Введение в КАМ-теорию

теории преобразований. Более интересно то, что оно основано на лагранжевом формализме. (То есть на уравнениях второго порядка, а не на системах уравнений первого порядка. Для уравнений используется вариационный принцип Лагранжа, а не гамильтонов формализм.)

Представленное нами доказательство основано на неопубликованных заметках Ю. Мозера для курса, прочитанного им в Цюрихе. Обобщение этих результатов содержится в работе [SZ89]. Наше изложение очень близко следует одной из глав [Ran87] (которая, в свою очередь, следует изложению курса Мозера.)

В [Ran87] также представлены реализации, выполненные с помощью компьютера, доказательств, основанных на этом методе. В частности, ре-

зультат, что отображение, заданное (2.2) при V (x) = ε 21π sin(2πx), имеет инвариантную окружность с числом вращения, равным золотому сечению при ε = .93 (это значение позднее было улучшено до ε = 0.935). Это очень близко к значениям, для которых в [Jun91] показано, что инвариантная окружность не может существовать. Мы обсудим некоторые из этих вопросов в главе 7.17

Лагранжев формализм для КАМ-теории имеет несколько других приложений. Например, многие эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных имеют очень естественный лагранжев формализм, но не имеют простого гамильтонова формализма. (Отметим, что в этом случае независимая переменная многомерна, а в механике независимой переменной служит время, которое является одномерным.) Не существует простой теории канонических преобразований для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных.

Мы попытаемся найти решения уравнения (2.11), которые имеют вид

Интерпретацию этого уравнения как параметризации множества, в котором движение является квазипериодическим с частотой ω, см. в параграфе 2.1.

Несколько неформально мы собираемся показать, что существует процедура такая, что для заданного приближенного решения уравнения (6.28) (которое ведет себя не слишком плохо) мы можем построить другую функцию, которая является более близким приближением к истинному решению

17Гипотеза в [Gre79], получившая теоретическое, но пока не строгое обоснование в [McK82], состоит в том, что существуют гладкие инвариантные окружности с числом вращения, равным золотому сечению, когда ε < ε и не существуют, когда ε > ε . При ε = ε существует инвариантная окружность, которая является не очень дифференцируемой. Считается, что ε ≈ .971635. Разумеется, в других семействах может произойти и, возможно, происходит то, что множество параметров, для которых можно найти гладкую инвариантную окружность, является более сложным множеством, возможно, с бесконечным числом компонент.

уравнения. Тогда нам остается показать, что весь процесс может повторяться бесконечное число раз и что он сходится к решению.

Разумеется, уточнение понятия «близко» связано с введением аналитических норм и т. д. Проверка алгоритма будет заключаться в доказательстве того, что в несколько меньшей области в результате применения алгоритма мы получим решение уравнения с точностью до некоторой ошибки. Норма новой ошибки (в несколько меньшей области) может быть оценена сверху членом, равным квадрату нормы исходной ошибки, умноженному на (отрицательную) степень разности величин областей. Даже если невозможно оценить новую ошибку в исходной области, можно получить эти оценки в меньшей области. Квадратичная зависимость от величины исходной ошибки является чрезвычайно важной. В этом случае можно показать, что можно уменьшить область на весьма малую величину, если величина ошибки мала. То, что зависимость от потери области является степенной, определяет, насколько необходимо уменьшить область для получения лучшей оценки. Для того чтобы шаг итерации мог быть выполнен и чтобы это привело к желаемому улучшению, потребуется, чтобы некоторые выражения не были слишком большими. (Это то, на что мы намекали, когда упоминали, что решение хорошо себя ведет.) Разумеется, нам нужно будет проверить, что если начальная ошибка достаточно мала, то получающаяся в результате квадратичная сходимость позволяет нам постоянно добиваться выполнения индуктивного предположения.

Теорема, набросок доказательства которой мы приведем далее, имеет

вид:

где M+, M−, D и — конечные положительные постоянные.

Пусть Γ(M+, M−, D, K, ν) — функция, которая будет явно описана во время доказательства, где K и ν — константа и показатель, возникающие в диофантовом свойстве ω.

Если

Γ(M+, M−, D, K, ν),

то существует периодическая функция , (x + 1) = (x), удовлетворяющая (6.28).

Более того,

− 0 σ0/2 C ,

где C — постоянная, которая зависит от M+, M−, D, K, ν.

Доказательство будет выполнено с использованием квазиньютоновского метода. Метод вполне аналогичен доказательству теоремы 4.1. Мы попытаемся решить уравнение в бесконечно малых, получающееся в методе Ньютона. Это приведет к уравнению, которое не является непосредственно разрешимым методом параграфа 3.4. Тем не менее, манипулируя в уравнении с остатком, мы придем к факторизации уравнения, которая будет разрешима индуктивным применением теории для уравнения (3.27).

Обозначим

где R мало.

Предписание метода Ньютона состоит в нахождении периодической ,

Это уравнение (6.34) не является сразу разрешимым в терминах коэффициентов Фурье (как указано в упражнении 3.17), поскольку слагаемое (2 + V ( (x) + x))Δ(x) не является диагональным в коэффициентах Фурье. Наш следующий шаг состоит в изменении уравнения таким образом, чтобы оно стало разрешимым при использовании методов Фурье. Последующие манипуляции, хотя довольно прямолинейны и действительно удобны для вычислений, возможно, будут выглядеть загадочно, но в следующих параграфах мы покажем, что успех связан с естественными геометрическими причинами.

Если мы возьмем производные по x от (6.33), то, обозначая че-

да (3.27), которые можно изучать, используя лемму 3.15. Сначала мы решим (6.38) относительно W , далее возьмем решение и подставим его в

правую часть (6.37). Затем мы решаем (6.37) относительно + 1 , отсюда

получим , просто умножив на + 1.

Разумеется, для того чтобы выполнить предложенный план, нам нужно проверить, что уравнения, которые мы планируем решить, действительно разрешимы (т. е. что их правая часть имеет нулевое среднее значение). Позднее нам нужно будет получить оценки полученного таким образом решения.

То, что (6.38) может быть решено, мы получили, проделав вычисление в параграфе 2.1, когда хотели показать разрешимость уравнения (2.17). После получения разрешимости уравнения (6.38) с точностью до прибавления константы мы можем определить прибавляемую константу в W таким образом, чтобы правая часть (6.37) имела нулевое среднее значение.

(Отметим, что прибавление константы W к W меняет среднее значение

правой части (6.37) на W · (( + 1)( + 1) ◦ T−ω )−1 dx.) Интеграл не равен нулю. Поскольку мы предположили по индукции, что знаменатель в подынтегральном выражении отделен снизу от нуля, интеграл является положительным. Действительно, мы можем получить оценку для него при предположениях, заданных в нашей индуктивной гипотезе.

То, что эта процедура работает, можно показать, используя знакомый метод.

Прибавляя и вычитая, мы покажем, что при заданных индуктивных предположениях об оценках для || + 1||σ , ||( + 1)−1||σ вышеизложенная процедура приводит к новому квадратичному остатку. То есть как обычно,

имеем

||Rn+1||σn −δn ||Rn||2σn CK2δn−τ .

18По-видимому, промежуточное преобразование равенства (6.36) с выброшенным слагаемым R , облегчающее понимание перехода к системе (6.37) – (6.38), — следующее:

[Δ ◦ T−ω g − g ◦ T−ω ] ◦ Tω − [Δ ◦ T−ω g − g ◦ T−ω ] = −g R.

При этом выражение в квадратных скобках равно W . — Прим. ред.

Предполагаемые нами ограничения на производные несколько ухудшаются, но вновь квадратичная сходимость гарантирует то, что они останутся ограниченными во время итерации.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.9. Замечательные сокращения (см. (6.35), (6.34)) для производной остатка и линеаризованного уравнения, которые позволяют нам получить метод, сходящийся квадратично, решая лишь линейное уравнение (и выполняя простые умножения и деления на известные функции), не являются случайными. В [SZ89] описывается, как они работают для закручивающих отображений, если мы используем уравнения, заданные производящими функциями, связывающими их с лагранжевым формализмом.

Действительно, существуют более глубокие причины. Например, сокращения применяются к дифференциальным уравнениям в частных производных. См. [Koz83], [Mos88].

ЗАМЕЧАНИЕ 6.10. Если нас интересует доказательство существования инвариантных окружностей для значений параметров задачи, близких к оптимальному значению, насколько это возможно, следует приготовиться к преодолению той трудности, что качество решения становится все хуже и хуже. Действительно, области аналитичности сокращаются, и функции g и 1/g подходят все более и более близко к наличию нулей. Действительно, существуют точные предсказания, не строгие, но подтвержденные численно, что при разрушении инвариантной окружности для отображения, заданного (2.2), все сложности возникают одновременно, и, действительно, все оцениваемые величины расходятся, как степени расстояния параметра до критического значения.

См. в [BCCF92] результаты численных расчетов и в [dlL92] — нестрогое объяснение и явно сформулированные гипотезы.

6.4.Доказательство без замены переменных

Вэтом параграфе мы представим другое доказательство теоремы 6.2. Это доказательство основано на [GJdlLV00]. Версия метода для торов малых размерностей была представлена в [JdlLZ99].

Доказательство в действительности доказывает нечто более общее, поскольку для основного результата не требуется, чтобы отображение являлось точным. Разумеется, без предположения о точности мы не можем ожидать существования инвариантных торов, как было показано в примерах. Заключением основной теоремы является то, что для симплектических отображений, которые удовлетворяют всем другим предположениям теоремы 6.2, существует тор, который жестко переносится в направлении действий. Приближенно можно сказать, что точки тора поворачиваются.

Это обобщение на большие размерности теоремы о переносе кривой из [R¨us76b].

Если мы предположим, что отображение является точным, то легко показать, что перенос исчезает и тор действительно становится инвариантным и движение на нем сопряжено жесткому вращению.

Рассмотрим симплектическое многообразие Td ×Rd, наделенное стандартной симплектической структурой.

Рассмотрим отображение F : Td × Rd → Td × Rd, которое является симплектическим (не обязательно точным), аналитическим (и удовлетворяет другим условиям, несколько более слабым, чем условия теоремы 6.2, мы сформулируем их, когда это потребуется для эвристического обсуждения). Зафиксируем диофантово ω и ищем отображение K : Td → Td × Rd и вектор a Rd такие, чтобы

Отметим, что уравнение (6.39), разумеется, выражает то, что образ тора переносится в направлении действия на вектор a.

В случае, когда F является интегрируемым отображением, все торы, задаваемые параметризацией

переносятся «вертикально». Поэтому мы ожидаем, что функции, которые нам нужно рассмотреть, будут близки к этому.

Позднее мы покажем, что если F точное (и удовлетворяет другим условиям), тогда a должен стать равным нулю. Это вполне аналогично цепочке рассуждений в [R¨us76b]. Когда d = 1, можно увидеть, что из условия нулевого потока действительно следует, что a = 0. Отметим, что хотя доказательство не использует точности симплектической структуры, оно использует симплектическую структуру. При подходящем переопределении переноса можно получить аналогичные теоремы для других симплектических многообразий.

Приведем набросок доказательства следующей теоремы:

Теорема 6.11. Предположим, что F — аналитическое симплектическое отображение Td × Rd, наделенного канонической симплектической структурой, и ω — диофантово число.

Предположим, что F близко к интегрируемому отображению и удовлетворяет условию невырожденности из теоремы 6.2. Предположим, что мы можем найти приближенное решение (K, a) уравнения (6.39).

Если ошибка в (6.39) достаточно мала (в зависимости от свойств F и K − K0 , где K0 — решение из (6.40)), то существует точное решение (6.39).

В частности, если мы выберем в качестве приближенного решения K0, как в (6.40), то предположения выполнены, когда F достаточно близко к интегрируемому отображению.

То, что F близко к интегрируемому, в действительности не является необходимым, как мы обнаружим из доказательства. На этой стадии это условие вводится только для того, чтобы избежать использования более сложного понятия невырожденности, чем то, которое используется в теореме 6.2. Как и доказательство из параграфа 6.3, его можно применить ко всем отображениям вида (2.2). Даже это можно обобщить, сформулировав подходящим образом понятие вырожденности. См. [GJdlLV00].

Очень простые вычисления (более общая версия опубликована в [JdlLZ99]) показывают, что если система точная, то перенос a для истинного решения должен быть нулевым.

Предложение 6.12. Если K, удовлетворяющее (6.39), близко к K0 в аналитической норме и F точное, то a = 0.

Перед обсуждением теоремы 6.11 обсудим сначала доказательство

И, интегрируя по переменным θ1, · · · , θi−1, θi+1, · · · θd, мы получаем

ЗАМЕЧАНИЕ 6.13. Эта теорема (и предложение) гораздо слабее того, что можно доказать с помощью этого метода.

Например, предположение, что система близка к интегрируемой, может быть заменено несколькими количественными утверждениями о приближенном решении. Это весьма важно для нескольких приложений. Отметим, что приближенные вложения могут быть получены с помощью компьютера. Можно попытаться решить дискретизованные уравнения в рядах Фурье или, что является большим преимуществом для представленного метода, просто вычислить орбиты и вычислить преобразование Фурье. Это уточнение обсуждается более подробно в замечании 6.19.

После получения этого улучшения должно быть очевидно, что способ вложения тора не играет никакой роли. Нам не нужно, чтобы система была близка к интегрируемой или чтобы торы были близки к интегрируемым. (Это главная трудность в изложении из [Bos86].)

В частности, мы можем обосновать существование торов, топология которых отличается от топологии торов невозмущенной системы. (Недавно к этим вторичным торам возник некоторый интерес, поскольку существуют численные эксперименты, по результатам которых можно предположить, что вторичные торы очень важны для статистических свойств зацепленных систем [HdlL00].)

Также важным преимуществом метода является то, что он позволяет иметь дело с более вырожденными ситуациями, чем закручивающие отображения.

Мы отсылаем читателя к [GJdlLV00] за этими уточнениями, а также за другими подробностями доказательства. Также см. в [JdlLZ99] другие приложения аналогичных методов к исследованию торов малых размерностей.

Теперь опишем основные идеи доказательства. И вновь подробности см. в [GJdlLV00].

Метод доказательства является итерационной процедурой, в которой мы начинаем с того, что уравнение (6.39) удовлетворяется с некоторой ошибкой, и получаем решение, удовлетворяющее уравнению с меньшей ошибкой. Разумеется, как обычно в этой теории, мы имеем в виду под меньшей ошибкой то, что величина новой ошибки будет оцениваться сверху (в меньшей области, чем исходная) квадратом величины исходной ошибки, умноженным на коэффициент, равный параметру уменьшения области в отрицательной степени. Разумеется, к этому моменту сходимость процедуры должна быть вполне понятной. В действительности, поскольку нам не нужно делать замены переменных и не нужно следить за многими геометрическими структурами, индуктивное предположение будет очень умеренным.

Мы начнем с эвристического обсуждения.

Рассмотрим приближенное решение уравнения (6.39), т. е.

К сожалению, это уравнение еще не является разрешимым простыми методами, такими как сравнение коэффициентов Фурье, поскольку оно содержит непостоянный коэффициент DF ◦ K(θ).

Следовательно, мы попытаемся сравнить его с уравнением, полученным взятием производных от (6.41):

В этот момент мы собираемся ввести некоторые обозначения (которые не являются совершенно необходимыми, но сделают геометрию более конкретной). Мы определим D(θ) := DF ◦K(θ), и пусть K1(θ) является ортогональным базисом для ∂θK(θ). Предыдущее уравнение (6.43) принимает вид D(θ)K1(θ) − K1(θ + ω) = R1(θ). Как обычно, мы определим матрицу

Мы введем предположение, что M (θ) обратима для всех θ. Действительно, это единственная причина, почему мы предположили,

что F близко к интегрируемому. Если мы сформулируем теорему, предполагая, что M обратима, мы можем отбросить предположение о близости к интегрируемому случаю. Позже нам нужно будет сформулировать предположение о невырожденности, используя эту матрицу M .

Это более подробно объясняется в замечании 6.19 и в приведенных в нем ссылках. Используя (6.40), получаем

Вспомним также, что предположение о том, что отображение F сохраняет симплектическую форму, эквивалентно

Отсюда получаем, что B(θ) = Idd.

Мы отметим, что в интегрируемом случае матрица A(θ) является постоянной d × d-матрицей A, и из условия закручивания вытекает, что A обратима. Следовательно, в доказательстве теоремы мы предположим, что A(θ) — не очень далекая от постоянной обратимая матрица в том смысле, что A(θ) — обратимая матрица. Действительно, это единственное условие невырожденности, которое мы предположим.

Мы обращаем внимание на тот факт, что предположение невырожденности равносильно лишь обратимости M и тому факту, что A(θ) обратима. Эти предположения могут быть проверены апостериорно на численно вычисленном решении или на приближенном решении, полученном каки- ми-либо другими способами. За исключением этого, нам не нужны никакие другие свойства отображения F . См. замечание 6.19 и ссылки, приведенные в нем, для объяснения этого альтернативного подхода.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.14. Легко показать, что при диофантовых условиях мы можем свести блок A(θ) к константе так, чтобы матрица действительно являлась приводимой. Тем не менее для приложений, которые мы имеем ввиду, это бесполезно. Действительно, выполняя это, мы имеем дело с дополнительными малыми знаменателями, которые могут ухудшить результат.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.15. Более геометрическая интерпретация предыдущих вычислений заключается в утверждении, что DF ◦ K(θ) является приводимой матрицей, когда K является параметризацией инвариантного тора с помощью жесткого вращения.

Мы хотим привести геометрическое рассуждение, которое показывает, что линеаризация уравнений около инвариантного тора приводима. Рассуждение покажет, что для приближенного решения уравнение будет приближенно приводимым и, следовательно, что можно начать итерационную процедуру, в которой на шаге итерации мы улучшаем решение основного уравнения и его приводимость.