Введение в КАМ-теорию

То есть наша цель состоит в нахождении системы координат на касательном пространстве к тору такой, чтобы матрица, представляющая DF ◦ K(θ), имела постоянные компоненты.

Поскольку векторы ∂/∂θj параллельно переносятся вращением на торе, они образуют инвариантные векторные поля. Дополним эти векторы в каждой точке тора до симплектического базиса ∂/∂θ1, . . . ∂/∂θj , v1, . . . vj . Отметим, что векторы vj определены с точностью до добавления произвольных векторов, касательных к тору. В указанном базисе симплектиче-

можно использовать для приведения P к постоянной матрице.

Теперь легко видеть, что линеаризованное уравнение может быть решено с использованием уравнений вида (3.27).

Из вышеупомянутой геометрической интерпретации становится ясно, что нам не нужно, чтобы симплектическая форма была постоянной. Более того, очевидно, что не требуется, чтобы симплектическая форма имела переменные действие – угол, и она может содержать некоторые сингулярности.

Теперь алгоритм становится очень легким. Если мы запишем Δ(θ) = = M (θ)w(θ) и подставим в (6.42), то получим уравнение

(6.48) Поэтому, игнорируя последнее слагаемое правой части (6.48), которое является квадратичным, мы приходим к изучению уравнения

Мы утверждаем, что это уравнение для w, α может быть исследовано с использованием методов, которые мы получили в параграфе 3.4. Это является нашим шагом итерации. Разумеется, после этого эвристического вывода нам нужно вернуться назад и обосновать оценки шага и показать, что итерация возможна. Хотя это и является существенной частью доказательства, мы надеемся что при этом для читателя не возникнет никаких сюрпризов.

Если мы распишем (6.49) в компонентах, обозначая компоненты через w(θ) = (wφ(θ), wI (θ)) и через Πφ, ΠI — проекции на компоненты, тогда

wφ(θ) + A(θ)wI (θ) − wφ(θ + ω) = −ΠφM (θ + ω)−1 [R(θ) − (0, α)]),

wI (θ) − wI (θ + ω) = −ΠI M θ + ω)−1 [R(θ) − (0, α)] .

(6.50) Если мы посмотрим на второе уравнение в (6.50) (напомним, это уравнение для wφ и α), мы увидим, что это уравнение вида (3.27), которое мы уже исследовали. Мы выберем α таким образом, чтобы правая часть имела среднее значение, равное 0. (Это может быть выполнено, если M близко к единичной, а иначе это можно включить в предположение, проверяемое

апостериори на приближенном решении.) Отметим, что имеют место ограничения

Если мы предположим для удобства (также можно использовать несколько более точные предположения, см. замечание 6.19), что множители в правой части (6.51) удовлетворяют неравенству

Тогда мы можем применить лемму 3.15, чтобы получить wI с точностью до константы, которую мы определим в следующем уравнении.

Обозначая через wI решение с нулевым средним значением, мы имеем

Если мы посмотрим на первое уравнение (6.50), мы увидим, что на этом этапе доказательства оно является уравнением только относительно wφ и среднего значения wI . Следовательно, мы запишем его в виде

wφ(θ) − wφ(θ + ω) = −ΠφM (θ + ω)−1 [R(θ) − (0, α)]) − A(θ)wI (θ). (6.54)

то мы можем определить wI так, чтобы слагаемые в правой части (6.54) имели среднее значение 0. Имеем

|wI | C R σ.

В дальнейшем предположим, что

Следовательно, мы можем применить лемму 3.15 и получить wφ с нулевым средним значением, удовлетворяющее оценке

Отметим, что степень δ в этом случае в два раза выше, чем в предыдущем, поскольку правая часть (6.54) включает в себя решение предыдущего уравнения.

Из (6.53), (6.57), используя индуктивные предположения о величине M , мы получаем

σ−2δ Cδ−τ R σ.

Сэтого момента остаток доказательства теоремы о переносах торов вполне аналогичен предыдущим доказательствам, в частности доказательству теоремы 4.1.

При предположении, что

где Σ обозначает размер области аналитичности F , мы можем определить композицию F ◦ (K + Δ), и действительно, диапазон K + находится, по меньшей мере, на расстоянии δ от границы области определения F .

Отметим, что, добавляя и вычитая и используя теорему Тейлора для определения слагаемых, отбрасываемых при выводе (6.42) (и оценки Коши для определения величин связанных с этим производных), мы получаем

Отсюда мы можем сделать вывод, как и в предыдущих случаях, что если исходный остаток мал, то итерация может быть выполнена произвольно большое число раз, кроме того, итоговый остаток в своей области определения продолжает уменьшаться.

Заметим также, что это доказательство, в отличие от тех, которые основаны на композиции, не требует никакой тонкой индуктивной гипотезы для обеспечения совпадения областей композиции. Эти предположения, которые мы должны были рассматривать в доказательствах, основанных на композиции, являются тонкими, поскольку они требуют, чтобы ошибки убывали быстрее, чем происходит потеря аналитичности.

В этом случае нам нужно только проверить следующие предположения (6.58), (6.52), (6.55), (6.56).

Мы видим, что если мы начнем с достаточно малого остатка, то итерационная процедура не слишком сильно меняет A или M , поэтому при использовании на шаге ограничений, которые в два раза больше, чем на старте, оценки во время шага останутся верными, если исходная ошибка достаточно мала.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.16. Мы подчеркиваем, что единственная вещь, которая нам нужна для начала доказательства — это приближенное решение функционального уравнения.

Оно может быть получено множеством способов. Например, если система была близка к интегрируемой, можно взять в качестве начальной попытки параметризацию интегрируемой системы.

Возможны другие варианты выбора. Можно использовать несколько шагов ряда Линдштедта. В этом случае доказательство установит, что ряд Линдштедта является асимптотическим.

Более смело можно использовать результаты нестрогого, численного алгоритма при условии, что можно проверить строго, что, если имеется приближенное решение, затем можно получить строгое доказательство существования этих окружностей. Эти вопросы будут подробно исследованы в главе 7.

Мы также отметим, что представленное доказательство не требует многого от функции, за исключением того, чтобы она определяла параметризацию инвариантного тора. В частности, его мы можем применить к торам, топологические типы которых не представлены в исходной системе.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.17. Другое доказательство без замены переменных приводится в статье [Bos86], которая основана на неопубликованной работе М. Эрмана. Это доказательство также содержит теорему о переносе кривой.

Главная трудность, связанная с представленным здесь доказательством, заключается в методе параметризации кривых графиками функций. При изучении торов, которые не являются графиками, необходимо выполнить предварительную замену переменных.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.18. Требование закручивания в этом методе доказательства, соответственно, может быть значительно ослаблено.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.19. Вариант метода, полезный при изучении торов малых размерностей или некоторых вырожденных ситуаций, заключается в выборе в качестве стартовой точки процедуры не просто K, а K и M , которые, соответственно, почти решают уравнение и почти приводят уравнение к виду с постоянными коэффициентами.

Шаг итерации использует M , чтобы решить уравнение, а затем обновляет M , чтобы свести новое линеаризованное уравнение к еще более точной аппроксимации.

Объединяя улучшение по K и по M , можно достичь квадратичной сходимости.

Одним из преимуществ этого улучшения является то, что если изучаются торы малых размерностей, то как K, так и M могут быть вычислены пертурбативно. Приближенный K является полиномом по параметру возмущения. Тем не менее, M является полиномом по квадратному корню. Следовательно, итерационный метод, основанный на обеих аппроксимациях может захватывать структуру сингулярности намного лучше, чем обсуждавшиеся нами ранее аппроксимации.

Подробности о применении этого метода для торов малых размерностей см. в [JdlLZ99].

ЗАМЕЧАНИЕ 6.20. Кажется, что эти методы приведения уравнения к виду с постоянными коэффициентами являются оружием несколько избыточной мощности. Когда мы пытаемся обратить оператор, то его диагонализация — это несколько больше, чем нужно.

Действительно, значительные достижения в КАМ-теории для дифференциальных уравнений в частных производных возникли, когда фокус сместился с вопросов диагонализации линейного оператора, что обычно делалось в КАМ-теории, к простому использованию оценок обратного оператора. (См. [CW93], [Bou99a].) Хотя мы не будем обсуждать это в нашем руководстве, когда рассматриваются эллиптические торы малых размерностей, некоторые резонансы, которые возникают в некоторых доказательствах, являются препятствиями к диагонализации оператора, а не к обратимости. Поэтому они могут быть исключены из доказательств существования тора, если оно основано на обращении оператора, а не просто на его диагонализации. (См. [Bou97].) По этому вопросу мы обращаем внимание на результаты профессора Эллиасона. Он показал, что даже если окажется, что торы являются неприводимыми, то для невозмущенного случая можно показать, что они произвольно близки к приводимым. Этого достаточно, чтобы продолжить итерационную процедуру.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.21. Один момент, весьма удивляющий меня, заключается в том, что если вычислять ряд Линдштедта для торов малых размерностей, то возникают только малые знаменатели, связанные с частотами движения на торе. Это значительно меньшие малые знаменатели, чем те, которые возникают в доказательствах, упомянутых выше, в которых нужно принять во внимание знаменатели, которые возникают, когда гармоники внутренних

частот тора близки к нормальной частоте. Доказательства, в которых также доказывается приводимость торов малых размерностей, даже требуют больше условий на малые знаменатели. В них нужно принять во внимание случаи, когда разности двух нормальных частот становятся комбинацией частот движения в торе.

В [JdlLZ99] можно найти доказательство факта, что ряд Линдштедта является асимптотическим и определяет аналитическую функцию в большом секторе. (Необходимо исключить экспоненциально тонкий клин.) Тем не менее, сходимость или несходимость этих рядов не была установлена.

Отметим, что в то же самое время, когда строится ряд для тора, тогда же строится ряд для приводящей матрицы, который также не имеет других малых знаменателей, кроме малых знаменателей внутренних частот. Сходимость этого ряда также не была установлена.

7.Некоторые замечания о доказательствах, полученных с помощью компьютера

Существование или несуществование инвариантных торов в системе, возникающей в конкретном приложении, может иметь огромное практическое значение.

Например, существуют многие системы, такие как ускорители или плазменные устройства, которые достаточно хорошо моделируются гамильтоновыми системами. Существование торов в этих системах имеет очень глубокое влияние на их долговременное поведение. Например, если система является двумерным отображением, то инвариантные окружности являются границами инвариантных областей. Это чрезвычайно интересно для плазменных устройств, чья цель состоит в удержании плазмы, или для ускорителей, которые пытаются удержать на месте пучок частиц. Действительно, многие из этих устройств сконструированы таким образом, чтобы максимизировать количество и устойчивость инвариантных торов. При этом надеются, что даже если гамильтоново приближение не является совершенно точным, то КАМ-торы все равно каким-либо образом выживут.

В небесной механике мы также заинтересованы в нахождении областей

синвариантными торами, поскольку они подходят для орбит ожидания. Разумное численное экспериментирование с динамическими система-

ми является замечательным источником прозрений и вдохновения, хотя, разумеется, многие работы являются нестрогими и, следовательно, не вполне подходят для этого руководства. Мы предлагаем читателю изучить работы [Hen83],´ [Sim98], в которых исследуются некоторые вопросы, связанные

с численными расчетами, и работу [Mei92], в которой представлена точка зрения, более близкая к физическим приложениям.

Разумеется, в этих приложениях также хочется получить, помимо существования, информацию о форме тора и более подробное описание его свойств. Мы хотим обсудить в этом параграфе, как некоторые из этих нестрогих вычислений могут быть превращены в теоремы.

Основное наблюдение заключается в том, что некоторые доказательства КАМ-теории, представленные нами здесь, состоят в том, что они формулируют функциональное уравнение и показывают, что если дано приближенное решение, которое не является слишком плохим с аналитической точки зрения, то существует истинное решение, которое, кроме того, не слишком далеко от приближенного. Эти конструктивные методы не требуют, чтобы система была близка к интегрируемой.

Отметим, что для этих доказательств неважно, как мы получили приближенные решения. Единственная вещь, которую нам нужно строго проверить, — это то, что эти приближенные решения действительно удовлетворяют функциональному уравнению с малой ошибкой и что их свойства аналитичности адекватны. Следовательно, задача проверки соответствия истинным решениям этих вычисленных решений сводится к тому, чтобы строго показать, что численно определенные функции действительно решают искомое функциональное уравнение с хорошей точностью, и строго проверить их свойства аналитичности.

Разумеется, если дан один полином с несколькими коэффициентами, то можно представить себе изучение его свойств относительно простого уравнения, такого как (6.33), с помощью карандаша и блокнота. (См. пример этих проверок с помощью карандаша и бумаги в [Her86].) Тем не менее, если число коэффициентов приближается к тому, что считается хорошей точностью в методах вычислений (часто это несколько сотен или несколько тысяч коэффициентов), то расчеты с использованием блокнота становятся невозможными.

Хотелось бы для этого использовать компьютер. Проблема с использованием компьютера заключается в том, что компьютеры при обычной работе не работают с вещественными числами и не выполняют на них математические арифметические операции. В своем нормальном режиме работы компьютеры имеют дело лишь с конечными множествами чисел, с представимыми числами19 На этих представимых числах мы можем выполнять

19В современных компьютерах почти всегда примерно 264 представимых чисел, которые могут быть записаны в 8 байтах, существуют несколько деликатных и сложных вопросов, таких как денормализованные числа. Большинство компьютеров также используют для определенных вычислений числа с 80 битами; таких чисел 280.

Существует весьма подробный стандарт IEEE [IEE85] о том, как выполнять арифметиче-

арифметические операции, которые являются приближениями арифметических операций на вещественных числах.

Эти операции производят аппроксимацию к истинному ответу, если это возможно20, или, если это невозможно, приводят приемлемый ответ в терминах представимых чисел (например, если вы попросите компьютер умножить на 10 наибольшее из представимых чисел или попытаетесь поделить на нуль), они обычно не возвращают ответ, а объявляют исключительную ситуацию, которая обычно приводит к каким-нибудь радикальным действиям, например программа вынужденно внезапно прерывается, возможно, копируя содержимое памяти в файл (dumping a core), который может быть изучен для выявления проблемы. (Надлежащее обсуждение тонкостей, связанных с реализацией арифметики с плавающей точкой, см. в [Knu97].)

Одна из проблем с этими приближенными вычислениями состоит в том, что приближенное от приближенного может быть недостаточно точным. Намного менее точным, если повторять процесс аппроксимации большое число раз. Разумеется, поскольку компьютеры в настоящее время выполняют более ста миллионов операций в секунду, нам следует беспокоиться о том, что в результате выполнения миллионов приближений мы можем уйти от хорошей аппроксимации.

Как знает каждый хороший специалист по численному анализу, получение чисел не является слишком сложным делом. Если компьютер не загорится, вы получите числа. Действительно сложным вопросом является получение чисел, которым можно доверять. Еще сложнее создать методы, которые гарантируют, что полученным числам можно доверять. Следует иметь в виду, что большая часть технологических и научных исследований ведется в пограничных областях, на границе применимости алгоритмов. (Если изучаемые нами задачи надежно решаются, нам следует исправить ситуацию, перейдя к более сложным задачам.)

Проблема надежности арифметических вычислений значительно более насущна для задач, связанных с малыми знаменателями. Мы уже видели,

ские операции с числами. В нем не только указывается используемая точность, но также рассматривается округление и сообщения об ошибках, таких как попытка деления на нуль или переполнение. Этот стандарт в настоящее время почти повсюду реализуется в микросхемах и языках программирования (весьма неожиданно, что язык Java не включает в себя этот стандарт), и существуют хорошие тесты на соответствие, поэтому можно оценивать компьютерную арифметику. См. [Kah96].

20Процесс получения представимого числа из истинного результата называется округлением. Возвращение представимого числа, которое больше, чем истинный результат, называется округлением вверх, аналогично округлением вниз, округлением к ближайшему, округлением к нулю и т. д. Стандарт IEEE содержит вышеперечисленные частные случаи, и пользователь может управлять свойствами округления и исключительных ситуаций, присваивая значение управляющему параметру.

Один способ получения надежных результатов с помощью компьютера без слишком большой потери производительности заключается в использовании интервальной арифметики (См. [Moo79], [KM84].) Идея заключается с том, что вещественная переменная представляется двумя представимыми числами, которые являются верхней и нижней границами для значения интересующей нас переменной.

После ограничения значений переменной можно оперировать этими границами таким образом, чтобы всегда продолжать получать границы. Единственная тонкость состоит в том, что при сложении верхних границ нужно округлять вверх, при сложении нижних границ — округлять вниз и т. д. Это может быть выполнено частичным перепрограммированием арифметики или, в системах, которые соответствуют стандарту IEEE, путем придания подходящего значения управляющему параметру. Это быстро приводит к арифметике между интервалами, которая вычисляет границы арифметических выражений по заданным границам переменных.

Можно перейти от границ арифметических выражений к границам множеств в функциональных пространствах. Например, можно указать множество в пространстве функций. Например, если мы укажем множество аналитических функции как

где vi — интервалы (т. е. пары представимых чисел) и ε является представимым числом. (Разумеется, существует много вариантов. Можно, например, принять во внимание, что некоторые ошибки являются ошибками высокого порядка, использовать другую норму для ошибок или даже несколько норм одновременно.)

Достаточно легко вообразить, как можно определить операции на множествах типа (7.1) так, чтобы численные операции ограничивали реальные операции на множествах. С несколько большим воображением можно выполнять композиции, интегралы и другие операции. В частности, можно реализовать операции, связанные с вычислением слагаемых в (6.28).

Если начать с полученной численно, нестрогой оценки, можно использовать строгие теоремы интервальной арифметики для проверки условий теоремы 6.8 или какой-нибудь другой теоремы, имеющей аналогичную структуру, тогда можно гарантировать, что вблизи вычисленного существует истинное решение. Эта стратегия была реализована в [Ran87], [dlLR91]. Аналогичные идеи были использованы в [CC95].

Действительно, в настоящее время, начиная с вдохновляющего доказательства работы [Lan82] (оно основано на обычной теореме о сжимающих