Введение в курс математики. Математический анализ. Практикум

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет»

Кафедра высшей математики

ВВЕДЕНИЕ В КУРС МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Практикум

Направление подготовки 44.03.05 – «Педагогическое образование», профили подготовки – «Математика и информатика»; «Экономика. Информатика»;

направление подготовки 44.03.01 – «Педагогическое образование», профиль подготовки – «Математика»

Пермь

ПГГПУ

2016

УДК 517(075.8)

ББК В 16я73

В 24

Р е ц е н з е н т :

кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета Е.Л. Черемных

Составитель: ст. преп. каф. высш. математики Л.Г. Недре

Введение в курс математики. Математический анализ:

В24 практикум. Направление подготовки 44.03.05 – «Педагогическое образование», профили подготовки – «Математика и информатика», «Экономика. Информатика»; направление подготовки 44.03.01 – «Педагогическое образование», профиль подготовки – «Математика» / сост. Л.Г. Недре; Перм. гос. гуманит.-пед. ун-т. – Пермь, 2016. – 20 с.

Издание составлено в соответствии с требованиями ФГОС к направлениям подготовки 44.03.05 и 44.03.01 – «Педагогическое образование». Практикум включает задачи и упражнения для самостоятельной работы студентов и индивидуальные задания по основным темам дисциплин «Введение в курс математики (математический анализ)» и «Высшая математика» (раздел «Математический анализ»).

Адресовано студентам педагогических вузов, обучающимся по вышеуказанным направлениям подготовки, а также учащимся старших классов средних общеобразовательных школ.

УДК 517(075.8)

ББК В 16я73

Печатается по решению учебно-методического совета Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета

© Недре Л.Г., составление, 2016 © ФГБОУ ВО «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет», 2016

3

Издание представляет собой сборник индивидуальных заданий по математическому анализу для самостоятельной работы студентов первого курса. Перед выполнением работы студентам рекомендуется повторить основные теоретические вопросы к теме «Введение в математический анализ»,

список которых приведен в издании. Для выявления уровня глубины и полноты своих знаний по изученной теме студентам целесообразно решить задачи и упражнения недетерминированного характера (нестандартные, не имеющие определенного алгоритма решения, комплексные задачи, требующие применения знаний из нескольких тем школьного курса математики, задачи исследовательского характера и т.д.). Эти задания могут быть использованы также для обсуждения на практических, семинарских занятиях по математическому анализу и даже в качестве дополнительных вопросов на экзамене.

Индивидуальные задания предназначены для самостоятельной работы студентов по математическому анализу. Каждое задание, содержащее 10 задач,

представлено в 25 вариантах. В сборнике принята следующая нумерация заданий: первое число означает номер задачи, а второе – номер варианта. Так,

например, вариант 17 содержит задачи: 1.17, 2.17, 3.17, 4.17, 5.17, 6.17, 7.17, 8.17, 9.17, 10.17.

4

Теоретические вопросы

1.Понятие функции. Числовые функции. Область определения и множество значений функции.

2.Способы задания и график функции.

3.Простейшие элементарные функции.

4.Четные и нечетные функции.

5.Монотонные функции.

6.Периодические функции.

7.Ограниченные и неограниченные функции.

8.Понятие обратной функции. Графики взаимно обратных функций.

9.Понятие сложной функции.

10.Преобразования графиков функций.

11.Арифметические операции над графиками функций.

12.Примеры неэлементарных функций.

Задачи и упражнения

1.Существует ли функция, область определения которой состоит из 5 чисел, а

множество значений из а) 6 чисел; б) 4 чисел?

2.Пусть f(x) = x3 +3x2 – x +1. Найдите функцию, график которой симметричен относительно а) оси OY; б) оси OX; в) начала координат; г) прямой x = 1.

3.При каких условиях:

а) график функции у = f(x) симметричен относительно прямой x = a;

б) график функции y = f(x) симметричен относительно точки А(a;b).

4.Докажите, что:

а) сумма, произведение, частное двух четных функций есть функция четная;

б) произведение двух нечетных функций есть функция четная;

5

в) сумма, композиция двух нечетных функций есть функция нечетная;

г) если y = f(x) – четная функция, а y = g(x) – произвольная, то y = g(f(x)) –

четная функция;

д) если y = f(x) – нечетная функция, а y = g(x) – четная, то y = g(f(x)) – четная функция.

5.Функцию y = f(x), определенную на (0; + ), продолжите на R так, чтобы получить а) четную; б) нечетную функцию. Постройте график полученной функции, если:

6.Доказать, что любую функцию y = f(x), определенную на симметричном относительно нуля множестве, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

7.Может ли иметь четное число экстремумов:

а) четная функция; б) нечетная функция?

8.Докажите, что сумма двух возрастающих (убывающих) функций есть функция возрастающая (убывающая).

9.Пусть y = f(x) и y = g(x) – возрастающие положительные функции.

Докажите, что y = f(x) g(x) – возрастающая функция. Покажите на примере,

что произведение двух возрастающих функций не обязано быть возрастающей функцией.

10.Докажите, что функция, обратная к возрастающей, также является возрастающей.

11.Приведите примеры (можно графически) функций, являющихся:

а) нечетными, убывающими (возрастающими) и ограниченными

(неограниченными);

б) четными (нечетными), ограниченными (неограниченными) и

периодическими;

6

в) убывающими (возрастающими), ограниченными (неограниченными) и

обратимыми (необратимыми);

г) положительными (отрицательными), периодическими, ограниченными и четными (нечетными).

17.Построить график функции: y 2x x2 10x 25 4x2 12x 9 .

18.Найти множество значений функции: