Введение в КАМ-теорию

Поэтому, если

M 5(e(ν−9+κ)αβκn−1 + e(1−2μ)αβκn )e−μαβκn+1 , (5.33)

мы получаем (p2;n+1)).

Условие (5.33) верно, когда κ < 2, μ > 2 −1 κ , ν > 9 − κ − μκ2 и β достаточно велико.

Поэтому мы установили, что, когда параметры μ, ν, κ удовлетворяют (5.27), (5.29), (5.30), (5.32), (5.33), мы можем выполнить индукцию и доказать теорему.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.30. С помощью вышеизложенных методов доказательства можно также получить результаты для функций класса C∞. Это значительно сложнее, чем использованные до сих пор идеи, и мы не будем обсуждать их.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.31. Во многих приложениях рассматриваемые вложения шкал пространств не просто непрерывны, но также компактны. Это позволяет несколько улучшить шаги. См. [Hor90],¨ где также содержатся очень интересные идеи о том, как использовать парадифференциальный математический анализ, и несколько новых интересных идей, позволяющих получить очень точные результаты о дифференцируемости.

6.Сохранение инвариантных торов для квазиинтегрируемых систем

Вэтом параграфе мы представим несколько доказательств теоремы, которая сделала КАМ-теорию знаменитой. Эта теорема очень полезна в механике и в эргодической теории.

Фактически теорема утверждает, что интегрируемая система, которая не является вырожденной (см. точные определения ниже) и является достаточно дифференцируемой, обладает тем свойством, что многие квазипериодические орбиты сохраняются при малых возмущениях.

Теорема имеет версии для гамильтоновых потоков и для точных симплектических отображений.

Простые версии теоремы, которые мы далее обсудим, могут быть сформулированы следующим образом:

произвольно близок в аналитической топологии к тору {I0} × Tn, плотно заполненному орбитой с частотой ω отображения F0.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.3. Условие (6.4) наложено, чтобы невозмущенное отображение являлось точным симплектическим.

Очевидным следствием (6.4) является то, что матрица в (6.5) симметрична.

В дальнейшем мы укажем несколько доказательств приведенных выше теорем.

Идеи и методы доказательства в обоих случаях примерно одни и те же. Более того, можно перейти от одного к другому с помощью нетривиальной конструкции [Dou82b], поэтому они действительно эквивалентны в точном смысле.

Поскольку доказательства этих теорем приводятся в литература уже

втечение нескольких десятилетий и многие оценки уже рассматривались

впредыдущей главе, мы оставим многие подробности читателю, отмечая упражнениями наиболее интересные.

Разумеется, теоремы в том виде, в котором они сформулированы выше, далеки от наиболее общего вида, но мы надеемся, что они по-прежнему являются достаточно сложными для иллюстрации методов теории и выполнения педагогических целей этих заметок. Мы также представим ссылки на литературу, где более детально разработанные аргументы, набросок которых мы попытаемся сделать, приводят к более точным результатам.

6.1. Метод Колмогорова

Оригинальную работу см. в [Kol54]. Намного менее подробное изложение приводится в приложении к [AM78]. Очень хорошие современные реализации метода приводятся в [BGGS84], [Bar70]. Более общее обсуждение идей, помещение их в намного более широкий контекст см. в [Mos67], [Zeh76a]. (См. замечание 6.6.)

Заметим, что гамильтонова система вида12

имеет гамильтоновы уравнения движения

˙

φ = ω + O(I), I˙ = O(I2),

следовательно, φ = φ0 + ωt, I = 0 является решением.

12Мы обозначаем через O(I2) функции A(I, φ) такие, что A(0, φ) = 0, ∂φ∂ A(0, φ) = 0, и аналогично для других порядков.

Квазиинтегрируемая система имеет вид

H(I, φ) = h(I) + R(I, φ),

где R(I, φ) «мала» в некотором смысле, который будет уточнен позже. Очевидно, мы можем рассматривать гамильтонианы, определенные с

точностью до константы. Мы запишем

h(I) = ωI + h2I2 + · · · + hnIn + h[>n](I),

где hiIi обозначает однородный полином степени i в разложение в

ряд Тейлора h (считайте Ii обозначением для всех мономов степени i) и h[>n](I) = o(In).

Аналогично, мы запишем, выполняя разложение в ряд Тейлора по переменной I,

R(I, φ) = R0(φ) + R1(φ)I + · · · + Rn(φ)In + R[>n](I, φ).

Тогда мы можем записать квазиинтегрируемый гамильтониан в виде

H(I, φ) = R0(φ) + ωI + R1(φ)I + h2I2 + R2(φ)I2 + H[>2](I, φ). (6.7)

Заметим, что, если R0(φ) и R1(φ) равны нулю, мы окажемся в ситуации, описанной в (6.6). Чтобы несколько расцветить описание доказательства, мы будем называть эти слагаемые «плохими» слагаемыми, поскольку из-за их присутствия невозможно простое доказательство существования квазипериодических орбит.

Идея доказательства теоремы 6.1 с помощью этого метода заключается в нахождении канонического преобразования C, близкого к тождественному, такого, чтобы H ◦ C−1 не имело плохих слагаемых.

Каноническое преобразование будет построено как предел последовательности канонических преобразований C(n, определенных рекурсивно по

и exp (−LG(n ) — сдвиг на время, равное единице, гамильтонова потока, соответствующего гамильтониану −G(n. Теория этих канонических преобразований была разработана в параграфе 3.6.13

13Обратите внимание, что каноническое преобразование в (6.8) не может быть порождено сдвигом на время, равное единице, векторного поля, порожденного функцией гамильтониана, поскольку оно не является точным симплектическим преобразованием. Можно построить доказательство, рассматривающее экспоненту локально-гамильтонова векторного поля, которое объединяет exp −LG(n ◦(T (n)−1. (См. [BGGS84].) Переносы мы рассмотрим отдельно при доказательстве теоремы о переносах кривой.

бавиться именно от слагаемых этого вида. Как мы вскоре увидим, это действует. (Если нет, то мы бы вернулись к началу и выбрали бы более сложное G(n.)

Хотя для доказательства, обсуждаемого нами достаточно, проверить, что преобразование вышеприведенного вида работает; читателя, собирающегося исследовать новые задачи, может заинтересовать то, что существует теория, предсказывающая, какого рода слагаемые будут работать, и мы привели ее набросок в замечании 6.6. См. также [Mos73], стр. 138.

Сначала опишем полуформально шаг, состоящий в построении преобразования G(n. Поскольку

H(n exp G(n = H(n + {H(n, G(n} + «члены второго порядка по G(n», (6.10)

мы пытаемся убрать плохие слагаемые в основной части (6.10). Расписывая (6.10) более подробно и принимая во внимание (6.9) и (6.7), мы получаем

H(n + {H(n, G(n} =ωI+

+{ωI, G(0n} + R0(n(φ)+

+{ωI, G(1n(φ)I} + {h(2nI2, G(0n(φ)} + R1(n(φ)I+

+{H[(>n1](I, φ), G(1n(φ)I}+

+{H[(>n2](I, φ), G(0n(φ)} + H[(>n1](I, φ)+

+«члены второго порядка по G(n».

(6.11) Обратите внимание, что «плохие» слагаемые в (6.11) (т. е. те, которые не содержат I или содержат только первую степень) — это в точности те, которые расположены на второй и третьей строках формулы (с точностью до слагаемых «второго порядка по G(n»).

Наша цель заключается в выборе G(n таким образом, чтобы плохие слагаемые в получающемся гамильтониане были намного меньше, чем плохие слагаемые в исходной системе. Если мы сможем убрать плохие слагаемые в основной части (6.11), гамильтониан в (6.10) будет иметь плохие слагаемые только «второго порядка по G(n».

Мы утверждаем, что всегда можно найти G(0n таким образом, чтобы мы убрали плохое слагаемое, не содержащее I. Приравнивая вторую строку (6.11) к нулю, мы получаем следующее уравнение относительно G(0n:

Уравнение (6.12) является уравнением вида (3.26), для которого мы построили теорию в лемме 3.15. Отметим, что {ωI, G(0n} = Lω G(0n(φ), где Lω — определено в (3.26).

Основное заключение теории леммы 3.15 состоит в том, что уравнение (6.12) всегда может быть разрешено (при условии, что функция является достаточно регулярной), если среднее значение правой части равно нулю. Обратите внимание, что, поскольку гамильтонианы определены только с точностью до прибавления константы, мы можем всегда гарантировать, что

R0(n имеет нулевое среднее значение и, следовательно, что уравнение (6.12)

может быть разрешено относительно G(0n.

Исключение второго плохого слагаемого в (6.11) является несколько более тонким. Уравнение для исключения этого слагаемого имеет вид

Функция G(0n, возникающая в (6.13), известна, поскольку мы получили ее решая (6.12), поэтому уравнение (6.13) является уравнением только относительно G(1n.

Замечая, что все слагаемые имеют структуру внутреннего произведения вектора (зависящего от φ) и I, а затем исключая этот вектор, мы можем записать уравнение (6.13) в виде

Уравнение для каждой компоненты из (6.14) — это лишь одно уравнение вида (3.26).

Мы видим, что (6.14) будет иметь решение тогда и только тогда, когда среднее значение правой части равно нулю. Среднее значение слагаемого

A)Вначале примем решение, что мы рассматриваем уменьшение обла-

стей вида δ02−n и выполняем оценки областей, параметризованных rn, определенным как rn+1 = rn − δ02−n.

B)Нам понадобится индуктивное предположение, что B.1) Имеются ограничения

(h(2n)−1 C1

и производные от R достаточно малы, потому они не влияют на применение теоремы о неявной функции (для обеспечения существования переноса T (n).

Выберем C1 в два раза большей, чем начальная постоянная: C1 :=

−1

. Нам нужно будет проверить, что если начальная ошибка достаточно мала, то итерационная процедура сохраняет предположение верным.

B.2) Предположим индуктивно, что

R(n rn C2,

где C2 — в два раза больше начального значения: C2 := := 2 R(0 r0 .

B.3) Мы также предположим, что имеются ограничения, аналогичные ограничениям, использованным при изучении задачи Зигеля,

Цель этих ограничений (6.17) заключается в обеспечении того, чтобы композиция H(n ◦T (n ◦exp(LG(n ) по-прежнему была определена в меньшей области.

C)Используя предположение B.1, мы можем оценить величину переноса как R(n rn , умноженное на универсальную константу.

При наличии B.2 мы видим, что величина остатка для H(n ◦ T (n по-прежнему имеет тот же порядок величины, что и R(n rn . (Порождаемые новые слагаемые малого порядка ограничены величиной переноса.)

D)Решая уравнение малых знаменателей, получаем G(1n, G(0n. Мы можем оценить

Множитель 2nτ /δ0τ — это обычный множитель с малым знаменателем, когда мы выбираем уменьшение области, как в A).

E)Эвристика может быть обоснована добавлением и вычитанием и применением теоремы о среднем во многом тем же самым способом, какой мы использовали в доказательстве теоремы Зигеля, но используя оценки, полученные в параграфе 3.6.

Мы получим

(6.18)

F) Остались, в сущности, лишь завершающие действия:

F.1) Нам нужно показать, что из квадратичной сходимости, порождаемой (6.18), следует, что индуктивные предположения в B) остаются справедливыми (если мы начинаем с достаточно малой ошибкой). Это достигается аналогично теореме Зигеля (единственным тонким моментом является (6.17), и это в точности то же, что и в области Зигеля).

F.2) Нам нужно показать, что преобразование, получающееся в пределе, сходится. Вновь, это не очень сложно, поскольку из квадратичной сходимости следует, что C(n сходятся к тождественному отображению чрезвычайно быстро.

Мы предлагаем читателю сравнить вышеизложенный набросок с работами [BGGS84] и [Bar70], которые содержат очень хорошо написанные полные доказательства.

Главное отличие в стратегиях упомянутых работ от изложения в нашей работе это то, что в [Bar70] используются производящие функции для работы с каноническими преобразованиями. И [BGGS84], и [Bar70] не делают различий между переносами и точными преобразованиями, и они используют только одно локально-гамильтоново преобразование, действие которого равносильно эффекту обсуждаемых нами двух шагов. Этого, разумеется, вполне достаточно для решения рассматриваемой задачи. Мы, однако, предпочитаем сохранить два отдельных типа преобразований ввиду теоремы о переносах кривой.

Очень поучительное, с методической точки зрения, доказательство частного случая этого результата (который, тем не менее, содержит наиболее существенные сложности) содержится в [Thi97]. Работа [Zeh76a] содержит