Введение в КАМ-теорию

где через Txj Σ мы обозначим касательную плоскость j-го порядка к Σ. Тогда мы можем найти константу CΣ, зависящую только от много-

образия, такую, что

∞

|Σ − DΩ| CΣ Ω(r)1/l rn−1,

r=1

где через | · | мы обозначим риманов объем этого многообразия.

Геометрический смысл условия (3.25) леммы заключается в том, что многообразие не является слишком плоским и что оно имеет ненулевые кривизну и кручение (или кручения высших порядков), так что каждая окрестность произвольной точки искривлена во всех направлениях в пространстве. В частности, мы получим нижнюю границу площади части многообразия, которую можно заключить в резонансную область, расположенную возле произвольной плоскости в пространстве ω.

Завершение доказательства остается в качестве упражнения для заинтересованных читателей. См. также параграфы по теории чисел в этой книге.

Доказательство сразу следует из наблюдения, что, ввиду (3.25), мы можем

оценить меру областей (Σ Bk,l) CΣΩ(k)−1/l. Наихудший случай воз-

l Z

никает, когда многообразие имеет касание очень высокого порядка с одной из резонансных областей. Поскольку порядок касания, а также связанные с ним константы равномерно ограничены, мы получаем искомый результат.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.11.Отметим, что определение диофантовых свойств (3.18)

и(3.19) также имеет смысл, если позволить ω принимать комплексные значения. Такое иногда случается, когда мы изучаем комплексные отображения,

иэта формулировка является полезным инструментом в таких ситуациях. Отметим, что представленное доказательство является совершенно аналогичным в случае, когда ω принимает комплексные значения. Действительно, норму обратной величины можно оценить сверху нормой обратной величины вещественной части (или нормой обратной величины мнимой части), поэтому когда вещественная или мнимая части вектора ω являются диофантовыми, то и вектор является диофантовым.

Иногда при исследовании задач с полиномами нам нужны лишь неравенства для k Nn. Не приходится и говорить, что такие неравенства удовлетворяются гораздо проще, поскольку в этом случае меньше возможностей для компенсации знаков, которые приводят к малым значениям.

УПРАЖНЕНИЕ 3.12. Постройте комплексный вектор, который является диофантовым, но его вещественная и мнимая части не диофантовы.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.13. То же самое простое рассуждение, которое используется при доказательстве леммы 3.9, может быть использовано не только для определения меры Лебега множества диофантовых чисел, но и для других геометрических свойств (например, размерности Хаусдорфа) множеств, удовлетворяющих диофантовым свойствам, которые обязаны принадлежать многообразию, иметь резонанс и т. д.

3.4.Оценки для линеаризованного уравнения

Вэтом параграфе мы рассмотрим оценки для следующих уравнений (3.26), (3.27), которые часто используются в КАМ-теории. Мы уже сталкивались с ними при исследовании рядов Линдштедта и вновь встретим их в виде линеаризованных уравнений.

где η : Tn → R задана и нужно найти неизвестную функцию ϕ.

Для простоты мы подробно рассмотрим лишь уравнение (3.26). Те же самые рассуждения применимы и для (3.27), и мы отметим незначительные различия (фактически упрощения), возникающие при рассмотрении (3.27).

Напомним, что эти уравнения имеют формальное решение в терминах рядов Фурье. А именно: если

то решение уравнения (3.26) в любом разумном функциональном классе, в котором коэффициенты Фурье определяются однозначно (например, в классе обобщенных функций), должно удовлетворять равенствам

ϕk 2πik · ω = ηk .

Ограничимся изучением случаев, когда k · ω = 0 для любого k Zn− {0}. В этом случае ϕ определяется выражением (3.28) с точностью до прибавления константы, поскольку мы можем взять произвольное ϕ0. Чтобы избежать ненужных усложнений, примем ϕ0 = 0.

Легко видеть, что если не наложить некоторого ограничения на скорость роста |k · ω|−1, то решение, определенное (3.28), может не оказаться даже обобщенной функцией. Например, возьмем ηk = e−|k| и до-

бьемся того, чтобы существовало бесконечное количество k, для которых

|k · ω|−1 ee|k| .

УПРАЖНЕНИЕ 3.14. Для произвольной последовательности an положительных слагаемых, стремящейся к бесконечности, постройте ω Rn − Qn такие, чтобы для бесконечного количества k Zn выполнялись оценки

Покажите, что множество ω, построенное выше, плотно (хотя, как мы показали ранее, мера этих множеств равна нулю для последовательностей an, которые растут достаточно быстро).

Рассмотрим ω, которые удовлетворяют неравенствам

Эти числа изучались в параграфе 3.3.

Несложно получить некоторые грубые оценки для аналитических и ко- нечно-дифференцируемых функций (позже мы получим более тонкие оценки). Напомним, что для η Aδ

|ηk | e−2πδ|k| η Aδ ,

а для η Cr —

|ηk | (2π)−r |k|−r η Cr .

Следовательно, если ω удовлетворяет (3.30), то для η Aδ получаем

|ϕk | (2π)−1γ|k|ν e−2πδ|k| η Aδ ,

а для η Cr —

|ϕk | (2π)−r−1γ|k|ν−r η Cr .

Эти оценки не позволяют нам заявить, что ϕ принадлежит тому же пространству, что и η, но при этом мы можем утверждать, что ϕ принадлежит несколько более слабому пространству.

Фактически, можно добиться большего, чем эти грубые оценки, если заметить, что малые знаменатели возникают достаточно редко (см. [R¨us75], [R¨us76b]).

Отметим, что ω ·(k+ ) = ω ·k+ω · . Следовательно, если значение ω · k окажется очень малым, то ω ·(k + ) ≈ ω · , поэтому если | | |k|, то ω ·(k + + ) ≈ ω · .

Другими словами, возникающие по-настоящему неприятные малые знаменатели окружены шаром, в котором знаменатели не столь уж малы. Следовательно, если вместо оценки величины, как в (3.31) с использованием оценок (3.18), на третьем шаге мы воспользуемся неравенством Коши – Шварца, в котором рассматривается сумма членов, а не просто супремум, и которое может извлечь пользу из того факта, что в неравенстве (3.18) равенство достигается не слишком часто, то мы получим результат работ [R¨us75], [R¨us76b], который имеет вид:

Лемма 3.15. Предположим, что ω удовлетворяет (3.18) при ν n − 1 и что ω удовлетворяет (3.19). Пусть η, η — аналитические функции с нулевым средним значением.

Тогда мы можем найти ϕ, ϕ, решая (3.26), (3.27). А именно:

Dω ϕ = η,

(3.32)

Lω ϕ = η

и ϕ, ϕ имеют нулевое среднее значение. Кроме того, для всех δ > 0 имеем

ϕ σ−δ Cδ−ν Kν,n η σ,

(3.33)

ϕ σ−δ Cδ−ν Kν,n η σ,

где C — те же константы, которые возникли в (3.18), (3.19), и K — константы, зависящие (в явной формуле) только от показателя в (3.18), (3.19) и от размерности пространства.

Если мы предположим, что η, η принадлежат Λr, r > ν, то мы получим

Отметим, что часть (3.34) леммы является следствием (3.33), если дифференцируемые функции характеризуются свойствами аппроксимируемости аналитическими функциями в лемме 3.2.

При изучении задач, связанных с аналитическими функциями, можно обращаться достаточно небрежно с полученными показателями и все равно прийти к тому же самому результату. Однако, как показывает (3.34), внимательное отношение к показателям имеет решающее значение, если мы рассматриваем задачи, связанные с конечно-дифференцируемыми функциями, и хотим получить условия регулярности, близкие к оптимальным.

УПРАЖНЕНИЕ 3.16. Прочитайте рассуждения в [R¨us76b]. Появится ли улучшение при использовании неравенства Гелдера¨ вместо неравенства Коши – Шварца?

УПРАЖНЕНИЕ 3.17. При исследовании рядов Линдштедта (например, (2.17)) мы столкнулись с уравнениями относительно ϕ при заданной η вида

где ϕ и η — периодические и ω — диофантово число.

Разработайте теорию уравнения (3.35) аналогично теории, разработанной в лемме 3.15.

Либо действуйте, непосредственно используя ряды Фурье, либо разложите его на два уравнения:

w(x) − w(x − ω) = η(x),

(3.36)

ϕ(x + ω) − ϕ(x) = w(x).

Есть ли отличия между оценками и условиями разрешимости, которые вы получили с помощью этих двух методов?

Что происходит, если вместо простых оценок, представленных в тексте, воспользоваться оценками из работы [R¨us76a]?

3.5. Геометрические структуры

Существуют несколько структур, которые играют важную роль в КАМ-теории. В этом параграфе мы обсудим симплектическую структуру и менее подробно — сохранение объема и обратимые системы (существуют другие геометрические структуры, которые играют определенную роль в КАМ-теории, но мы не будем здесь их обсуждать).

В этом параграфе мы сосредоточим наше внимание на геометрических структурах, а не на свойствах дифференцируемости, поэтому мы будем предполагать, что векторные поля порождают потоки, для которых верны вариационные уравнения и т. д. (т. е. что они обладают некоторыми умеренными свойствами дифференцируемости).

Здесь мы будем использовать исчисление Картана дифференциальных форм вместо старомодных обозначений. Поскольку исчисление Картана использует лишь естественные геометрические операции, оно проще в концептуальном плане. Это является большим преимуществом в механике, где часто используются замены переменных, ограничения на подмногообразия, определяемые регулярными значениями интегралов движения, и т. д.

Традиционные обозначения, в которых функции записываются как функции координат, например H(p, q), совершенно адекватны, когда координаты фиксированы. С другой стороны, после замены координат необходимо решить, будет ли H(p , q ) обозначать ту же самую функцию с новыми аргументами или H(p , q ) — это новая функция переменных p и q , которая принимает то же самое значение, которое старая функция H принимала со старыми переменными p и q. Неоднозначность чрезвычайно быстро возрастает, когда возникает необходимость вычислить частную производную, из-за этого возникает значительная часть сложностей в традиционных книгах по механике или термодинамике.

Для КАМ-теории эти рассуждения не имеют столь большого значения, поскольку для многих производимых в ней операций необходимо использовать коэффициенты Фурье и т. п., что приводит к необходимости фиксирования определенной системы координат. Тем не менее, мы полагаем, что концептуальное упрощение, определяемое геометрической системой обозначений, стоит усилий, потраченных на ее введение.

Начнем с формулировки нескольких важных определений.

Определение 3.18. Симплектическая структура на многообразии задается 2-формой ω2, удовлетворяющей условиям:

i)ω2 невырождена,

ii)ω2 замкнута, т. е. dω2 = 0.

Форма объема на многообразии размерности n — это n-форма ωn, удовлетворяющая условию

i ) ωn невырождена.

Естественно, n-форма ωn на n-мерном многообразии автоматически удовлетворяет

ii ) dωn = 0.

Для большей части геометрической теории достаточно выполнения условий i) и ii) или i ) и ii ). Если нет необходимости различать симплектический случай и случай с сохранением объема, то мы будем использовать ω для обозначения как ω2, так и ωn.

Свойства i) и i ) позволяют нам отождествить векторное поле v с 1- и (n − 1)-формами, соответственно, с помощью

Мы будем обозначать отождествления (3.37) через Iω2 и Iωn соответственно.

Фундаментальными примерами симплектической формы ω2 на Rk × Rk и формы объема ωn на Rn являются

k

ω2 = dpi dqi,

(3.38)

i=1

ωn = dx1 . . . dxn.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.19. Название симплектический, похоже, происходит от игры слов, связанной с названием комплексный. Действительно, существует понимание, в котором симплектическая геометрия является комплексификацией римановой геометрии. Фактически, это весьма глубокое понимание, и существует интереснейшая новая область исследований, в которой используются методы комплексного анализа в симплектической топологии.

Поскольку эти заметки посвящены КАМ-теории, достаточно отметить,

ряющая J2 = −1, и поэтому умножение на нее очень похоже на умножение на i в комплексном анализе.

Отождествление векторных полей с формами играет очень важную роль, поскольку позволяет нам описать векторные поля, чьи потоки сохраняют структуру. Обозначим через Φt семейство диффеоморфизмов многообразия, порожденного зависящим от времени векторным полем vt, т. е.

В частности, если vt не зависит от t, Φt является потоком: Φt+s = Φt ◦ Φs. (Вновь напомним, что в этом параграфе мы предполагаем, что объекты дифференцируемы нужное число раз, в этом случае vt принадлежит C1.)

Используя определение производной Ли, так называемую «магическую формулу» Картана для выражения производной Ли

На старомодном языке это описывалось высказыванием, что «канонические преобразования сохраняют форму уравнений Гамильтона» или ка- ким-нибудь аналогичным предложением. (В книгах, написанных в старом стиле, термин канонические преобразования относился к диффеоморфизмам, сохраняющим симплектическую форму, или, иногда, ту, которую мы называем точной симплектической.)

Важность формулы (3.40) заключается в том, что для выполнения канонической замены переменных в гамильтоновом векторном поле достаточно выполнить замену переменных в функции гамильтониана. Концептуально это намного проще и гораздо эффективнее с точки зрения количества необходимых вычислений. Как мы увидим, каноническая теория возмущений обязана своим успехом этому замечанию. Отметим, что эти вычисления проходят как для симплектической, так и для формы объема. Используя исчисление Картана, можно построить теории возмущений для симплектических и сохраняющих объем потоков, которые являются совершенно аналогичными.

Отметим, что в двумерном случае форма объема и симплектическая структура — это одно и то же, и что при n = 2k форма объема имеет вид

ωn k := ω2 ω2 · · · ω2 (k раз).

Очевидно, поток, сохраняющий ω2, также сохраняет ωn k. Этот факт в механике обычно называют теоремой Лиувилля, и он имеет фундаментальное значение, поскольку связывает механику с эргодической теорией. Действительно, эргодическая теория была создана при исследовании связей этого наблюдения со статистической механикой.

При изучении гамильтоновых потоков также интересно изучить форму μE , определенную на регулярных энергетических поверхностях ΣE = = {H = E} (предполагается, что dH невырожден, поэтому он представляет собой гладкое многообразие) как ω k = μE dH. Поскольку H инвариантен относительно потока, то и dH, и μE также инвариантны.

Промежуточные формы ω2 · · · ω2 ( раз, < k) также инвариантны. Похоже, что для них не нашлось особых применений (в [Poi93] главы XXII–XXVII посвящены этому вопросу).

Одним из первых следствий отождествления между векторными полями и формами (3.37) является простое доказательство теоремы Дарбу. (См. [MS95]. Оригинальное доказательство приведенной здесь теоремы было выполнено для случая сохранения объема в [Mos65].)

Теорема 3.20. Пусть заданы симплектическая или сохраняющая объем форма ω и точка x0. Существует локальный диффеоморфизм f на окрестности x0 в Rn такой, что f ω имеет вид (3.38).