную конфигурацию медленно затухающего поля с относительным распределением амплитуды, не изменяющейся во времени. В случае лазерной генерации потери энергии компенсируются за счет активной среды, что обеспечивает существование стационарного поля. Дифракционные потери определяются как доля энергии колебания, теряемая вследствие дифракции на зеркалах за один проход луча через резонатор.

На рисунке 5.3 для симметричного резонатора с круглыми зеркалами радиуса

априведена зависимость

73

Практическая квантовая радиофизика

блюдения в центр противоположного зеркала). Цифрами у кривых обозначена величина g-фактора резонатора.

Из рисунка 5.3 видно, что размер зеркал приводит к заметной деформации формы моды по отношению к рассчитанной в рамках модели бесконечной апертуры. При этом имеет место быстрый рост дифракционных потерь моды с уменьшением числа Френеля. В области Nфр 10 потери имеют незначительную величину (см. рис. 2 прил.).

Задача 5.2. Определить и сравнить между собой дифракционные потери типов колебаний ТЕМ00 (основной тип) и ТЕМ01 для резонаторов с плоскими зеркалами круглой формы. Рассмотреть резонаторы длиной L1 = 100 см, L2 = 50 см, длина волны излучения λ = 0,63 мкм, апертурный размер зеркал a = 0,3 см [5].

Решение.

1. Оценим число Френеля для резонаторов с L1 и L2 :

N1 a12 / L1 (0,3)2 /(0,63 10 4 100) 14; N2 23,4.

Для резонатора с плоскими зеркалами круглой формы при N ≥ 10 дифракционные потери на один проход определяются формулой

nm 5,23 10 2[ n(m 1) ]2 N 3/ 2 ,

где (nm 1) — (m + 1)-й корень функции Бесселя порядка n. Для условий задачи (01) ≈ 2,40, 1(1) ≈ 3,83.

Таким образом, 00 = 5,6 · 10–3, 01 = 1,4 · 10–2 для L1=100 см

и α00 = 2,6 · 10–3, α01 = 6,6 · 10–3 для L2.

Потери на проход для моды ТЕМ01 примерно в 2,5 раза выше, чем для основного типа колебаний ТЕМ00 в обоих случаях.

2. Оценить дифракционные потери можно из графиков, представленных на рисунке 1 приложения.

74

Раздел 5. Открытые резонаторы

Задача 5.3. Вычислить разность частот между двумя соседними модами TEM00 плоскосферического резонатора длиной 2 м (радиус кривизны сферического зеркала 5 м), используемого в CO2-лазере, работающем на длине волны

= 10,6 мкм. Считая, что в CO2-лазере ширина линии излучения, определяемая по уровню 0,5 от максимального значения, равна 50 МГц, найти число мод ТЕМ , частоты которых находятся в пределах этой линии.

L = 1 м. Радиус кривизны обоих зеркал резонатора R = 8 м. Выбрать такой размер апертуры зеркал, чтобы подавить моду ТЕМ01 и сохранить при этом генерацию на моде ТЕМ00.

Задача 5.5. Резонатор образован выпуклым сферическим зеркалом с радиусом кривизны R1 = –1 м и вогнутым сферическим зеркалом R2 = 1,5 м. Каково должно быть максимальное расстояние между зеркалами, чтобы резонатор оставался устойчивым?

75

Раздел 6. Пространственная структура лазерных пучков

Из (6.1) следует, что основная мода (m = 0, n = 0) будет описываться функцией Гаусса. Если распределение поля на зеркалах известно, то распределение поля в любой точке внутри резонатора можно рассчитать, используя интеграл Кирхгофа:

Радиус кривизны волнового фронта R(z) и фаза волны (z) задаются следующими соотношениями:

где r0 — радиус пучка в центре конфокального резонатора; zk L / 2 — конфокальный параметр пучка; z — координата

вдоль оси резонатора, отсчитываемая от его центра. Величина R(z) берется с положительным знаком, если

центр кривизны расположен слева от волнового фронта. Из формулы (6.3) следует, что в центре резонатора z = 0 радиус кривизны стремится к бесконечностиR , т. е. волновой фронт является плоским, в то время как на зеркалах z = zk = L/2, волновой фронт совпадает с поверхностью зеркал и радиус кривизны волнового фронта является мини-

мальным: R = L = 2zk.

Радиус пучка r(z), входящий в формулу (6.2), можно найти следующим образом:

77

Практическая квантовая радиофизика

где r0 — радиус пучка в центре конфокального резонатора, который дается формулой

Размер пятна r0 является минимальным. Поэтому величину r0 называют размером пятна в центре перетяжки пучка. Из формулы (6.5) следует, что для основного типа колебаний ТЕМ00 размер пятна, соответствующий уменьшению напряженности поля по сравнению с центром в е раз, на поверхности зеркал в конфокальном резонаторе равен:

r (z L / 2) L . (6.7)

Это в 2 раз больше, чем в центре резонаторе. Кроме того, размер пятна не зависит от размеров зеркал. Увеличение размеров отражателей приведет лишь к уменьшению дифракционных потерь.

Из формулы (6.6) следует важное соотношение между конфокальным параметром и размером пятна в центре перетяжки:

Если радиус пучка в перетяжке неизвестен, то можно использовать формулу в виде

где Km — коэффициент, зависящий от того, по какому уровню энергии относительно энергии на оси пучка и для какой моды

78

Раздел 6. Пространственная структура лазерных пучков

Задача 6.1. Рассчитать радиусы кривизны зеркал конфокального резонатора газового лазера длиной L = 150 см для генерации основной моды TEM00, который обеспечивал бы максимальную коллимацию пучка излучения длиной волны λ0 = 0,633 мкм. Оценить диаметр кюветы и параметры пучка излучения.

Решение.

1.Так как резонатор конфокальный, то радиусы кривизны равны длине резонатора R1 = R2 = L = 150 см.

2.Оценим радиус перетяжки пучка лазерного излучения внутри резонатора. Используем (6.6):

79

Практическая квантовая радиофизика

численные оценки дают 0,52 мрад.

5. Исходя из приведенных расчетов оценим минимальный диаметр кюветы как удвоенный диаметр пучка в центре перетяжки: dk = 4r0(0) = 4 · 0,3 мм = 1,2 мм (установлено, что для газоразрядных трубок метровой длины оптимальный диаметр составляет 7—9 мм).

6.2. Метод эквивалентного резонатора

Типичный гауссов пучок показан на рисунке 6.2, а. Сплошные линии характеризуют ширину пучка, а пунктирные линии, перпендикулярные оси, показывают фазовые фронты в различных точках вдоль пучка. Такой пучок существует внутри устойчивого резонатора, если зеркала поместить в тех местах, где радиусы кривизны волнового фронта пучка совпадают с радиусами кривизны зеркал. На таком принципе построен конфокальный резонатор: в определенных местах гауссова пучка расположены зеркала, радиус кривизны которых равен радиусу кривизны волнового фронта светового пучка. Из условия самосогласованности следует, что введение зеркал не меняет заданного распределения напряженности поля в гауссовом пучке. Если же мы поместим зеркала в другие места, такие, в которых радиус кривизны волнового фронта будет совпадать с радиусом кривизны зеркал, то мы также не изменим распределения поля. Таким образом, мы можем построить различные схемы резонаторов, которые соответствуют одному и тому же распределению поля. Такие резонаторы называют эквивалентными резонаторами. На основе понятия эквива-

80