Введение в КАМ-теорию

матриц плотно в множестве всех матриц. Таким образом, спектр (2.30) совпадает со множеством, описанным в (2.31), на плотном множестве матриц. Мы также заметим, что этот спектр непрерывен относительно линейного оператора.

Если d = 1 и |a| = 1, то условие предложения 2.12 (обычно называемое

условием нерезонансности) сводится к

a = e2πiω , ω R − Q.

Заметим, что даже если a(an−1 − 1) = 0, оно может быть сколь угодно близко к нулю, так как множество e2πiω(n−1) плотно на единичной окруж-

ности. Таким образом, при вычислении hn мы опять сталкиваемся с малыми знаменателями.

Заметим также, что при d > 1 мы можем получить малые знаменатели, если существуют |ai| > 1, |aj | < 1, даже если они действительные числа. Когда все |aj | = 1, aj = e2πiωj , условие нерезонансности сводится к

Теперь мы изучим некоторые аналитические свойства h. Конечно, степенные ряды сходятся в круге (возможно, нулевого радиуса), и возникает вопрос: возможно ли построить аналитическое продолжение h на большую область.

Предложение 2.13. Если функция f целая, то максимальная область определения h инвариантна относительно A.

В частности, если d = 1, |a| = 1, an = 1, область сходимости является кругом. (Радиус круга, в котором сходится ряд для функции h такой, что h (0) = 1, называется радиусом Зигеля.)

Более того, когда d = 1, |a| 1, an = 1, отображение h является инъективным в области сходимости.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для того чтобы доказать первое утверждение, мы заметим, что, если функция f — целая и h — аналитическая в окрестности z0, мы можем использовать функциональное уравнение (2.24) для того, чтобы определить функцию h в окрестности точки A z0.

Таким образом, если h определена в области D и точка z0 D соединена с началом координат кривой γ D, то Az0 соединена с началом координат кривой aγ aD. Таким образом, она определена в AD D, и это аналитическое продолжение единственно. Если мы рассмотрим максимальную область определения, то AD D D. Следовательно, AD = D.

32 ВВЕДЕНИЕ В КАМ-ТЕОРИЮ

Второе утверждение следует из того, что только круги являются инвариантными относительно иррациональных поворотов.

Для того чтобы доказать инъективность, мы предположим, что h(z1) = = h(z2) и одно из значений, например z2, отлично от 0. Мы хотим доказать,

что z1 = z2.

Используя (2.24), получаем h(az1) = h(az2). Повторяя этот процесс, получаем h(anz1) = h(anz2).

где α = z1/z2. Множество, на котором выполняется (2.33), имеет предельную точку: когда |a| < 1, предельной точкой является 0, когда |a| = 1, то (поскольку при иррациональном повороте траектории плотны на окружности) мы приходим к выводу, что это соотношение выполняется для всего единичного круга. Дифференцируя в точке z = 0 и используя h (0) = 1, мы получаем α = 1.

УПРАЖНЕНИЕ 2.14. Покажите, что заключения предложения 2.13 остаются справедливыми, если d > 1 и A — диагонализуемая матрица с собственными числами, лежащими внутри единичного круга и удовлетворяющими условию (2.32). А именно,

i’) область определения является поликругом,

ii’) эта функция инъективна в своей области определения.

УПРАЖНЕНИЕ 2.15. Мы знаем, что область аналитичности функции h в (2.24) — круг, теперь наша задача — найти его радиус.

Оценки снизу получаются из КАМ-теории.

Получите оценки сверху, также используя тот факт, что, по теореме Бибербаха – де Бранджеса, коэффициенты Тейлора инъективной функции удовлетворяют оценкам сверху, которые зависят от радиуса круга. С другой стороны, мы знаем явные выражения для этих коэффициентов.

Также получите оценки сверху, когда f (z) = az + z2, используя фор-

зная, что в множестве значений h (среди ограниченных траекторий) не может быть точек, лежащих вне круга радиуса 2, и используя знание коэффициентов hk .

Это упражнение детально разобрано в работе [Ran87], в которой получены оценки сверху и снизу для радиуса, соответствующего числу вращения, равному золотому сечению.

для больших n, где через logk мы обозначаем функцию log, примененную k раз.

Действительно, в работе [Yoc95] показано, что если ω не удовлетворяет условию (2.34), то f (z) = e2πiω z +z2 не линеаризуема в любой окрестности начала координат.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.16. В работе [Yoc95] приведен следующий результат: если функция f (z), такая, что f (0) = 0, f (0) = a и |a| = 1, не линеаризуема в окрестности 0, то квадратичная функция az + z2 не линеаризуема.

См. также [PM00].

В случае одномерных переменных можно использовать мощный аппарат теории непрерывных дробей для выражения условия Брюно в эквивалентной форме.

n

является необходимым и достаточным для существования феномена Кремера, заключающегося в накоплении периодических траекторий вблизи начала координат, в том смысле, что когда условие (2.36) выполнено, тогда все нелинеаризуемые функции имеют последовательность периодических решений, накапливающуюся в окрестности нуля. Если условие (2.36) не выполнено, то существует нелинеаризуемый росток аналитической функции, для которого в окрестности нуля нет периодических траекторий, отличных от нуля.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.17. Заметим, что формула (2.35) имеет очень интересные ковариантные свойства относительно модулярных преобразований. Эти свойства были весьма успешно использованы в [MMY97].

Не входя в детали, мы покажем, что другая функция, имеющая близкое

отношение к определенной нами функции, удовлетворяет (положим (x) =

B

= +∞, если x Q) соотношениям

Аналогичные свойства инвариантности выполнены для суммы, появляющейся в (2.36). Однако эти свойства, по-видимому, не исследовались столь же детально.

К сожалению, эта одномерная теория не имеет обобщений на многомерный случай. Некоторые предварительные численные результаты представлены в [Tom96].

ЗАМЕЧАНИЕ 2.18. Имеется весьма похожая теория замен переменных для дифференциальных уравнений, в которой задача сводится к линейному или к некоторому из канонических видов.

Конечно, эти нормализации напоминают нормализации в теории особенностей и являются фундаментом для многих прикладных теорий, таких как теория бифуркаций.

Аналогичная теория имеется для случая C∞ и Cr . Типичным здесь является предположение об отсутствии собственных значений, равных по модулю единице. Эта теория обычно называется теорией Стейнберга.

Существует теория приведения отображений и дифференциальных уравнений, сохраняющих симплектичекую или другую геометрическую структуру, к нормальной форме с помощью замен переменных, сохраняющих ту же структуру.

Мы не будем обсуждать большую часть из этих интересных вопросов. Для более подробного ознакомления с ними см. [Bru89], [Bib79].

3.Предварительные замечания

Вэтой главе мы приведем некоторые сведения из анализа, теории чисел и симплектической геометрии. Специалистам, наверняка, этот материал хорошо известен, и им следует ознакомиться с этой главой лишь постольку, поскольку на нее имеются ссылки в последующих главах. Конечно, эта глава не является заменой для учебников по анализу или геометрии. Я бы порекомендовал для ознакомления с геометрией работы [Thi97], [AM78], [GP74] и для ознакомления с анализом — [Ste70], [Kat76]. Многие методы

36 ВВЕДЕНИЕ В КАМ-ТЕОРИЮ

обсуждаются в других работах по КАМ-теории, которые будут упоминаться по ходу изложения. Отметим, что работы [Mos66b], [Mos66a] содержат великолепное введение для многих аналитических методов.

При предыдущем обсуждении рядов Линдштедта нам приходилось по-

также возникающие в КАМ-теории.

Первым шагом для получения доказательств КАМ-теоремы является развитие теории таких уравнений. То есть нам надо найти такие условия на ω и η, чтобы функция, определенная (2.14), имела точный смысл.

Основные эвристические принципы очень просты:

1)чем выше порядок гладкости функции η, тем быстрее убывают ее коэффициенты Фурье ηk ,

2)некоторые числа ω таковы, что знаменатели, появляющиеся в решении (2.14), растут не очень быстро с увеличением k,

3)следовательно, для чисел, упомянутых в 2), мы можем придать смысл формальным решениям уравнения (2.14), когда рассматриваемая функция гладкая.

Разделы 3.1, 3.3, 3.4 посвящены уточнению приведенных выше рассуждений. Мы обсудим теоретико-числовые свойства (обычно называемые диофантовыми свойствами), которые определяют, насколько малыми могут быть знаменатели как функции от k. Мы также изучим свойства регулярности в терминах коэффициентов Фурье.

Как показано в (2.7) и (2.8), результат в КАМ-теории зависит от геометрических свойств отображения, и поэтому ясно, что мы должны понять, какие именно геометрические свойства будут использоваться в наших исследованиях. Более того, многие из традиционных доказательств действительно используют геометрический формализм. Поэтому в разделе 3.5 собраны необходимые нам факты из дифференциальной геометрии.

3.1.Сведения из анализа

Всовременном анализе принято характеризовать регулярность функции принадлежностью ее к некоторому пространству в определенной шкале пространств. Вот некоторые шкалы пространств, часто используемых на компактных многообразиях:

ет некоторые неудачные моменты. Пространства Cr+0, Cr+1 неоднозначны и могут трактоваться как в смысле первого, так и в смысле второго определения. Действительно, при рассмотрении Cr+0, согласно этим двум определениям, соответствующие пространства совпадают (то есть функции, принадлежащие одному пространству, являются функциями в другом пространстве, и топологии этих пространств совпадают), но нормы в этих пространствах различны (эти нормы эквивалентны).

С другой стороны, пространство Cr+1 различается в зависимости от того, в смысле какого именно определения мы его рассматриваем. Чтобы избежать этой двусмысленности, в случае второго определения мы будем использовать обозначение Cr+Lip.

Все введенные выше шкалы пространств имеют как преимущества, так и недостатки. Из недостатков Cr+α мы отметим, что при r = 0 эти пространства являются гельдеровскими¨ пространствами, которые можно определить более обще (например, как метрические пространства), а когда r 1 — это определение требует дифференцируемой системы коорди-

Вновь обращаем ваше внимание на то, что определение этих пространств на многообразиях весьма сложно, если не использовать локальных координат. Выбор различных локальных координат приводит к различным нормам. К счастью, все эти нормы эквивалентны и определяют одну и ту же топологию в пространствах.

Заметьте, что Cr нормы могут быть естественно заданы на любом гладком римановом многообразии. (Норма производных может быть определена, поскольку она является нормой мультилинейных операторов на касательном расслоении.)

Главное неудобство Cr (предполагается, что r — целое число) состоит в том, что характеристика рядами Фурье весьма громоздка. Интегрируя по частям, легко показать, что

где Cr — константа, зависящая только от r. С другой стороны, для любого δ > 0

Оба неравенства (3.2) и (3.3) оптимальны в следующем смысле. В неравенстве (3.2) оптимум достигается на тригонометрических полиномах, в то время как обычное прямоугольное колебание или его итерации показывают, что показатель в правой части неравенства (3.3) невозможно уменьшить до r + 1. Если рассматривать функции на Td, d > 1, то расхождение между неравенствами сверху и снизу становится еще большим. В этом случае для обеспечения сходимости рядов в неравенстве (3.3) необходимо взять δ > d. Эти соображения показывают, что если при изучении регулярности принимать во внимание лишь размер коэффициентов, то это приводит к не самым оптимальным результатам.

УПРАЖНЕНИЕ 3.1. Покажите, что для любой заданной последовательности an положительных чисел, сходящейся к нулю, множество непрерывных

функций f с lim sup |fk|/ak = ∞ является множеством второй категории

k

Бэра в C0.

С точки зрения характеристики нормы функции в терминах ее коэффициентов Фурье пространства аналитических функций Aδ ведут себя лучше. Интегрируя по подходящему контуру, мы получаем, благодаря неравенству

k

Разумеется, для пространств Соболева характеристика в терминах коэффициентов Фурье является чрезвычайно удобной:

Пространства Соболева имеют другие преимущества. Например, ими очень удобно пользоваться при численных исследованиях и при работе с операторами в частных производных. Многие методы, используемые нами в пространствах Λα, также переносятся на пространства Соболева.

Например, интерполяционные неравенства имеют вид:

Это неравенство является частным случаем следующего неравенства Ниренберга:

где 1/r = (1 − i/m)(1/p) + (i/m)(1/q). См. [Ada75], стр. 79.