Введение в КАМ-теорию

В некоторых случаях, особенно когда существует какое-либо сжатие (разумеется, это никогда не происходит для гамильтоновых систем), можно использовать саму теорию возмущений, чтобы показать, что никакая траектория никогда не покинет эту область.

Отметим, что если решено уравнение (3.55), то мы получаем

gε−1 ◦ Φεt ◦ gε = Φ0t ,

где Φεt и Φ0t обозначают потоки для Hε и H0 соответственно.

Чтобы решить (3.55), в первую очередь, необходимо параметризовать семейства gε так, чтобы (3.55) можно было решать для последовательных порядков.

Одна возможность, исследовавшаяся в книгах, написанных в старомодной манере (но неудобная для применения на практике для многих приложений), заключается в параметризации gε с помощью их производящих функций (см. параграф 3.7). Одним из недостатков производящих функций является необходимость предположения существования глобальной системы координат, которые являются смешанными переменными (или работа с локальными координатами). Другим недостатком этого метода является то, что правило композиции является неуклюжим и подразумевает решение уравнений в неявном виде (см. параграф 3.7).

Другая альтернатива, которая является более геометрической, заключается в использовании рядов Ли. Основная идея состоит в том, что мы пытаемся рассматривать преобразования как сдвиги вдоль гамильтоновых векторных полей на время, равное единице. Более подробные руководства по рядам — это [MH92], [Mey91], [DF76]. Обзоры канонической теории возмущений с точки зрения физиков, включая разнообразные приложения, см. в [Car81], [Omo86].

Сдвиги вдоль векторного поля L на время, равное единице, обычно записываются как exp(L). Причиной этого обозначения является замечание, что пространство векторных полей может рассматриваться как алгебра Ли пространства диффеоморфизмов. Также если мы отождествляем g с опера-

тором

Ug : L2(M ) → L2(M ) : g → Ug ϕ = ϕ ◦ g,

тогда exp(L) = Ug в обычном смысле теории операторов, когда L — полный поток, сохраняющий объем.

Это обозначение вызывает различные размышления, и хотелось бы также воспользоваться методами теории групп Ли такими, как формула

где [ , ] обозначает коммутатор и Tn — это сумма последовательно применяемых коммутаторов L, L1.

Даже если суммы в (3.56) не могут рассматриваться как сходящиеся, формула может быть обоснована в соответствующем слабом смысле ([dlLMM86]), и верно, что при применении формулы до n-го порядка для достаточное количество раз дифференцируемых векторных полей мы имеем

n=1

же для аналитических ϕ (набросок доказательства будет приведен позже). Однако несложно получить оценки CL,L1,N (N !)k для некоторого k > 0, поэтому (3.57) вполне может использоваться для количественных оценок.

В связи с (3.56) интересно отметить, что коммутатор двух локально-га- мильтоновых векторных полей является глобально-гамильтоновым (см. предложение 3.21). Следовательно, даже если L, L1 только локально-га- мильтоновы, все Tn являются глобально-гамильтоновыми и поэтому могут описываться функцией Гамильтона.

Существуют несколько вариантов метода преобразований Ли, которые рассматривались в литературе, в зависимости от того, как мы запишем наше отображение кандидата в терминах экспонент (сдвигов на время, равное единице) гамильтоновых векторных полей. Далее приводятся некоторые методы, предлагавшиеся в литературе в том порядке, в котором они возникали исторически:

(См., соответственно, [Dep70], [DF76], [dlLMM86].)

Уравнение рекурсии для разложений возмущенных функций может быть вычислено достаточно прямолинейно, если мы используем с отбрасыванием (мы можем так действовать, если мы интерпретируем формулы в

где Rn — это выражение, которое зависит только on ранее вычисленных членов.

Отметим, что, если существует теория для решений уравнений вида (3.62), мы можем действовать в соответствии с вышеизложенными схемами для возмущения.

Если мы возьмем

H0(p, q) = ω · p,

то (3.62) сводится к уравнению (3.27), которое мы изучили (когда ω удовлетворяет диофантову предположению) в параграфе 3.4. И данные, и неизвестные в (3.62) имеют дополнительную переменную, но, поскольку она входит как параметр, мы можем обсудить регулярность уравнения в терминах развитой нами теории.

Отметим, что, возможно, более важно, что если существует хорошая теория приближенных решений уравнений (3.62), мы можем решить иерархии уравнений приближенно. Это важно в практической деятельности, а также в некоторых доказательствах КАМ-теоремы.

Также отметим, что интегрируемая система H0(p) может быть записана с использованием разложения в ряд Тейлора

H0(p) = H0(0) + ω · p + O(p2).

Следовательно, мы можем приближенно решить (3.62) в достаточно малой окрестности множества {p = 0}. Именно это используется в действительности в КАМ-теории.

Эти алгоритмы также представляют собой практические инструменты, которые могут быть и были реализованы численно. Следующие два замечания относятся к некоторым вопросам, связанным с численными реализациями.

В приложении к [dlLMM86] показано, что теории, основанные на трех вышеизложенных схемах (и на других), эквивалентны в том смысле, что получаемые с их помощью результаты эквивалентны в смысле асимптотических рядов.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.22. Мы подчеркиваем, что хотя все схемы (3.58), (3.59), (3.60) формально эквивалентны в том смысле, что они требуют решения одних и тех же уравнений, они отнюдь не эквивалентны с точки зрения эффективности и устойчивости численных реализаций или с точки зрения подробных оценок или даже сходимости.

Как мы указывали, экспонента векторных полей не покрывает никакой окрестности единичного элемента в группе диффеоморфизмов, поэтому формула (3.58) не дает хорошей параметризации окрестности единичного элемента, и, возможно, с этим связано то, что она является менее устойчивой и т. д. по сравнению с (3.59) [DF76].

Метод (3.60) [dlLMM86] в действительности является сходящимся во многих случаях. Действительно, как мы увидим, КАМ-теорема утверждает, что в некоторых случаях он сходится. Например, он является сходящимся для рядов возмущений, которые основаны на методе Колмогорова, обсуждаемом в параграфе 6.1.

Единственные известные мне численные реализации (3.60) — это несколько экспериментальных реализаций, выполненных А. Дельшамсом и автором, но похоже, что схема (3.60) с большой вероятностью может оказаться очень эффективной и устойчивой. Действительно, она, похоже, является единственным методом, для которого можно установить сходимость.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.23. Иногда при численном решении уравнений (3.58), (3.59), (3.60) полезно (как с точки зрения скорости, так и надежности) не

выполнять решение последовательных порядков, а вместо этого брать группы порядков из отрезка [2n, 2n+1 − 1].

Это равносильно решению уравнений методом Ньютона в пространстве семейств. Недостатком, по сравнению с алгоритмом решения последовательных порядков, является то, что на каждом шаге приходится решать

разные уравнения. Это неудобство иногда перекрывается тем преимуществом, что одно линейное уравнение позволяет исследовать много порядков и уравнения, которые нужно решать, могут оказаться более устойчивыми, чем при других методах.

Эти квадратичные алгоритмы могут использоваться для всех трех вышеописанных методов. Тем не менее, их реализация несколько проще в (3.60), в котором уже имеется некоторая квадратичная сходимость.

Мы подчеркиваем, что все методы могут исследоваться как для последовательных порядков, так и квадратично.

Я считаю, что весьма важно разработать более полную теорию этих алгоритмов.

Одна лемма, которой мы воспользуемся позже, заключается в том, что можно аппроксимировать действие преобразования Ли на функциях с помощью лишь первого члена ряда экспоненты.

Лемма 3.24. Пусть H, G — функции на Tn × Rn, наделенном канонической симплектической структурой. Мы используем для аналитических норм функций обозначения из (3.12).

Предположим, что

i)H σ конечна,

ii)для константы C, которая зависит только от размерности, имеем при δ > 0

Тогда для другой константы C, зависящей только от размерности, мы имеем

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно оценкам Коши (3.13) мы имеем

с константой C, которая зависит только от размерности.

Константа в (3.63) выбрана так, чтобы правая часть (3.65) была меньше, чем δ/2.

Поэтому все траектории гамильтонова потока, порождаемого G, который начинается в области

Dσ−δ ≡ {|I| e2π(σ−δ), | Im(φ)| σ − δ},

не выходят из области Dσ−δ/2 за время, меньшее единицы (отметим, что они движутся со скоростью, которая не позволяет им пересечь зону, разделяющую области за единицу времени). Следовательно,

exp(LG)(Dσ−δ ) Dσ−δ/2.

В частности, мы можем определить композицию H ◦ exp(LG) в Dσ−δ . Для любой точки (I, φ) мы можем оценить разность вдоль траектории,

используя теорему Тейлора с остаточным членом вдоль траектории. Достаточно оценить вторую производную от H и возвести в квадрат смещение. Вторую производную от H можно оценить с помощью оценки Коши (3.13)

ЗАМЕЧАНИЕ 3.25. Аналоги леммы 3.24 верны на любом аналитическом симплектическом многообразии. Нужно лишь подходящим образом определить нормы аналитических функций, неравенства Коши и т. д. В версии КАМ-теории, которую мы рассматриваем в этом руководстве, достаточно сформулированного нами варианта, но мы предлагаем читателю сформулировать и доказать более общие утверждения.

Также можно разработать каноническую теорию возмущений для отображений. Вновь основная идея заключается в замене переменных так, чтобы система становилась близкой к системе, которая «вполне изучена».

Уравнение в возмущениях в этом случае принимает вид

Мы рассматриваем эти уравнения как уравнения относительно gε при заданном fε.

Эти уравнения исследовались традиционно с помощью параметризации fε, при использовании метода производящих функций, и аналогично для gε.

Более геометрический метод, используемый в теории возмущений, это метод деформаций, который был введен в теории особенностей. (В книге [MH92] также приводится этот метод, введенный в методе преобразований Ли.) Он, похоже, особенно хорошо подходит для обсуждения уравнений сопряженности, имеющих геометрическую природу. (Некоторые из глобальных геометрических приложений см. в [dlLMM86], [BdlLW96].) Запишем

Будем называть fε семейством, Fε — производящей функцией, Fε — гамильтонианом и примем типографское соглашение об использовании одной и той же буквы для обозначения объектов, связанных одним и тем же семейством, будем использовать строчные буквы для обозначения семейства, каллиграфический шрифт — для обозначения производящей функции и заглавную букву — для обозначения гамильтониана.

Отметим, что при предположении, что Fε принадлежит классу C1 при заданной производящей функции и начальной точке f0 семейства, мы можем восстановить fε единственным образом. Следовательно, при заданном Fε C2 и f0 мы можем восстановить fε.

Если мы выразим уравнение (3.66) в терминах производящих функций, то оно примет вид

(Напомним, что в гамильтоновом случае fε Gε = Gε ◦ fε.)

Существуют несколько преимуществ, связанных с выражением уравнения (3.66) в терминах производящих функций и гамильтонианов:

•Уравнения в терминах производящих функций являются линейными. Это естественно, если мы вспомним, что векторные поля — это бесконечно малые величины, которые могут, поэтому, входить в уравнение только линейно.

•Геометрическая структура — не только симплектическая, но также сохраняющая объем и контактная (которую мы не обсуждали и не будем обсуждать в этих лекциях) — сохраняется без дополнительных ограничений.

•Эти уравнения геометрически естественны и могут быть сформулированы глобально.

Доказательство того, что (3.67) и (3.68) эквивалентны (3.66), легко следует из наблюдения, что

Несмотря на то, что уравнения (3.68) линейны относительно гамильтониана Fε, мы должны иметь в виду, что fε зависит от Fε посредством очень нелинейного процесса решения соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тем не менее, можно аппроксимировать (3.68) с помощью

Когда f0(I, φ) = (I, φ + ω), это уравнение (для фиксированных I) имеет вид (3.27) разностного уравнения, которое изучалось в параграфе 3.4. Поскольку I может рассматриваться просто как параметр в данных для уравнения, мы можем использовать теорию регулярности, построенную для (3.27).

Если Gε является решением (3.70), отметим, что

Интуиция говорит, что если Fε мала, то мы можем считать, что Gε (полученная при решении линейного уравнения с правой частью Fε) мала и что fε − f0 (полученная при решении дифференциального уравнения, которое содержит производные от Fε) также мала. Следовательно, член в правой части (3.71) является «квадратично» малым.

Используя оценки в лемме 3.15, теорему о среднем и т. д., мы можем доказать оценку в пространствах аналитических функций

(fε − f0 )Gε σ−δ Cδ−2ν−4 Fε σ.

Аналогично, для конечно-дифференцируемого случая

(fε − f0 )Gε Λr C Fε 2Λr+ν+4 .

Отметим также, что если мы запишем

Fε = εF1 + ε2F2 + · · ·

и попробуем найти

Gε = εG1 + ε2G2 + · · · ,

то (3.68) можно преобразовать в иерархию уравнений для Gn. Все уравнения имеют вид

Gn − f0 Gn + Fn = Rn,

где Rn — выражение, содержащее ранее вычисленные члены.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.26. Для дальнейшего важно отметить, что как (3.66), так и (3.55) имеет «групповую структуру».

Это означает, что если мы можем найти приближенное решение gε (например, решая уравнения для первого порядка), то мы можем выполнить замену переменных и положить

тогда мы решили исходную задачу, поскольку объединяя (3.72) и (3.73), мы получаем

(gε ◦ gε)−1 ◦ fε ◦ gε ◦ gε = f0, Hε ◦ gε ◦ gε = H0.

Важность вышеуказанного наблюдения, которое позже будет оценено по достоинству, заключается в том, что, производя последовательные замены переменных, мы можем исключить все линейные члены из выражения для величины ошибки, решая уравнение, которое просто является линеаризованным уравнением в интегрируемой системе.

Это важное отличие от стандартного метода Ньютона, поскольку стандартный метод Ньютона требует решения линеаризованного уравнения в окрестности.

Тот факт, что мы можем получить метод, который для всех целей подобен методу Ньютона, но, тем не менее, требует только, чтобы мы знали, как решать одно линеаризованное уравнение, критически зависит от того факта, что уравнения, которые мы изучаем, имеют особую структуру, которая называется групповой структурой и будет обсуждаться более подробно в главе 5, см., в частности, замечание 5.7 и упражнение 4.23.

3.7. Производящие функции

Одна из причин, почему гамильтонова механика является настолько удобной, заключается в простоте, с которой можно построить достаточное количество канонических преобразований.

В книгах, написанных в старомодном стиле ([Whi88], [Gol80], [LL76]), можно найти описание канонических преобразований в терминах производящих функций. Мы вкратце опишем их только для сравнения с более старыми книгами. Однако следует отметить, что производящие функции, даже если они не столь полезны с точки зрения теории преобразований (существуют более удобные инструменты, такие как преобразования Ли), по-прежнему являются весьма полезными инструментами в вариационной формулировке гамильтоновой механики, тем самым образуя ценную связь с лагранжевой механикой. Более того, некоторые конструкции, которые возникают для производящих функций, весьма естественны в оптике. См. [BW65].

Уравнение

ции pi = pi ◦ f , qi = qi ◦ f . Тогда θ = p dq и f θ = p dq ; S является функцией на многообразии.

Когда система q, q является хорошей системой координат (т. е. p мож-

но выразить как функцию от q и q , p = p(q, q )), мы можем определить функцию S : Rn × Rn → R, полагая S(q, q ) := S(q, p(q, q )). Обычно в

старомодных обозначениях это описывается как «выражая S в терминах q и q », или просто записью «S = S(q, q )», или чем-нибудь подобным. Очень часто одна и та же буква используется для S, S.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.27. В старомодных обозначениях в механике одна и та же буква используется для функций, которые дают один и тот же результат, независимо от аргументов. Разумеется, даже если читатель почти справляется с этим и ему удается понять, что означают S(q, p), S(q, q ), уделяя внимание аргументам функций, это обозначение причиняет огромные неудобства при попытке вычислить значения в конкретных точках. Например, что означает S(2, π), когда в одно и то же время рассматриваются S(q, p), S(q, q )?

Отметим, однако, что предположение о том, что q, q являются системой координат, отнюдь не является тривиальным. Для начала совсем не очевидно, что рассматриваемое нами многообразие допускает систему координат. Даже если это так или если мы рассматриваем лишь окрестность