Введение в КАМ-теорию

Эти интерполяционные неравенства и для Λα, и для пространств Соболева являются частью более общего «комплексного интерполяционного метода», и шкалы пространств являются «интерполяционными пространствами». Хотя этот метод весьма важен для некоторых проблем анализа в этих пространствах, мы не будем рассматривать здесь эти вопросы.

Как мы видели ранее, некоторые абстрактные теоремы КАМ-теории, такие как теорема о неявной функции, превосходно работали в пространствах Соболева. Я полагаю, что тот факт, что эти пространства не используются более часто в КАМ-теории динамических систем, объясняется в основном исторически сложившейся аномалией. (Примечательными исключениями являются работы [Her86], [KO89b].) Разумеется, для приложений теории Нэша – Мозера к дифференциальным уравнениям в частных производных или к геометрическим задачам пространства Соболева используются весьма часто.

Возможность характеристики аппроксимационных свойств пространств Cr+α с помощью аналитических функций является одним из наиболее полезных инструментов для исследования этих пространств.

Следующая характеристика пространств Λr (напомним, что они совпадают с пространствами Гельдера¨ C[r]+{r} при {r} = 0) взята из работ [Mos66b], [Mos66a] (см. также [Zeh75], лемма 2.2).

Лемма 3.2. Пусть h C0(T1). В этом случае h Λr тогда и только тогда, когда для некоторого σ > 0 мы можем найти последовательность hi Aσ2−i такую, что

i) hi − h0 C0 → 0,

ii) sup(2ir hi − hi−1 Aσ2i−1 ) < ∞.

i 1

Кроме того, при подходящем выборе hi можно добиться, чтобы супремум в ii) был эквивалентен h Λr .

Если мы обозначим супремум в ii) через M , то получим, что для h Λr можно найти последовательность hi такую, что M Cσ,r h Λr . Наоборот,

для любой последовательности hi, как и ранее, имеем h Λr Cσ,r M . Для заданной функции h Λr существуют канонические способы получения искомых hj . Например, в [Ste70] и [Kra83] показано, что можно использовать свертку с ядром Пуассона для получения hj . В этом случае супремум в ii) может использоваться для определения нормы, эквивалентной нор-

ме Λr .

Другим важным свойством пространств Λα является наличие очень эффективной теории аппроксимации.

Легко показать, что ii) ii ), iii) iii ). В работе [Zeh75] сказано, что операторы St, удовлетворяющие (3.8), определяют сглаживание C∞, а операторы, удовлетворяющие i), ii ), iii ), — сглаживание Cω .

Существуют другие сглаживающие операторы и другие шкалы пространств, удовлетворяющие тем же неравенствам. Действительно, в наиболее абстрактном варианте КАМ-теории, который мы обсудим в главе 5, можно даже рассмотреть эти свойства отвлеченно от контекста и получить общее доказательство, которое также применимо ко многим другим ситуациям.

Одним из важных следствий существования сглаживающих операторов является существование интерполяционных неравенств (см. [Zeh75]). Даже если эти неравенства были давно непосредственно доказаны и могут быть получены разными методами, весьма интересно, что они являются следствием существования сглаживающих операторов. Как мы упоминали, это происходит также в других ситуациях и для пространств, отличных от Λr. В последующем мы обозначим u r ≡ u Λr .

Лемма 3.3. Для любого 0 λ μ, 0 α 1, обозначая

ν = (1 − α)λ + αμ

для любого u Λμ, получаем

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что

u ν Stu ν + (Id −St)u ν .

Применяя ii) из (3.8) к первому слагаемому и iii) ко второму, получаем

Эти неравенства являются в некотором смысле потомками неравенств для производных, которые были доказаны в разных вариантах Адамаром, Колмогоровым и другими. Для Λr, r / N и для Cr , r N, доказательства могут быть выполнены элементарными методами и даже обобщены на функции, определенные в банаховых пространствах [dlLO99]. Для пространств аналитических функций эти интерполяционные неравенства являются классикой комплексного анализа и являются следствиями того факта,

3.2.Регулярность функций, определенных в замкнутых множествах. Теорема Уитни о продолжении

ВКАМ-теории нам часто приходится изучать функции, определенные на канторовых множествах. В частности, на множествах с пустой внутренностью. В этой ситуации понятие дифференцируемости по Уитни играет важную роль.

Вкачестве разумного определения гладких функций на замкнутых множествах можно предложить следующее: они представляют собой ограничения гладких функций на открытых множествах на содержащиеся в них замкнутые множества. Это определение несколько неудовлетворительно, поскольку продолжение не является единственным.

Вработе [Whi34a] предложено внутреннее определение гладких функций на замкнутом множестве.

Определение 3.4. Будем говорить, что функция f является Ck -глад- кой в смысле Уитни на компактном множестве F Rd, если для каждой точки x F мы можем найти полиномы Px степени, не превосходящей k,

где σ — это функция, стремящаяся к нулю.

Очевидно, что если функция является ограничением Ck -гладкой функции, то в качестве таких полиномов можно использовать полиномы Тейлора.

Глубокая теорема работы [Whi34a] состоит в том, что обратное утверждение также верно.

Теорема 3.5. Пусть F Rd — компактное множество.

Если для функции f мы можем найти полиномы, удовлетворяющие (3.15) и такие, что f (x) = Px(x), тогда функцию f можно продолжить до Ck -гладкой функции на Rd.

Отметим, что если функция является Ck -гладкой в Rd, то можно найти полиномы, удовлетворяющие (3.15), взяв обычные разложения f в ряд Тейлора.

В противоположность тому, что происходит с обычными производными, полиномы, удовлетворяющие (3.15), не обязательно должны быть единственными. (Например, если мы выберем в качестве F ось x в R2, то можно брать полиномы с совершенно разным поведением в направлении y.)

Существуют другие варианты определений, в которых вместо использования DiPx вводится другой полином Pxi , который должен затем удовлетворять условиям совместимости с другими полиномами.

Еще один вариант определения, полезный для КАМ-теории, приводится в [dlLV00]. Грубо говоря, там утверждается, что для канторовых множеств с определенной геометрической структурой нужно всего лишь проверить условие (3.15) для i = 0.

Предположение, что F компактно, можно убрать. Достаточно потребовать выполнения (3.15) на каждом компактном подмножестве F , позволяя

σзависеть от выбора компактного подмножества.

Вработе [Ste70] представлена версия этой теоремы, в которой продолжение может быть выполнено с помощью линейного оператора продолже-

ния. (Для каждого k используются различные операторы продолжения Ek .) В [Ste70] также представлены варианты теорем для Ck+α. Теорему для случая C∞ см. в [Whi34b].

Известны даже обобщения теоремы Уитни на функции, принимающие значения в банаховом пространстве (например, [Fed69] стр. 225). Я не знаю, как доказать аналогичный результат, когда F лежит в бесконечномерном пространстве.

3.3.Диофантовы свойства

Вэтом параграфе мы собираемся изучить вопрос существования векторов ω Rn таких, что можно получить границы сверху [dist(ω · k, N)]−1 и |ω ·k|−1, когда k Zn −{0}. Это малые знаменатели, которые возникают, соответственно, при решении уравнений (3.27), (3.26), часто использующихся в КАМ-теории.

При изучении задач, подобных тем, что рассматривались в параграфе 2.2, нам нужно рассматривать лишь k Nn.

Когда n = 1 для (3.27) (и при n = 2 для (3.26)), можно получить хорошие результаты, используя классические инструменты теории чисел, например непрерывные дроби, которые мы не будем рассматривать здесь, несмотря на их полезность при исследовании 1-мерной динамики.

Например, в классическом результате Лиувилля утверждается

Теорема 3.6. Пусть ω R − Q удовлетворяет уравнению P (ω) = 0, где P — полином степени с целыми коэффициентами. Предположим, что

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нули полиномов изолированы. Поэтому P ( mn ) = 0

при mn , достаточно близком к ω. Это обстоятельство, совместно с фактом, что n P ( mn ) Z, влечет |n P ( mn )| 1 и, следовательно, |P ( mn ) −

− P (ω)| n− . С другой стороны, по теореме Тейлора,

для некоторого C > 0. (Правая часть представляет собой остаточный член

Теорема 3.6 была значительно улучшена Ротом, который показал, что если ω — алгебраическое иррациональное число, то |ω − mn | Cεn−2−ε при каждом ε > 0.

Числа, удовлетворяющие уравнению (3.16) из заключения теоремы 3.6, играют весьма важную роль в теории чисел и в КАМ-теории и называются диофантовыми числами. Как мы увидим в лемме 3.9, множество диофантовых чисел имеет ненулевую меру, следовательно некоторые из них не удовлетворяют условиям теоремы 3.6.

Определение 3.7. Число ω называется диофантовым числом типа (K, ν) при K > 0 и ν 1, если

стоянного типа», и, как показывает предыдущий результат, квадратич-

нерешенной. Действительно, нахождение любого неквадратичного алгебраического числа постоянного типа является весьма интересной задачей.

Рис. 2

Важное обобщение вышеприведенного доказательства [Pja69] приводит к заключению, что если подмногообразие евклидова пространства имеет такую кривизну (или кручение, или другое условие высокого порядка), что плоскости не могут иметь с ним касания высокого порядка (см. ниже или см. ссылки), тогда это подмногообразие должно содержать диофантовы числа. Хотя доказательство достаточно простое, большое количество диофантовых чисел на кривых малых размерностей имеет очень глубокие последствия, поскольку позволяет уменьшить число свободных параметров, необходимых в доказательствах КАМ-теории.

Лемма 3.10. Пусть Σ — компактное Cl+1-гладкое подмногообразие Rn.