Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

Раздел 3. Форма линии излучения. Ширина линии излучения

Оценим численное значение частотного сдвига:

Если угол β = 900, частотный сдвиг меняет знак:

Примечание. Следует учитывать, что в первом порядке теории возмущения результирующая форма линии симметрична относительно линии, соответствующей переходу ½ — ½. В первом порядке теории возмущения частотный сдвиг определяется формулой

при m = –1/2 он равен нулю. Таким образом, квадрупольные эффекты не влияют на уширение и сдвиг центрального перехода ½ — ½.

41

Раздел 4. Теория квантового генератора

Кроме уравнений (4.1) — (4.4) учтем также материальные уравнения. В общем случае они имеют вид

где — вектор макроскопической поляризации среды в отсут-

ствии активных частиц; a — поляризация, связанная с актив-

ными частицами среды; M — вектор макроскопической намагниченности активных частиц; σ — проводимость активной сре-

ды; — диэлектрическая проницаемость среды в отсутствии активных частиц; μ— магнитнаяпроницаемостьсреды.

Будем интересоваться только средой, состоящей из частиц с электрическими дипольными моментами. В такой среде электромагнитным полем возбуждается вектор макроскопиче-

ской поляризации, но вектор намагниченности M = 0. Положим μ = 1.

Потери в резонаторе квантового генератора, обусловленные тем, что электромагнитное поле поглощается стенками и выводится наружу, можно описать феноменологически, считая, что активная среда, заполняющая резонатор, имеет проводимость σ, и электромагнитное поле приводит к появлению некоторого тока плотностью j.

43

Практическая квантовая радиофизика

Из уравнений Максвелла получим уравнение для напряженности электрического поля в резонаторе. Используя традиционные подход, описанный в разделе 1, исключим из уравнений Максвелла величины, относящиеся к магнитному полю. Возьмем rot отправой и левой частей векторногоуравнения(4.1):

В правой части этого равенства поменяем местами операции rot и ∂/∂t и подставим выражение (4.6) для вектора магнитной индукции. Тогда

rot Bt t rotB 0 t rotH .

Затем из уравнения (4.2) подставляем выражение для rotH и дифференцируем его по времени:

Подставляем сюда продифференцированное один раз по времени уравнение (4.7) и дважды по времени уравнение (4.5). В результате имеем:

Так как по предположению свободных зарядов нет,

divE 0 , и также можно использовать соотношение (4.9), получаем:

Подставляя в левую часть уравнения (4.8) равенство (4.10), а в правую — равенство (4.9), получаем:

44

Раздел 4. Теория квантового генератора

Решение уравнения (4.11) для напряженности электрического поля будем искать в виде

где вектор U n (x, y, z) определяет распределение поля в собственном n-м типе колебаний резонатора.

Хотя U n зависит от всех координат (x, y, z), для простоты будем считать, что вектор напряженности электрического по-

ля (а значит, и U n) зависит лишь от координаты z и не зависит от двух других координат x и y (ось z направлена вдоль оси резонатора). Тогда вместо оператора Лапласа ∆ в уравнение (4.12) будет входить ∂2/∂z2. Умножая все члены уравнения (4.12) на (1/μ0εε0), получим уравнение для напряженности электрического поля в резонаторе:

Будем предполагать, что в резонаторе установились собственные ортогональные типы колебаний, такие, что выполняются следующие соотношения:

U n (z) ezUn (z) ;

Kn = 2πn/L — волновые числа; n — целое число; L — длина резонатора в направлении координаты z. Таким образом, решение уравнения (4.13) можно записать как

45

Практическая квантовая радиофизика

Подставляя (4.15) в уравнение (4.13), имеем:

Здесь учтено, что An зависят только от времени, поэтому частные производные заменены полными производными, — скорость распространения электромагнитной волны в среде.

Умножим правую и левую части уравнения на ezUm (z) и усредним значения по всей длине резонатора. Учитывая, что

Используя равенство (4.14), из уравнения (4.16) получаем уравнение для Am:

где ωm — набор собственных частот в резонаторе, а Qm — добротность типа колебаний с номером m.

С учетом введенных обозначений получаем уравнение для Am в виде

46

Раздел 4. Теория квантового генератора

Иногда используют параметр p Qm , характеризующий

m

время жизни фотона в резонаторе. Исходя из представленного выражения, оно обусловлено потерями за счет проводимости. Однако при решении конкретных задач в этот параметр можно включить и другие механизмы потерь, такие, как потери на зеркалах, дифракционные потери, а также потери, связанные с рассеянием и поглощением на других переходах.

Решение уравнения (4.19) позволяет определить характер электромагнитного поля, возбуждаемого в резонаторе актив-

ной средой с поляризацией a (r, t) .

4.2. Уравнения, описывающие поведение поляризации, возбуждаемой в среде электромагнитным полем Е

Получим уравнения, описывающие поведение поляризации, возбуждаемой в среде электромагнитным полем, а также уравнение для изменения разности населенности уровней под действием электромагнитного поля в резонаторе квантового генератора. Поведение частиц активной среды будем описывать квантовомеханически. Для этого необходимо определить матрицу плотности частиц. Поведение матрицы плотности

во времени определяется уравнением

где H — гамильтониан системы.

Предположим, что активную среду образуют частицы с двумя энергетическими уровнями 2 и 1. Гамильтониан такой частицы с учетом взаимодействия с электрическим полем имеет вид

47

Практическая квантовая радиофизика

щий только внутренние взаимодействия, без учета взаимодей-

ˆ ˆ

ствия с электрическим полем; V d E — гамильтониан, описывающий взаимодействие системы с электрическим по-

^

лем; d — оператор дипольного момента, описывающий взаимодействие активных частиц с полем излучения в дипольном приближении.

Подставляя гамильтониан (4.21) в уравнение (4.20), получаем:

Матрица плотности для частицы с двумя энергетическими

уровнями 1 и 2 имеет четыре элемента: ρ11, ρ22, ρ12, ρ21. Учтем, что у оператора дипольного момента отличны от нуля только

недиагональные матричные элементы d12 и d 21 . Вычислим матричные элементы оператора плотности. Найдем ρ12. Из (4.23) следует, что

(W2 W1) 21 — частота перехода между уровнями 2 и 1, первое слагаемое уравнения (4.24) приводим к виду:

48

Раздел 4. Теория квантового генератора

i (H110 12 12 H220 ) i 12 (W1 W2 ) i 12 21

иокончательно получаем уравнение для ρ12:

Аналогично получаем уравнения для остальных компонент матрицы плотности:

Уравнения (4.25) — (4.28) описывают изменение компонент матрицы плотности для частицы с двумя энергетиче-

скими уровнями под действием электромагнитного поля E в резонаторе.

4.3. Уравнения, описывающие поведение поляризации, возбуждаемой в среде электромагнитным полем Е,

сучетом процессов релаксации

Вуравнениях (4.25) — (4.28) необходимо учесть, что изменение компонент матрицы плотности может происходить за счет каких-либо релаксационных процессов, например за счет безызлучательных переходов с уровней 2 и 1. Введем времена

релаксации, не выясняя пока причин этих процессов, Т1 (время продольной релаксации) и Т2 (время поперечной релаксации), характеризующие процессы релаксации диагональных и недиагональных элементов матрицы плотности соответственно. Тогда уравнения (4.25) — (4.28) можно переписать в следующем виде:

49

Практическая квантовая радиофизика

матрицы плотности. Тогда уравнения (4.25) — (4.28) принимают вид

Будем считать, что недиагональные матричные элементы равновесной матрицы плотности равны нулю ( 120 210 0 ). Умножим правую и левую часть (4.31) на d21 , а правую и левую часть (4.32) на d12 . Тогда