Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

Практическая квантовая радиофизика

где Bmn — коэффициент Эйнштейна; ρν — функция спектраль-

ной плотности энергии падающей электромагнитной волны. Число фотонов, поглощенных в единицу времени за счет вынужденного поглощения, равно

При этом частота излучения и поглощения равны частоте падающего излучения:

Фаза вынужденной волны совпадает с фазой падающей волной, падающая волна определяет направление распространения испущенной волны и ее поляризацию.

В состоянии термодинамического равновесия число фотонов, излучаемых в единице объема за единицу времени, должно быть равно числу фотонов, поглощенных в единицу времени. Это утверждение позволяет получить уравнение Эйнштейна:

2.2. Закон Бугера. Усиление излучения

Рассмотрим в какой-либо среде два произвольных энергетических уровня (1) и (2) с населенностями N1 и N2.

12

Раздел 2. Принцип работы лазера

Пусть в этой среде в направлении оси Z распространяется плоская волна с интенсивностью, соответствующей плотности потока фотонов F. Тогда изменение скорости потока dF, обусловленное как процес-

Здесь F — плотность фотонов в падающей волне; σ21 — величина, имеющая размерность площади, зависящая от характеристик данного перехода и называемая сечением вынужденного излучения (или поглощения). Из вышеприведенного уравнения видно, что в случае N2 > N1 среда ведет

себя как усиливающая dFdz 0 , а в случае N2 < N1 — как по-

глощающая.

Известно, что при термодинамическом равновесии населенности энергетических уровней описываются статистикой

Больцмана. Так, если N1e , N2e — населенность двух уровней при термодинамическом равновесии, то

где g1, g2 — факторы, определяющие степень вырождения уровней. В термодинамическом равновесии N2 < N1. Поэтому среда поглощает излучение на частоте ν = (Е2 – Е1)/ћ. Если же удастся добиться неравновесного состояния с N2 > N1, то среда будет действовать как усилитель.

Важной характеристикой неравновесного состояния является отрицательная температура, которая определяется следующим соотношением:

13

Практическая квантовая радиофизика

температура идентична обычной термодинамической темпера-

туре. Если N2 1 T 0 , то состояние системы с инверсной

N1

населенностью характеризуется отрицательной температурой. Если N1 = N2, то T . Это состояние соответствует насыщению системы.

Задача 2.1. В лазере активная среда размещена между двумя зеркалами с коэффициентами отражения (резонатор Фабри — Перо) R1 и R2. Предполагаем, что плоская электромагнитная волна распространяется только в направлении, перпендикулярном зеркалам, отражается от них, усиливается при каждом прохождении через активную среду. Принять, что сечение перехода активной среды равно σ, длина активной среды L. Найти пороговую разность населенности, при которой начнется генерация излучения.

Решение.

В лазере генерация начнется тогда, когда усиление активной среды компенсирует потери в нем. Усиление излучения за один проход в активной среде (т. е. отношение выходной плотности потока фотонов к входной) равно:

exp N2 N1 L ,

где L — длина активной среды.

Если R1 и R2 — коэффициенты отражения, то порог генерации достигается при выполнении условия

R1R2 exp N2 N1 L 1 .

14

Раздел 2. Принцип работы лазера

Это условие показывает, что порог достигается тогда, когда инверсия населенности приближается к некоторому критическому значению, называемому критической инверсией.

Как только достигнута критическая инверсия, генерация разовьется из спонтанного излучения. Фотоны, которые спонтанно испускаются вдоль оси резонатора, будут усиливаться.

Задача 2.2. Доказать, что в двухуровневой системе невозможно создать состояние с инверсной населенностью.

Решение.

Запишем кинетическое уравнение для населенности второго уровня:

Здесь τ — время жизни частиц из-за спонтанного перехода; Acn 1 ; W = W21 = W12 = ρνΒν — вероятность вынужденного

перехода.

Учтем, что общее число частиц не меняется: N1 + N2 = N0

— общее число частиц.

Введемновуюпеременную— разностьнаселенности(N1–N2)= = ∆N. С учетом новых переменных уравнение преобразуем к

С ростом интенсивности падающего излучения вероятность вынужденных переходов увеличивается, тогда

15

Практическая квантовая радиофизика

W 1 N 0 N1 N2 N20 .

Населенности уровней стремятся стать одинаковыми, следовательно, невозможно создать инверсию населенности, можно достичь только состояния насыщения.

Задача 2.3. Схема энергетических уровней ионов Сr3+ в рубине при температуре Т = 4,2 К показана на рисунке 2.1, а.

Основное состояние 4 A2 четырехкратно вырождено (g1=4).

Уровень Е, с которого происходит генерация излучения на

R1 линии, двукратно вырожден (g1=2). Плотность активных частиц стандартного рубинового лазера na = 1,6 · 1019 см–3, температура кристалла Т = 300 К, коэффициент отражения граней кристаллов, на которых нанесены зеркала, rотр = 0,9, длина кристалла 5 см, время жизни метастабильного уровня, обусловленное спонтанным излучением, τсп = 3·10–3 с, показатель преломления кристалла n = 1,76, длина волны излучения в вакууме λ0 = 7 ·10–7м. Принять, что энергетическая схема иона хрома в рубине может быть описана трехуровневой системой, показанной на рисунке 2.1, б. Записать кинетические уравнения для изменения населенности метастабильного состояния при возбуждении системы оптической накачкой, если в единицу времени в метастабильное состояние переводится W0 частиц. Вывести уравнение для числа фотонов, генерируемых в резонаторе, приняв, что реализуется одномодовый режим генерации, а время жизни фотона в резонаторе τr = 3 · 10–8 с. Определить пороговую разность населенности для начала генерации на R1 линии.

Решение.

При возбуждении оптической накачкой активные частицы с основного уровня 4А2 переходят на зеленую (4F2) и синюю (4F1) полосы поглощения, играющие основную роль в возбуж-

дении уровней Е и 2 А. Изменение населенности уровней

16

Раздел 2. Принцип работы лазера

а

n3

n2

n1

б

Рис. 2.1. Схема энергетических уровней ионов Сr3+ в рубине при температуре Т = 4,2 К (а) и соответствующая ей трехуровневая схема, используемая для расчетов населенности частиц активного вещества рубинового лазера (б).

связано со спонтанными переходами на нижние уровни, индуцированным поглощением и излучением и безызлучательными переходами. Уровни 4F1, 4F2 характеризуются большой скоростью релаксации колебаний кристаллической решетки, поэтому время жизни частиц в возбужденном состоянии мало. Вследствие спонтанного перехода с вероятностью А31 = 1/τсп и безызлучательного перехода с типичной вероятностью S32 = 5 · 105 с‾¹ частицы переходят на основной 4A2 уровень. Так как вероятность спонтанного перехода с уровня ²E мала, то ²Е можно рассматривать как метастабильное состояние. На

17

Практическая квантовая радиофизика

уровнях Е и 2 А возможно образование инверсии населенности частиц. Если инверсия населенности не достигает порогового значения, то наблюдается только спонтанное излучение в виде люминесценции рубина на одной из двух узких линий —

R1 (λ1 = 0,6943 мкм) либо R2 (λ = 0,6929 мкм) с уровней Е и 2 А

соответственно (рис. 2.1, а). Такая схема создания инверсии и излучения может быть описана упрощенной трехуровневой моделью (рис. 2.1, б).

1. Запишем кинетические уравнения для трехуровневой системы.

Воспользуемся термодинамическим подходом Эйнштейна, используя коэффициенты Эйнштейна Вnm, Аnm. Запишем уравнение для изменения населенности уровня 2:

Здесь учтены три процесса: изменение населенности n2 в единицу времени за счет накачки W0, за счет процессов вынужденного поглощения и излучения (В12 g1 = g2 В21), а также спонтанного излучения А21 = 1/τсп. Кроме того, учтем форму линии излучения g(ν). Введем обозначение: В(ν) = В12(ν)=В12 g(ν);

Число фотонов в данном типе колебаний выразим через спек-

18

Раздел 2. Принцип работы лазера

B12(21) выразим через время жизни спонтанного уровня, используя соотношение (2.6).

Тогда уравнение принимает вид

Оценим вклад спонтанного излучения в число фотонов, попадающих в данную моду вынужденного излучения. Учтем, что число колебаний (мод) рν, возникающих в резонаторе объемом V, образованным кристаллом рубина с показателем преломления n, в спектральном интервале dν равно:

p d 8 c3 2 n2V d .

Число фотонов, попадающих в один тип колебаний, можно оценить, разделив общее число фотонов, излучаемых в единицу времени за счет спонтанного распада, на количество типов колебаний в данном объеме:

где η — параметр, определяющий долю фотонов спонтанного излучения, попадающих в данную моду.

С учетом полученного результата (2.19), (2.18), а также учитывая конечное время жизни τr фотона в резонаторе, обусловленное его добротностью, кинетическое уравнение для фотонов в данной моде получим в виде

3. Определим пороговую разность населенности для начала генерации на R1 линии. При решении данного вопроса необходимо рассмотреть схему энергетических уровней, изображенную на рисунке 2.1, а. В уравнении (2.20) разность населенности n подразумевает трехуровневую схему. Генерация на R1 линии

19

Практическая квантовая радиофизика

возникает при переходе частиц с уровня 2А на основное состояние 4А2. Поэтому необходимо рассмотреть общее распределение частиц между всеми подуровнями. При грубом рассмотрении можно оценить пороговое значение следующим образом. В пренебрежении спонтанным излучением в стационарном состоянии в присутствии врезонаторе фотоновизуравнения(2.20) имеем:

Будем предполагать, что линия излучения описывается лорен-

Здесь было использовано выражение для длины волны в кристалле 0 / n , где 0 — длина волны в вакууме, n — пока-

затель преломления рубина, а также выражение для времени жизни фотона в резонаторе:

Задача 2.4. Используя данные из задачи 2.3 и учитывая,

что уровень 2Е расщеплен на два подуровня — E и 2A , зазор между которыми 29 см–1, найти распределение населенности

между уровнями E , 2A и основным четырехкратно вырож-

20