Введение в КАМ-теорию
.pdf
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Редакционный совет:
А. В. Болсинов |
И. С. Мамаев |
А. В. Борисов |
И. А. Тайманов |
В. В. Козлов |
Д. В. Трещев |
Вышли в свет:
П.И. Голод, А. У. Климык. Математические основы теории симметрии
М.Громов. Гиперболические группы
М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны
Дж. Д. Мур. Лекции об инвариантах Зайберга – Виттена
Дж. Милнор. Голоморфная динамика
И.Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры
И. Добеши. Десять лекций по вейвлетам
Э.Столниц, Т. ДеРоуз, Д. Салезин. Вейвлеты в компьютерной графике
К.Кассел, М. Россо, В. Тураев. Квантовые группы и инварианты узлов
Ж.П. Рамис. Расходящиеся ряды и асимптотические теории
О.В. Богопольский. Введение в теорию групп
А.Д. Морозов. Введение в теорию фракталов
Д.Рюэль. Термодинамический формализм
В.В. Козлов. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические системы
ибифуркации векторных полей
С.П. Новиков. Топология
А.В. Борисов, И. С. Мамаев. Современные методы теории интегрируемых систем
А.В. Борисов, И. С. Мамаев. Динамика твердого тела
Н.В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения
Р.де ла Яве. Введение в КАМ-теорию
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Готовятся к печати:
Я.Песин. Теория размерности
Ю.П. Соловьев, В. А. Садовничий, Е. Т. Шавгулидзе, В. В. Белокуров. Эллиптические
кривые и современные алгоритмы теории чисел
Н. А. Кудряшов. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
Х. В. Брур, Ф. Дюмортье, С. ван Стрин, Ф. Такенс. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы
В. П. Маслов. Квантование термодинамики и ультравторичное квантование
А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход
А.С. Холево. Статистическая структура квантовой теории
А.А. Женсыкбаев. Проблемы восстановления операторов
Л.П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. Методы качественной
теории в нелинейной динамике
А. И. Шафаревич. Введение в теорию квазиклассического квантования изотропных многообразий
РАФАЭЛЬ ДЕ ЛА ЯВЕ
Введение в КАМ-теорию
Перевод с английского
А. Г. АРЗАМАСЦЕВА
Под редакцией
Д. В. ТРЕЩЁВА
Москва Ижевск
2019
УДК 517.93
Интернет-магазин |
• ф и з и к а |
|
|
|
• м а т е м а т и к а |
|
• б и о л о г и я |
|
• н е ф т е г а з о в ы е |
http://shop.rcd.ru |
т е х н о л о г и и |
|
|
|
|
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №03-01-14038.
де ла Яве Р.
Введение в КАМ-теорию. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019, 176 стр.
Перед вами находится руководство по некоторым из основных идей КАМ-тео- рии. Мы собираемся рассказать о происхождении КАМ-теории, а также объяснить и сравнить в несколько неформальном стиле некоторые из основных методов доказательства.
Руководство представляет собой расширенную и дополненную версию конспекта лекций, прочитанных автором на летнем научно-исследовательском коллоквиуме по гладкой эргодической теории, Сиэтл, 1999. Руководство написано в педагогическом и обзорном стиле. Его основная цель — дать введение в основные разделы КАМ-теории.
Для студентов и аспирантов математических специальностей университетов, специалистов по теории динамических систем.
ISBN 978-5-4344-0624-6
c Перевод на русский язык,
Институт компьютерных исследований, 2019
http://ics.org.ru
Оглавление
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.Некоторые примеры и мотивировки . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1. Ряды Линдштедта для закручивающих отображений . . . . . 14
2.2. Теорема Зигеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
3. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
35 |
3.1. Сведения из анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
37 |
3.2. Регулярность функций, определенных в замкнутых множе- |
|
ствах. Теорема Уитни о продолжении . . . . . . . . . . . . . |
45 |
3.3. Диофантовы свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
46 |
3.4. Оценки для линеаризованного уравнения . . . . . . . . . . . |
52 |
3.5. Геометрические структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
56 |
3.6. Каноническая теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . |
68 |
3.7. Производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
79 |
4. Два доказательства КАМ-теории в модельной задаче . . . . . . . |
83 |
5.Сложные теоремы о неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.Сохранение инвариантных торов для квазиинтегрируемых систем 121 6.1. Метод Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2. |
Метод Арнольда . . . . . |
. . . . |
. . . . . . . . |
. . . |
. . . . |
. |
134 |
6.3. |
Лагранжево доказательство |
. . . |
. . . . . . . . |
. . . |
. . . . |
. |
140 |
6.4. Доказательство без замены переменных . . . . . . . . . . . . 145
7.Некоторые замечания о доказательствах, полученных с помощью компьютера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8. Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. 161 |
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
162 |
1. Введение
Данные лекции являются введением в некоторые из основных идей КАМ-теории: теории о сохранении квазипериодических движений при возмущении. Название теории образовано инициалами ее создателей: А. Н. Колмогоров, В. И. Арнольд и Ю. Мозер. См. оригинальные работы: [Kol54], [Arn63a], [Arn63b], [Mos62], [Mos66b], [Mos66a].
Сейчас это полностью сформировавшаяся теория, которая регулярно используется при анализе многих динамических систем, а также связана с другими областями анализа.
Грубо говоря, выводы теории заключаются в следующем: в Ck (k достаточно велико в зависимости от размерности) — открытых множествах динамических систем, обладающих определенными геометрическими свойствами (например, гамильтоновы, сохраняющие объем, обратимые и т. д.), — существуют множества положительной меры, покрытые инвариантными торами. В частности, поскольку наличие множеств инвариантных торов положительной меры несовместимо с эргодичностью, мы приходим к заключению, что для систем, упомянутых выше, эргодичность не может быть Ck -общим свойством [MM74].
Разумеется, существование квазипериодических траекторий приводит к многим другим следствиям помимо отсутствия эргодичности. Инвариантные торы — это важные дорожные знаки, которые управляют движением.
Помимо приложений к механике, динамическим системам и эргодической теории, КАМ-теория очень интенсивно развивалась и привела к созданию интереснейших направлений исследований в теории динамических систем и в анализе. Например, теория усреднения приводит к получению оценок верных для всех начальных условий в течение очень долгого времени. В то же время можно использовать частично гиперболические торы для доказательства существования уходящих траекторий. Что касается аналитических исследований, то КАМ-теория привела к созданию методов функционального анализа, которые могут использоваться для решения различных функциональных уравнений, многие из которых интересны с точки зрения эргодической теории и связанных с ней дисциплин, например дифференциальной геометрии.
8 |
ВВЕДЕНИЕ В КАМ-ТЕОРИЮ |
По КАМ-теории уже существуют превосходные обзоры, систематические изложения и руководства.
Перечислим их в хронологическом порядке: [Arn63b], [Mos66b], [Mos66a], [Mos73], [AA68], [R¨us70], [R¨us], [Zeh75], [Zeh76a], [Dou82a], [Bos86], [Sal86], [Pos82],¨ [Pos92],¨ [Yoc92], [AKN93], [dlL93], [BHS96b], [Gal83a], [Gal86], [Way96], [R¨us98], [Mar00].
Следовательно, необходимо объяснить, зачем нужно писать и читать еще одно изложение этой теории.
Я обнаружил, что авторы всех перечисленных выше обзоров выбирали некоторую конкретную точку зрения и пытались либо представить большую часть КАМ-теории с этой точки зрения, либо предложить особенно разъясняющий пример.
С учетом высокого качества всех (за исключением одного) из вышеперечисленных обзоров и руководств попытка добиться тех же целей имеет мало смысла. Поэтому, вместо представления какой-либо точки зрения с полными доказательствами, это руководство ставит перед собой более скромную цель, заключающуюся в кратком изложении некоторых из основных идей, входящих в КАМ-теорию, и в описании и сравнении основных точек зрения. Поэтому данное руководство не является заменой вышеперечисленных полных работ.
Одним из недостатков, сопутствующих выбору столь обширной темы, является схематичность изложения некоторых вопросов. Надеюсь, что большая часть таких вопросов помечена в тексте и предоставлены ссылки на соответствующую литературу. Я буду считать свою цель достигнутой, если эти лекции станут путеводителем (в котором пришлось опустить некоторые важные детали) по той части литературы, которая побуждает читателя заняться самостоятельными исследованиями в этой области. Тем не менее нужно отметить, что лежащая перед вами книга не является обзором и мы не пытались представить систематическое изложение или достигнуть переднего края исследований.
Следует иметь в виду, что в КАМ-теории за последние несколько лет достигнут значительный прогресс и она является очень активной областью исследований.
Позвольте мне упомянуть о некоторых из этих новых достижений (я не придерживался при этом какого-либо определенного порядка, и, разумеется, в списке перечислены далеко не все результаты, также опущены классические результаты, т. е. более чем пятнадцатилетней давности). Они не будут обсуждаться в лекциях, поскольку в лекциях представлены лишь самые фундаментальные результаты. Читателю в дальнейшем не понадобится понимание этих достижений, я лишь хочу от-
1. ВВЕДЕНИЕ |
9 |
метить, что они представляют собой важные направления в этой области.
•Проблема «нехватки параметров», которая считалась недоступной, была решена очень изящно [JS92], [Eli88]. (См. обзор в [BHS96b], а также [BHS96a], [Sev99].) Благодаря этому был достигнут значительный прогресс в задаче существования торов малых размерностей, особенно эллиптических торов, теория гиперболических торов известна в течение длительного времени (см., к примеру, [JV97b], [JV97a]).
•Как следствие, можно построить соответствующую КАМ-теорию для сохраняющих объем систем, имеющих торы коразмерности единица. Тем самым исключается диффузия во многих задачах гидродинамики и т. д. (См. [CS90], [BHS96b], [DdlL90], [Xia92], [Yoc92].)
•В КАМ-теории для бесконечномерных систем достигнут значительный прогресс.
Отметим, что в бесконечномерных системах наибольший интерес вызывают торы размерности меньшей числа степеней свободы.
Предмет бесконечномерной КАМ-теории сам по себе потребовал бы обзора, превышающего по размеру эти заметки. Мы лишь предлагаем для ознакомления источники [CW93], [CW94], [Pos96],¨ [Bou99a], [Bou99b] и [Kuk93], в которых заинтересовавшийся читатель найдет ссылки на литературу для дальнейшего изучения.
•Многие системы в приложениях (например, в статистической механике) имеют следующую структуру: они состоят из геометрически упорядоченных наборов систем, связанных локальным взаимодействием1. Для этих систем можно, воспользовавшись этой структурой, разработать более эффективную КАМ-теорию вместо применения общих результатов ([Way84], [Pos90],¨ [FSW86]). Другие КАМ-методы для этих систем разработаны в [AFS88] и в [AF88], в [AF91] рассматривается существование периодических решений. Теорему Нехорошева для этих систем см. в [Way86]. Гипотезы и предварительные оценки (не имеющие строгого доказательства) см. в [BGG85b], [BGG85a], [HdlL00], [CCSPC97].
•В настоящее время КАМ-теоремы доказаны при значительно более слабых условия невырожденности [R¨us90], [R¨us98]. См. также [BHS96b], [BHS96a], [Sev95], [Sev96].
1Эти системы, известные под названием решеток зацепленных отображений, также интенсивно изучаются в случае, когда они обладают гиперболическими свойствами, т. е. в ситуации, в некотором смысле противоположной к рассмотренной в КАМ-теории.
10 |
ВВЕДЕНИЕ В КАМ-ТЕОРИЮ |
•Современные методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, такие как вязкие решения, использовались для исследования уравнения Гамильтона – Якоби [Lio82], [CL83], [CEL84], что привело к созданию более слабой версии КАМ-теории, имеющей глубокие связи с теорией Обри – Мезера [Fat97b], [Fat97a].
•Достигнут значительный прогресс в задаче приводимости линейных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. (Т. е. зада-
че о преобразовании системы уравнений вида x˙ = A(φ + ωt)x, где A : Td → Mn×n и ω Rd — иррациональный вектор к системе уравнений с постоянными коэффициентами.) После исходной работы [DS75] по этой тематике были опубликованы две важнейших работы: [MP84], в которой была предложена глубокая идея использования не близких к тождественному преобразований для исключения малых слагаемых, и [Ryc92], в которой был описан метод ренормализации. В дальнейшем в нескольких работах были представлены многие новые уточнения (необходимо найти способы объединения пертурбативных и непертурбативных шагов). В этой области постоянно ведутся исследования и постоянно происходят новые продвижения. Ссылки на современные исследования в этой области см. в лекциях Эллиассона [Eli]; см. также [Kri99].
•Задача приводимости связана с задачей существования чисто точечного спектра одномерных операторов Шредингера с квазипериодическими коэффициентами. В этой области достигнут весьма существенный прогресс. Помимо некоторых работ, упомянутых в предыдущих параграфах, отметим [CS91], [FSW90], [Eli97].
•Для операторов Шредингера более высоких размерностей со случайным или квазипериодическим потенциалом теория локализации также далеко продвинулась благодаря многомасштабному анализу, который весьма напоминает КАМ-теорию [FS83], [FS84]. Действительно, эта аналогия использовалась весьма плодотворно [Alb93].
•Симплектические формы, которые возникают в механических системах, допускают первообразную (см. параграф 3.5). Однако существуют другие симплектические формы без этого свойства. Для таких форм без первообразной существует возможность обнаружения сохраняющихся торов размерности большей числа степеней свободы. Это имеет важные последствия и ведет к очень интересным примерам в эргодической теории. См. [Yoc92], [Her91]. (См. также [Par84], [Par89], [FY98].)