Введение в КАМ-теорию

•КАМ-методы были обобщены на эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных — эти уравнения не являются эволюционными. Роль времени в КАМ при этом играют пространственные переменные. (См. [Koz83], [Mos88], [Mos95].) Это также связано с вариационной структурой уравнений [Mos86], [Ban89].

•Имеется ряд теорем, аналогичных КАМ-теоремам, чьи доказательства основаны на других принципах, в частности, на использовании ре- норм-группы [BGK99], [Koc99], [Kos91]. В связи с этим, возможно, также следует упомянуть некоторые недавние доказательства, в которых даже не используется фурье-анализ: [KS86], [KS87], [SK89], [KO93], [KO89b], [KO89a], [Sta88], [Hay90], [Sti94].

•Более интересно, что ренорм-группы использовались для того, чтобы описать разрушение инвариантных окружностей, начиная с работы [McK82], которая содержит прекрасное описание этого процесса в терминах неподвижных точек и инвариантных многообразий для операторов и делает очень детальные предсказания относительно масштабирования при разрушении, или [ED81], в которой используется более простой подход, дающий менее детальные предсказания. Многое из того, что известно на этом этапе исследований, остается на уровне гипотез, подтвержденных численными экспериментами. Действительно, все еще имеются весьма важные вопросы, ответы на которые не известны даже на этом уровне. Среди строгих работ в этой области отметим [Sti93], [Sti97].

•КАМ-теория стала инструментом прикладной математики с появлением конструктивных теорем для оценки надежности численных методов [CC95], [dlLR91], [Sch95], [Jor99].

•Для некоторых частных случаев КАМ-теории также достигнут очень важный прогресс в исследовании пределов применимости теории; для комплексных отображений (особенно для квадратичных, см. [Yoc95]) была разъяснена роль арифметических условий. См. также [PM00]. Также достигнута ясность в исследованиях радиуса сходимости линеаризации тех же самых отображений [MMY97].

Для некоторых закручивающих отображений имеется очень существенный прогресс при исследовании несуществования торов [Mat88], [MP85], [Jun91]. Области сходимости разложений в ряды при возмущении были проанализированы с использованием методов, подобных тем, что применяются для исследования аналитических комплексных

отображений, начиная с работы [Dav94], в которой исследовалось отображение, являющееся промежуточным между комплексными аналитическими отображениями и закручивающими отображениями, и затем

в [MS92], [BM95], [BG99].

•Для изучения квазипериодических траекторий закручивающих отображений используются два различных подхода: вариационные методы Мезера [MF94] и метод ренорм-группы [Koc99].

Во многих случаях область применимости этих теорий намного больше, чем у KAM-теории, и поэтому они дают некоторое представление о том, что происходит в тех случаях, когда неприменима КАМ-теория.

•Значительный прогресс достигнут при использовании «прямых методов», которые основаны на выписывании разложений в ряды теории возмущений и доказательстве их сходимости путем более глубокого изучения структуры малых знаменателей.

При исследовании итераций аналитических функций эти методы привели к исходному доказательству Зигеля [Sie42], в котором впервые была осознана проблема малых знаменателей. Они также использовались в первом доказательстве оптимальных арифметических условий [Brj71].

При изучении рядов Линдштедта (см. параграф 2.1) доказательство сходимости, явно демонстрирующее взаимное сокращение слагаемых ряда, было выполнено в [Eli96] (препринт был опубликован гораздо раньше). Доказательство сходимости ряда Линдштедта в [Eli96] намного элегантнее, чем в [Sie42]. В отличие от слагаемых в разложениях, рассмотренных в [Sie42], слагаемые в ряде Линдштедта растут очень быстро, и нельзя установить сходимость, оценивая лишь величину слагаемых. Необходимо установить взаимное сокращение слагаемых.

Изложения и упрощения этой работы, также связывающие ее с методами теории возмущений в квантовой теории поля, можно найти в [Gal94b], [GG95], [CF94], и обобщения на некоторые дифференциальные уравнения в частных производных — в [CF96].

Прямые методы не только привели к альтернативным доказательствам известных фактов, но также использовались при доказательстве нескольких результатов, которые в настоящее время, кажется, не имеют доказательства, использующего быстро сходящиеся методы. Насколько я знаю, следующие результаты получены с использованием прямых методов и не имеют доказательств с помощью быстро сходящихся

методов: существование некоторых инвариантных многообразий, содержащихся в центральных многообразиях, в [Pos86]¨ было доказано с использованием взаимного сокращения слагаемых, подобно доказательству Зигеля. Кажется, что не существует доказательства этих результатов с помощью быстро сходящихся методов (однако см. [Sto94a], [Sto94b], где решается очень похожая задача).

Более глубокие сокращения слагаемых из работы [Eli96] использовались при доказательстве гипотез Галлавотти (из которых следует, помимо всего прочего, удивительный результат, что аналитический гамильтониан вблизи эллиптической неподвижной точки представляет собой сумму двух интегрируемых систем, разумеется, интегрируемых

вразных системах координат) [Eli89] и для доказательства существования квазиплоских пересечений в [Gal94a]. Пока недоказанной остается гипотеза, что при использовании рядов Линдштедта для изучения КАМ-торов малых размерностей нужно меньше условий на малые знаменатели, чем в KAM-доказательстве. (См. обсуждение этой проблемы

в[JdlLZ99].)

•В областях, тесно связанных с КАМ-теорией, таких как усреднение и теория Нехорошева также достигнут значительный прогресс.

•Хотя этот вопрос несколько выпадает из ряда тем, которые будут обсуждаться в этой книге, отметим, что в близких областях исследований, таких как теория усреднения и оценки по Нехорошеву, также получен ряд важных достижений. Вкратце перечислим их: изящное доказательство теоремы, основанное на аппроксимации периодическими траекториями [Loc92], доказательство гипотезы об оптимальных показателях ([LN92], [Pos93]),¨ [DG96] — более поздняя работа представляет единую точку зрения для теорем КАМ-теории и теории Нехорошева, а также доказательства оценок по Нехорошеву в окрестности эллиптической неподвижной точки [GFB98], [FGB98], [Nie98], [Pos]¨. Что касается новейших направлений, то были получены теоремы типа Нехорошева для дифференциальных уравнений в частных производных [BN98], [Nek99], [Bam99b], [Bam99a].

•Этот список можно (и, возможно, следует) продолжить другими темами, которые связаны с КАМ-теорией и связывают ее с другими теориями механики, такими как теория усреднения, теория Обри – Мезера, квантовые версии КАМ-теории, теории жесткости, экспоненциальные асимптотики или диффузия Арнольда и многими другими, которые даже не упомянуты главным образом из-за невежества лектора, о чем он искренне сожалеет.

Само собой разумеется, что в этом руководстве мы не сможем воздать должное всем упомянутым выше темам. (В действительности, я даже не смею надеяться, что вышеупомянутый список тем и ссылок является полным.) Единственная цель данного руководства заключается в том, чтобы предоставить вводную информацию к главным идеям, которые следует изучать по литературе. Возможно, мне частично удастся передать ощущение красоты и воодушевления, испытываемое при работе с этой областью исследований.

Очевидно, что я не могу (не собираюсь) делать каких-либо утверждений о новизне или законченности данного руководства. Это — не систематический обзор современных областей исследования. При написании этих заметок я поставил перед собой более скромную цель. Она состоит в том, чтобы помочь некоторым читателям начинать изучение КАМ-теории, предложив им примерный путеводитель по этой красивой и активной области исследований. Я лишь надеюсь, что многочисленные недостатки этого руководства побудят кого-нибудь к написанию надлежащего обзора или лучшего руководства. Между тем, я предлагаю всем читателям посылать мне комментарии, исправления и предложения для улучшения этого руководства, которое будет доступно для всех желающих через Интернет.

2. Некоторые примеры и мотивировки

2.1. Ряды Линдштедта для закручивающих отображений

Одной из первоначальных целей КАМ-теории было изучение квазипериодических решений гамильтоновых систем. В этой главе мы приведем некоторые элементарные и известные примеры.

Одним из особенно показательных примеров служит так называемое стандартное отображение. Это отображение из R × T в себя. Обозначим координату в R символом p, а угловую — q. Обозначая через pn, qn значения этих координат в момент дискретного времени n, отображение можно записать как

где V (x) = V (x + 1) — гладкая (для наших целей в этой главе — аналитическая) функция. Мы будем также использовать это отображение в более явном виде:

Подставляя выражение для pn+1 из второго уравнения (2.1) в первое, мы

поэтому «горизонтальные» окружности {pn = const, n Z} в цилиндре сохраняются, и движение каждого qn по каждой окружности представляет собой жесткое вращение, которое происходит быстрее на окружностях с большими pn. Обратите внимание, что, когда p0 — иррациональной число, то из классической элементарной теоремы теории чисел следует, что траектория плотна на окружности. (Более глубокая теорема, полученная Вейлем, показывает, что она фактически равномерно распределена на окружности.)

Нас интересует, не сохранится ли частично подобное поведение при появлении возмущения ε. Более конкретно, нас интересует, существуют ли при этом сохраняющиеся квазипериодические траектории, плотно заполняющие окружность.

Задачи, качественно подобные (2.1), возникают в небесной механике [SM95], и роль этих квазипериодических траекторий была осознана уже давно. Довольно систематическое изучение этих траекторий можно найти уже в [Poi93], и при изложении этого вопроса в данной работе встречаются ссылки на множество более ранних работ.

Отметим, что для случая возмущений общего вида системы (2.6) квазипериодических траекторий не существуют. Например, если взять отображение в виде

pn+1 = pn − εpn,

(2.7)

qn+1 = qn + pn+1,

то при неоднократном применении (2.7) мы имеем

pn = (1 − ε)np0,

поэтому, когда 0 < ε < 2, все траектории сосредоточены на очень маленьком множестве p = 0 и мы получим не более чем одну частоту. Когда ε < 0 или ε > 2, все траектории, кроме лежащих в p = 0, быстро уходят на бесконечность. Следовательно, при использовании произвольно малых возмущений отображения могут радикально менять свое динамическое поведение.

В чуть более тонкой ситуации траектории отображения

pn+1 = pn + ε,

(2.8)

qn+1 = qn + pn+1

уходят на бесконечность и никогда не возвращаются к начальному положению (в частности, никогда не могут быть квазипериодическими).

В первом примере отображение не является сохраняющим площадь и движение сосредоточенно в меньшей области (в частности, оно не возвращается к начальному положению). Во втором примере отображение сохраняет площадь, но имеет ненулевой «поток».

Рис. 1. Поток — это ориентированная площадь между окружностью и ее образом под действием отображения.

Определение 2.1. «Поток» отображения цилиндра T , сохраняющего площадь, определен следующим образом. Для заданной на цилиндре непрерывной окружности γ поток отображения T равен ориентируемой площади между образом окружности T (γ) и самой γ (см. рисунок 1).

То, что отображение является сохраняющим площадь, сразу влечет, что этот поток не зависит от выбора окружности (следовательно, поток — инвариант отображения). Очевидно, что если отображение T имеет непрерывную инвариантную окружность, то поток должен равняться нулю, поэтому для (2.8) при ε = 0 не существует инвариантных окружностей, так как поток равен ε.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Отметим, что, если отображение имеет гомотопически нетривиальную инвариантную кривую, то поток равен нулю (вычислите его для кривой). Наоборот, если поток равен нулю, то любая гомотопиче- ски-нетривиальная кривая должна пересекаться со своим образом под действием отображения. (Если бы кривая не имела такого пересечения, то, по теореме Ролля, ее образ всегда бы располагался выше или ниже кривой.) Тот факт, что каждая кривая пересекает свой образ, играет важную роль в КАМ-теории и иногда называется свойством пересечения. Помимо со-

хранения площади и нулевого потока, существуют другие геометрические предположения, из которых следует свойство пересечения, из них мы особо отметим обратимость отображения (см. [AS86]).

Так как возмущение в (2.1) имеет вид V (qn), где V — 1-периодическая,

то 1 V (qn) dqn = V (1) − V (0) = 0. Следовательно, поток для (2.1) равен

0

нулю.

Мы видим, что даже возможность существования этих квазипериодических траекторий, заполняющих инвариантную окружность, зависит от геометрических инвариантов.

Действительно, когда мы рассматриваем многомерные механические системы, то аналогом сохранения площади служит сохранение симплектической формы, аналогом потока — инвариант Калаби [Cal70], и системы с нулевым инвариантом Калаби называются точными.

Отметим, однако, что связь геометрии с КАМ-теорией не столь очевидна. Хотя вышеупомянутые соображения показывают, что определенные геометрические свойства необходимы, они не позволяют судить о том, какой геометрической структурой должна обладать система, и тем более не дают никаких указаний, как использовать эту структуру в доказательстве.

Первым широко используемым и применимым в общем случае методом численного исследования квазипериодических траекторий, по-видимо- му, является метод Линдштедта. (Мы излагаем его здесь по работе [FdlL92].)

Основная идея метода Линдштедта заключается в следующем. Мы рассматриваем семейство квазипериодических функций, зависящих от параметра ε, и полагаем, что они являются решениями наших уравнений движения. Далее строим решение в виде степенного ряда по ε и решаем получившееся уравнение, приравнивая слагаемые с одинаковыми степенями ε в обеих частях уравнения. Давайте рассмотрим, как применить эту процедуру

n=0

и попытаемся решить уравнение, приравнивая одинаковые степени ε в обеих частях (2.9) (используя теорему Тейлора, разложим Tε ◦Kε(θ) в ряд по ε

до максимально возможной степени)2. То есть

Tε ◦ Kε(θ) = T0 ◦ K0 + ε[T1 ◦ K0 + (DT0 ◦ K0)K1]+

+ε2[T2 ◦ K0 + (DT0 ◦ K0)K2+

+(DT1 ◦ K0)K1 + 12 (D2T0 ◦ K0)K1 2] + . . .

Влагранжевой формулировке (2.3) мы ищем отображение gε : R→ R,

удовлетворяющее условию gε(θ + 1) = gε(θ)+ 1, или, эквивалентно, gε(θ) = = θ + ε(θ), где ε(θ + 1) = ε(θ), то есть ε : T1 → T1 такое, что

Если мы найдем решения (2.11), то можем гарантировать, что некоторые траектории qn решений (2.3) могут быть записаны в виде

qn = nω + ε(nω).

Обратите внимание, что поскольку при выборе координат на окружности мы можем поместить начало координат в любое место, то Kε(· + σ) является решением (2.9) одновременно с Kε и ε(· + σ) + σ является решением (2.11) одновременно с ε. Следовательно, мы всегда можем (и будем) полагать, что

1

0

Это предположение не связано с вопросами существования, так как всегда можно добиться его выполнения, но оно будет гарантировать единственность.

Если мы теперь запишем3

∞

ε(θ) = n(θ)εn

n=0

2Система обозначений несколько неудачна, так как Kn может означать как n-й член в ряде Тейлора, так и Kε, вычисленное при ε = n. В дальнейшем обсуждении обозначения K1, K2 и т. д. всегда будут относиться к членам разложения в ряд Тейлора. Обратите внимание, что K0 имеет одно и то же значение в обеих интерпретациях.

3То же самое замечание относительно неудачной системы обозначений, сделанное в (2.10), также применяется к этому случаю.

и начнем приравнивать соответствующие степени, то при сравнении членов нулевого порядка получаем

Lω 0(θ) ≡ 0(θ + ω) + 0(θ − ω) − 2 0(θ) = 0,

1

(2.13)

0(θ) dθ = 0.

0

При анализе оператора Lω в (2.13), многократно возникающего в КАМ-теории, удобно использовать коэффициенты Фурье. Отметим, что

Lω e2πikθ = 2(cos 2πkω − 1) e2πikθ .

2(cos 2πkω − 1) ϕk = ηk .

Таким образом, если ω / Q, то уравнение (2.13) может быть формально решено в коэффициентах Фурье и 0 = 0. (Позже мы построим аналитическую теорию и точно опишем условия, при которых эти решения действительно могут интерпретироваться как функции.)

При ω / Q получаем, что cos 2πkω = 1 за исключением случая, когда k = 0. Следовательно, даже на формальном уровне необходимо, что-

Обратите внимание, что статус решения (2.14) несколько неясен, поскольку 2πkω плотно на окружности, и, следовательно, знаменатель в (2.14) становится произвольно малым. Тем не менее при условии, что η — тригонометрический многочлен (см. упражнение 2.6, в котором этот факт получен при определенных условиях) и ω — иррациональное число, мы можем решить уравнение (2.13). В случае, когда правая часть уравнения является аналитической и число ω удовлетворяет некоторым теоретико-числовым свойствам (см. упражнение 2.16), мы можем показать, что решение аналитическое.