Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практическая квантовая радиофизика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Раздел 4. Теория квантового генератора

p		1
i			p 0,	(4.37)

t	21	T2

а вычитая (4.35) из (4.36), имеем:

	i		p	2i	d	2		(		).	(4.38)
		21					E		22

t			T2							11

В (4.37) и (4.38) введены обозначения:


p d		21	12 d12 21 ;	(4.39)

	d12		21 d21 12 .	(4.39 а)

Рассмотрим теперь уравнения (4.33) и (4.34), описывающие изменение во времени диагональных элементов матрицы

плотности 22 и 11 . Найдем уравнение для разности22 11 . Вычитая правую и левую части (4.34) из правой и левой частей (4.33), получаем:

						1
	(	22		)		1	((	22	0	) (	0	))		2iE	.	(4.40)
t	(			)		T	((		0	) (	0	))			.	(4.40)
t			11			T			22	11	11
						1
Выразим					и ее производную из (4.37)								через p :

				1			p					p


		i						t		T
		i			21			t		T			;
					21						2
			1					2	p			1		p


t	i			21		t2						T		t	.
				21							2

Подставляя (4.41) в (4.40), получаем:

(4.41)

(4.41 а)


						1					0		0				2E			p p
						1					0		0				2E			p p
			( 22	11)				( 22 22 ) ( 11 11)												t		.	(4.42)
	t		( 22	11)			T	( 22 22 ) ( 11 11)										21		t	T	.	(4.42)
						1												21		2
Подставляя (4.41) и (4.41 а) в уравнение (4.38), получаем:
		2 p		2	p				2	1			2 21	d	2
															2

												p				E (				).			(4.43)
	t2			T	t					T 2		p				E (				).			(4.43)
	t2			T	t				21	T 2									22	11
				2						2

Практическая квантовая радиофизика

Получим уравнения для населенности уровней и макроскопической поляризации, связанной с поляризацией активных частиц. Перейдем от микроскопических величин к макроскопическим. Для упрощения расчета будем предполагать, что внешнее электромагнитное поле, действующее на все частицы, одинаково и не отличается от поля, действующего в среде. Следует учесть, что уравнения (4.42), (4.43) описывают поведение элементов матрицы плотности для одной частицы с двумя уровнями. Если число активных частиц в единице объема резонатора N, то уравнения для ансамбля можно получить, умножив на N обе части уравнений (4.42), (4.43). Разность населенности частиц на верхнем и на нижнем энергетических

уровнях найдем как N N( 22 11) N2 N1 . Макроскопическую поляризацию, связанную с активными

частицами, выразим следующим образом:

Pa Np N(d21 12 d12 21 )

(следует помнить, что мы рассматривали случай, когда у оператора дипольногомоментаотличныотнулялишьэлементы d21 и d12 ).

С учетом вышесказанного имеем:

( N

0 )

;

2 21

E N,

T 2

(4.44)

(4.45)

где N0 N( 220 110 ) — разность населенности уровней 2 и

1 в отсутствии электромагнитного поля.

Таким образом, мы получили уравнения (4.44) и (4.45), описывающие поведение поляризации и изменение разности населенности уровней 2 и 1 под действием электромагнитного поля в резонаторе квантового генератора.

Из уравнений (4.44) и (4.45) видно, что время продольной релаксации связано с изменением инверсной населенности, которая ответственна за изменение энергии частицы, в то вре-

Раздел 4. Теория квантового генератора

мя как время поперечной релаксации связано с релаксацией поляризации, с изменением фазы волновой функции частицы. В твердых диэлектриках релаксация инверсной населенности происходит значительно медленнее, чем релаксация поляризации. В газах при низких давлениях Т1 ~ Т2.

Окончательно уравнения квантового генератора (4.19), (4.45), (4.44), (4.18), которые определяют распространение усиливаемого электромагнитного поля в активной среде, запишутся в виде (уравнения записаны в системе СИ)

2 A

d 2

(t)

m 2

;

dt2

( N N

0 )

;

2 21

E N;

T 2

E E (z,t) ez An (t)Un (z);

Pa (t) 2 L ez Pa (z,t)Un (z)dz.

L 0

(4.46)

(4.47)

(4.48)

(4.49)

(4.50)

Для анализа процессов генерации и усиления излучения в конкретных системам важно установить, какие приближения можно использовать для упрощения уравнений (4.46) — (4.50). Исследуя параметры лазерных систем, следует учитывать, что ширина молекулярной или атомной линий обычно больше ширины резонансной кривой резонатора. Это позволяет считать

2Pa dPa . С другой стороны, в резонаторном лазере на ам-

T2 dt

миаке ширина полосы резонатора превышает ширину моле-

кулярной линии,	p		Qn	T / 2 . Для аммиака при давлении
	p			2

p = 4·10–2 мм рт. ст. времена релаксации имеют следующие зна-

чения: T1 = 0,3·106 с, T2 = 0,15·106 с и |d12| = 1,14 Дебай.

Практическая квантовая радиофизика

Гелий-неоновый лазер имеет следующие типичные характеристики: времена релаксации T1 = 10–7 с, T2 = 4 · 10–8 с, τр = 10–7 с

и |d12| = 1,4 Дебай. Иногда полезно учитывать, что произведение T1 · |d12| = const приблизительно постоянно для всехлазеров.

Задача 4.1. Пусть в генераторе возбуждается только один тип колебаний, а распределение поля, поляризации и разности населенности однородно по резонатору. Получить укороченные уравнения из системы уравнений (4.46) — (4.50).

Решение.

Учитывая, что только один тип колебаний реализуется в резонаторе, можно заменить Am (t) на E(t), Pa (t) на P(t) и

все частные производные заменить на полные производные. Тогда уравнения (4.46) — (4.48) принимают вид

d 2 E

d 2 P

рE

;

0 dt2

dt2

d 2 P

E N;

2 2

(4.51)

dt2

d N

1( N N0 )

где 2

— частота вершины линии люминесценции;

T 2

; 1

. Следует учесть, что частота распространяю-

щегося поля близка к частоте квантового перехода: л 21,

кроме того, пренебрежем членом	P	по сравнению с	dP .
кроме того, пренебрежем членом	T	по сравнению с	dP .
	T		dt
	2

Здесь индекс m заменен на р — резонатор, так как в генераторе возбуждается только один вид колебаний. Уравнения (4.51) написаны для скалярных величин, так как в простейшем случае вектор поляризации направлен по полю.

Раздел 4. Теория квантового генератора

Первые два уравнения системы (4.51) представляют собой систему, близкую к двум связанным гармоническим осцилляторам со слабой связью. Решение такой системы найдем в виде

E E1(t)cos лt (t) ;				(4.52)
P P		(t)cos	t (t) .
	1	л

Следует учесть, что в оптическом и СВЧ диапазонах можно принять, чтоE1 (t), P1 (t), (t), (t) — медленно меняющиеся функ-

ции времени по сравнению с лt,					поэтому dE1	л , dP1	л ,
	d		d		dt	dt
		л ,		л можнорассматриватькакмалыйпараметр.
	dt		dt
					N N(t) также медленно
		Кроме того, можно считать

меняющейся функцией времени. Дифференцируя решение (4.52) по времени, получаем с точностью до членов первого порядка малости следующие выражения:

E sin(

t )

cos( лt

)

л E1 sin( лt ) ;

d 2 E

cos(

t ) 2

(4.53)

sin( лt )

л E1 cos( лt ) ;

P sin(

t )

cos( лt

)

л P1 sin( лt ) ;

Практическая квантовая радиофизика

d 2 P

P cos(

t ) 2

(4.54)

sin( лt ) 2

л P1 cos( лt ) .

Подставим выражения (4.53) и (4.54) в систему (4.51). Нач-

нем с первого уравнения. Члены

d 2 P

малы по

dt2

сравнению с

d 2 E

и р2 E , поэтому при подстановке оставляем

dt2

только члены нулевого порядка; в выражении для

d 2 E

остав-

ляем члены до первого порядка малости. Тогда получаем:

л р

( 2

2 ) 2

E cos(

t )

Qр

sin(

t )

2 P cos(

t ).

(4.55)

Собирая члены при sin лt и cos лt , имеем из (4.55):

cos t

cos

( 2

2 ) 2

р л

sin

2 P cos

Qр

sin лt sin

( р

л )

2 л

cos 2

2 P sin

0. (4.56)

Qр

Раздел 4. Теория квантового генератора

Это равенство удовлетворяется лишь тогда, когда коэффициенты при sin лt и cos лt тождественно равны нулю, т. е.

cos	( 2		2 ) 2	л	d	E
cos	( 2		2 ) 2			E
		р	л				1
					dt

				dE		р л								1
				dE		р л								1
2			л	1						E sin						2 P cos				0; (4.57)
2				1						E sin						2 P cos				0; (4.57)
				dt		Qр			1							л		1
				dt		Qр									0

									d									dE	л р
sin	( 2				2 ) 2			л					E cos			2	л	1			E
sin	( 2				2 ) 2								E cos			2		1			E
		р			л					dt			1					dt		Qр	1
										dt								dt		Qр
							1				2 P sin			0.							(4.58)
											2 P sin			0.							(4.58)
												л	1
									0

Умножим (4.57) на cos , а (4.58)

на (– sin ), затем сло-

жим их и поделим полученное на 2 лE1 . Получим:

( л р ) л

cos( ).

(4.59)

При выводе (4.59) воспользовались также близостью л и

р и записали:

р л

(

р л)( р л)

р л .

2 л

Умножим (4.57) на sin , а (4.58)

наcos , затем сложим

их и поделим на 2 л . Получим:

P sin( ).

(4.60)

2Qр

2 0

Практическая квантовая радиофизика

Со вторым уравнением (4.51) поступим аналогично. Под-

ставляем в него выражения (4.53) и (4.54), причем в d 2 P ос- dt2

тавляем члены с точностью до первого, а в 2 2 dPdt — члены только нулевого порядка малости. Тогда

2 л ddt P1 cos( лt ) 2 л dPdt1 2 P1 sin( лt )

2	d	2		NE cos(		t ).	(4.61)
2	d	2


			л	1	л

Собирая члены при sin лt и cos лt , приравнивая их коэффициенты нулю, получаем:

				d		P cos 2									dP				P
2																1					sin
2				dt												1					sin
		л		dt			1							л	dt			2		1
						2		d		2			NE cos( ) 0;								(4.62)
						2		d		2


												л		1
			d											dP
2					P sin 2										1			P		cos
2			dt		P sin 2										1			P		cos
	л		dt			1								л	dt		2 1
							2		d		2			NE sin 0.							(4.63)
							2		d		2

													л		1

Умножая (4.62) на cos , a (4.63) на sin , складывая и деля полученный результат на 2 лP1 , имеем:

d	d	2	NE
d	d	2	NE
			1	cos( ).	(4.64)
dt			1	cos( ).	(4.64)
dt			P
			1

Умножая теперь (4.62) на sin , a (4.63) наcos , складывая и деля полученный результат на 2 л , имеем:

Раздел 4. Теория квантового генератора

dP			d	2	NE1
dP			d	2	NE1
1	2	P				sin( ).	(4.65)
1		P				sin( ).	(4.65)
dt		1
dt

Рассмотрим последнее уравнение системы (4.51). В левой части его стоят члены, медленно меняющиеся во времени, а в правой — произведение членов, содержащих высокую частоту. Используя вид решения (4.52) и первое равенство (4.54), взятое с точностью до членов нулевого порядка, получаем правую часть последнего уравнения системы (4.51):

E dP

2 л

P E cos(

t )sin(

t )

1 1

2 л

P1E1

sin( ) sin(2 лt )

E1P1

sin( ),

где

л 21 ,

быстро

осциллирующим членом

sin(2 лt ) пренебрегли.

Следовательно, последнее уравнение системы (4.51) принимает вид

d N	1	( N N0 )	E1P1	sin( ).	(4.66)
dt

Из полученных (4.59), (4.60), (4.64)—(4.66) видно, что все они зависят от разности фаз между полем и поляризацией, а не от фаз в отдельности. Поэтому введем новую переменную

. Уравнение для ddt получаем путем вычитания правых и левых частей (4.59) из соответствующих частей (4.64):

2 NE

(

)

cos . (4.67)

л 2

0 1

Таким образом, поведение квантового генератора описывается системой уравнений:

Практическая квантовая радиофизика

P sin( );

2Qр

2 0

NE1

sin( );

(4.68)

d N

E P

( N N

0 )

1 1

sin(

);

2 NE

( л р )

cos .

Эта система описывает как стационарные, так и нестационарные явления в генераторе. Решение системы уравнений (4.68) позволяет определить амплитуды и фазы поляризации и напряженности поля, а также найти изменение инверсной населенности в системе.

Задача 4.2. Найти стационарное решение системы уравне-

ний (4.68).

Решение.

При работе генератора в стационарном режиме изменения населенности, поляризации и электромагнитного поля во времени равны нулю. В уравнениях (4.68) приравняем нулю производные по времени в правой части.

Введем обозначения:

, ( p л) , .

2Qр

Из первого уравнения получим

лP1

, а

sin( )

2 0 E1

2 NE

из второго —

. Результат подставим в

sin( )

3 ctg( ) 0.

последнее уравнение: ( л

р ) 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]