Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

Раздел 3. Форма линии излучения. Ширина линии излучения

В этом выражении индексы k и j относятся к ядрам, на которых наблюдается резонанс; m — число структурно неэквивалентных ядер, в данном случае m = 1; rjk — значение радиусвектора, соединяющего ядра; jk — угол между приложенным полем и вектором rjk.

Из формулы следует, что с увеличением расстояния вклад от удаленных ядер будет уменьшаться. Атомные ядра, расположенные в кристалле по соседству с исследуемым ядром, можно сгруппировать по слоям, каждый из которых характеризуется определенным значением r. Для каждого такого слоя будет существовать одно или несколько значений направляющих косинусов, причем каждый из них может отвечать нескольким ядрам.

Воспользуемся таблицей для проведения вычислений второго момента.

31

Практическая квантовая радиофизика

Суммируя по выбранным ядрам, получаем:

< B2> = 13,9 10–8 Т2.

Тогда полная ширина линии для монокристалла

B 2,36 B2 8,8 10–4 Т.

В случае поликристаллических материалов следует учесть, что диполи ориентированы случайным образом. Усреднение по всем углам дает

В этом случае формула для второго момента имеет вид

Подставляя численные значения, находим для второго момента:

< B2> = 7,1 10–8 Т2.

Тогда полная ширина линии для поликристалла:

B 2,36 B2 6,3 10–4 Т.

Грубая оценка для ширины линии может быть получена, если предположить, что ширина линии обусловлена локальными магнитными полями, создаваемыми одним диполем в точке расположения второго диполя, B 2Bлок . Причем

32

Раздел 3. Форма линии излучения. Ширина линии излучения

выражением

зии равно: C r2 , где r — расстояние между ближайшими

8D

атомами натрия, равное 3,7 10–10 м [4].

Решение.

Ширина линии в магнитном резонансе определяется временем поперечной или спин-спиновой релаксации Т2.

где ВY,Z — компоненты флюктуирующего магнитного поля, вызывающего уширение линии, 0 — время корреляции молекулярного движения. Можно выделить два вклада в ширину линии магнитного резонанса — секулярное и несекулярное уширение. Секулярное уширение вызвано неоднородностью внешнего магнитного поля:

33

Практическая квантовая радиофизика

Несекулярное уширение обусловлено конечностью времени жизни. На основании соотношения неопределенности можно записать:

E 1 ,

T1

Тогда, считая флюктуирующее поле изотропным, уширение, обусловленное обоими факторами, будет определяться соотношением

1 1' 1 .

T2 T2 2T1

Из приведенных соотношений видно, что при уменьшении времени корреляции молекулярного движения 0 время релак-

сации Т2 возрастает и линия сужается (случай быстрого движения в невязких жидкостях). С другой стороны, при возрас-

тании 0 до значений 0 T2 возникает ситуация, при которой

расфазировка спинов наступает раньше, чем происходит скачкообразное изменение поля. Поэтому расфазировку уже нельзя считать случайным процессом. В этом случае ширина линии не будет зависеть от частоты скачков и, следовательно, от температуры. Это случай жесткой дипольной решетки в твердом теле, который реализуется при низких температурах. На графике можно видеть, что в интервале температур от 0 до 170 К ширина линии постоянна. Оценим значение ширины линии, предполагая, что она полностью определяется локальным полем ближайших соседей:

34

Раздел 3. Форма линии излучения. Ширина линии излучения

Тогда 2 Bлок = 3 103 рад/с. Из графика видно, что это значение несколько меньше экспериментального. При температуре 170 К < T < 220 К диффузия атомов натрия сквозь решетку вызывает флуктуирующие локальные магнитные поля, что приводит к сужению линии. Критическое значение дости-

гается при 0 T2 , т. е. когда время корреляции молекулярного

движения становится сравнимо с обратной шириной диполь-

ной линии. С уменьшением времени корреляции 0 локальные дипольные поля усредняются и ширина линии еще больше сужается, что можно наблюдать при температурах T > 220 К.

гласно условию задачи, и предполагая, что механизм сужения

Кроме того, считая, что линия имеет гауссову форму, имеем:

диполь-дипольными взаимодействиями.

Для дальнейших вычислений необходимо определить Tn. Продолжая кривую в сторону низких температур и считая ее ход линейным, найдем точку пересечения с горизонтальным участком кривой. Это дает следующее значение для температуры Tn = 175 К, и при этом ширина линии (по графику)

d d = 17 103 рад/с. Вычисления дают следующие значения

для коэффициента диффузии D0 = 3,0 10–3 м2/с. Экспериментальное значение, полученное с помощью меченных атомов,

D0 = 2,42 10–5 м2/с. Это свидетельствует об очень грубой модели для определения температуры Tn. Кроме того, исследования показывают, что форма линии изменяется от гауссовой до лоренцевой при высоких температурах.

35

Практическая квантовая радиофизика

Задача 3.8. Линия магнитного резонанса ядер со спином I > 1/2 уширена вследствие взаимодействия квадрупольного момента ядра с градиентом электрического поля. Для одноквантовых переходов величина уширения описывается выражением

Q 3eQ(2m 1) VZZ , 4J (2J 1)

где Q — электрический квадрупольный момент ядра; <VZZ> — усредненный по ядрам градиент электрического поля. Такой эффект наблюдался для резонанса на ядрах 115In (I = 9/2) в InSb в присутствии примеси Te. Увеличение концентрации Te контролировалось путем измерения P максимума производной от амплитуды линии поглощения по частоте.

Оценить величину <VZZ>, если предположить, что при концентрации Te, равной n = 1024 м–3, максимум сигнала производной уменьшается в три раза для перехода 3/2 — 1/2 в образце без примеси. Считать, что форма линии — гауссова. Квадрупольный момент Q = 1,2 10–28 Кл м2, ширина линии в беспримесном образце = 4,6 103 рад/с, диэлектрическая проницаемость InSb ε = 15,9 [6].

Решение.

Амплитуда линии поглощения гауссовой формы на некоторой частоте ω относительно резонансной ω0 задается соот-

ношением A aT2 exp( 2T22 ) . Тогда производная будет равна:

Следовательно, ширина гауссовой линии в присутствии нескольких механизмов уширения равна:

36

Раздел 3. Форма линии излучения. Ширина линии излучения

( )2 ( 0 )2 ( Q )2 ,

где 0 — ширина линии в нелегированном образце, Q — ширина линии в присутствии примеси. Согласно условию задачи, величина Р уменьшилась в три раза по сравнению со

значением в нелегированном образце. Тогда величина ( )2

должна увеличиться в три раза по сравнению с ( 0)2. Следо-

вательно, ( )2 = 3( 0)2. Теперь можно оценить вклад, обусловленный изменением градиента электрического поля

используя модель точечного заряда. Потенциал, создаваемый

центрации Te 1024 м–3 можно принять, что <r3> = 10–24 м3. То-

гда вычисленное значение равно <VZZ> = 1,8 1014 В/м2. Это значительно расходится с полученным экспериментальным результатом. Следует усовершенствовать модель, включив в рассмотрение эффекты, связанные с поляризацией диэлектрика, с поляризацией электронов атомного остова в электрическом поле ядра (антиэкранирующий эффект Стернхеймера).

Задача 3.9. Оценить сдвиг частоты центральной линии магнитного резонанса ядра 7Li (S = 3/2) вследствие взаимодействия квадрупольного момента ядра с градиентом электриче-

ского поля. Принять, что e2Qqzz / h 582 103 Гц, угол между

направлением магнитного поля и осью z, связанной с одной из главных осей тензора градиента электрического поля, β = 450 и 900. Ларморовская частота прецессии лития 12 МГц.

37

Практическая квантовая радиофизика

Решение.

Линия магнитного резонанса ядер со спином S > 1/2 не только уширяется, но и испытывает частотный сдвиг из-за взаимодействия квадрупольного момента ядра с градиентом электрического поля. Рассмотрим ядро со спином S > 1/2 в сильном магнитном поле В0, таком, что взаимодействия квадрупольного момента ядра с градиентом электрического поля можно рассматривать как возмущение. Тогда динамический частотной сдвиг, обусловленный квадрупольными взаимодействиями, во втором порядке теории возмущения можно рассчитать по формуле

скими уровнями энергии, возмущенными квадрупольными взаимодействиями, вычисленными во втором порядке теории

возмущения; Q(0) (En(0) En(0)1) / — частота между зееманов-

скими уровнями энергии в отсутствии квадрупольного взаимодействия; HQ — квадрупольный гамильтониан в лабораторной системе координат. В ЯМР лабораторная система координат связана с направлением магнитного поля и, как правило, ось Z совпадает с направлением внешнего магнитного поля B0. Тогда квадрупольный гамильтониан в лабораторной системе координат имеет вид

38

Раздел 3. Форма линии излучения. Ширина линии излучения

(3sin cos sin cos cos2 i sin sin2 )e i (I IZ IZ I )

(3sin cos sin cos cos2 i sin sin2 )ei (I IZ IZ I )

12 (3sin2 (1 cos2 )cos 2 i2 cos sin 2 )e i2 I 2

12 (3sin2 (1 cos2 )cos 2 i2 cos sin 2 )ei2 I 2 .

Вычисление матричных элементов с учетом формул

J ,m | ˆz| J ,m m J J m m ,

J ,m | ˆ | J ,m J (J 1) m(m 1) J J m m 1,

J ,m| ˆ 2 | J,m 2 (J m)(J m 1)(J m 1)(J m 2) J J

приводит к следующему результату:

Здесь введена постоянная квадрупольного взаимодействия в

одноквантовых переходов, а второе — от двухквантовых пе-

реходов спина S. F1(β,α,η) и F2(β,α,η) — функции, зависящие от параметров решетки.

| F1( , , ) |2

(3sin cos sin cos cos2 )2 ( sin sin2 )2

9sin2 cos2 2 sin2 2 sin4 cos2(2 ) 6 sin2 cos2 cos(2 ).

39

Практическая квантовая радиофизика

Вычисления приводят к следующему результату:

| F2 ( , , ) |2 14 [(3sin2 (1 cos2 )cos 2 )2

4( cos sin 2 )2 ] 14 [9sin4 2 (1 cos4 )cos2 2

2 2 sin2 2 2 cos2 sin2 (2 ) 6 (1 cos4 )cos(2 )].

Выражения получены для общего случая. Применим их для частных случаев.

Рассмотрим переход из состояния n = –1/2 к n = 1/2, если спин полуцелый:

Из полученной формулы следует, что сдвиг уменьшается с увеличением индукции магнитного поля.

40