Введение в КАМ-теорию

подробное сведение доказательства, основанного на методе Колмогорова к абстрактной теореме о неявной функции, аналогичной теореме 5.2.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.4. Колмогоровский метод доказательства имеет преимущество, которое заключается в том, что он является прямым и очень хорошо подходит для функционального анализа. Мы всегда имеем дело с одним и тем же линеаризованным уравнением с одной и той же частотой. В частности, это приводит к очень хорошей регулярности результатов.

Основной недостаток вытекает из факта, что различные частоты требуют различных преобразований. Более того, представление (6.6) не является единственным.

Естественные вопросы, важные для приложений, но не следующие непосредственно из результатов, состоят в том, какова мера части, покрываемой торами, и определение, являются ли торы с аналогичными частотами близкими друг к другу. (Действительно, до сих пор мы не показали, что существует только один тор с данной частотой. Отметим, что существуют много гамильтонианов с одинаковыми представлениями (6.6).)

На вопрос о мере части, занимаемой торами, можно ответить, показав, что отображение, которое сопоставляет частоте ω, удовлетворяющей (3.18), тор с частотой ω, получаемый в теореме 6.1, является липшицевым.

Более того, торы могут быть выражены как график функции от φ

Очевидно, что для одного тора существует только одна функция W , но несколько гамильтонианов вида (6.6) и несколько преобразований, сводящих исходный поток к ним.

Функция Wω (φ) действительно оказывается липшицевой с константой Липшица, близкой к h−2 1 .

Доказательство этих липшицевых свойств может быть получено достаточно легко, если мы заметим, что система вида (6.6) также является приближенным решением уравнения для ω в плоскости ω. Следовательно, если ω и ω достаточно близки, мы можем рассмотреть тор с частотой ω как приближенное решение уравнения, которое будет давать тор с частотой ω. Ошибка аппроксимации определяется величиной ω−ω. Следовательно, применяя процедуру, мы получаем решение, которое отличается не более чем на величину, определяемую ω − ω. Доказательство этого типа также приводит к единственности результатов для тора с заданной частотой. Другие подробности о доказательствах этого типа см. в [Dou88], [Sev95].

Как мы увидим позже, отображение (ω, φ) → Wω (φ), введенное выше, является дифференцируемым в смысле Уитни.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.5. Другой аспект, относительно которого обсуждаемый нами метод доказательства не является оптимальным, — это требование очень сильных условий невырожденности.

Обратите внимание, что мы хотим гарантировать, что величина переноса, необходимого для приведения величины ошибки к нулевому среднему значению, соизмерима с величиной ошибки. В вырожденной ситуации величина переноса будет равна корню от величины ошибки, и тогда метод, в представленном нами виде, не будет работать.

Фактически, можно получить более слабые условия невырожденности, если не фиксировать частоту, а фиксировать ее с точностью до кратной

величины. Следовательно, единственное, что мы требуем, это Span(ω) + + Range(h2) = Rn.15

Можно также воспользоваться различными трюками для сведения вырожденных ситуаций к невырожденным. Примеры см. в [BH91].

Как мы увидим позже, можно добиться значительно более сильных результатов, используя другие методы. Например, [Sev95].

ЗАМЕЧАНИЕ 6.6. Существует интересная интерпретация представленного нами метода доказательства в терминах геометрии бесконечномерных пространств.

Эта интерпретация, несомненно, может служить эвристическим руководством, и многие КАМ-теоремы могут быть приведены к этому виду. Она была предложена в [Mos67] и весьма эффективно развита в [Zeh76a], в которой на этом языке сформулированы основные КАМ-теоремы. В [Ham82] аналогичная философия применяется ко многим геометрическим задачам.

Идея заключается в том, что мы полагаем, что (6.6) определяет многообразие N в пространстве гамильтонианов H. Все элементы этого многообразия обладают свойством, которое мы хотим изучить. В данном случае этим свойством является наличие инвариантного тора с частотой ω.

Мы также рассматриваем действие Ψ группы преобразований. В данном случае — действие каноническими преобразованиями. Набросанное нами доказательство показывает, что при заданной окрестности U многообразия N в H все элементы U имеют орбиту под действием Ψ, которая пересекает N.

Хотя придание точного смысла этому высказыванию является не совсем тривиальным (нужно определить топологии пространств гамильтонианов и отображений, проверить, что они являются многообразиями, проверить свойства действия группы преобразований на них и т. д.), оно может

15Т. е. прямая сумма одномерного линейного пространства, натянутого на ω, и пространства, являющегося областью значений оператора h2, равна Rn. — Прим. ред.

использоваться в качестве эвристического принципа, который позволяет решить, какие теоремы являются возможными. (Отметим, что, если бы мы рассматривали конечномерную задачу, мы могли бы просто определить, что является верным, определив содержит ли прямая сумма касательных пространств многообразия N и орбиты действия касательное пространство для H.)

Отметим, что этот способ рассуждения и эти эвристические принципы применимы к другим задачам помимо механики. Действительно, значительная часть теории особенностей может быть сформулирована в этом стиле. Аналогично, многие задачи в геометрии и теории дифференциальных уравнений в частных производных могут быть сведены к теоремам о неявной функции применением этой эвристической картины16. (См. [Ham82].)

Идея определения, какие теоремы в КАМ-теории могут быть верными, с помощью простой проверки вложения касательных пространств очень быстро приводит к задаче подсчета параметров. (См. обсуждение в [Mos67].) Грубо говоря, необходимо, чтобы нормальная форма N и группа, действующая на пространстве, содержали достаточное количество свободных параметров для преодоления препятствий, наложенных геометрией.

Одним из важнейших открытий последних лет является то, что в этот подсчет параметров следует включить частоту [Eli88] или параметр возмущения [JS92]. Одной из причин, почему это не очевидно, является то, что эти дополнительные параметры имеют канторову структуру, следовательно, на первый взгляд, понятия, основанные на геометрии касательных пространств и т. д., кажутся неприменимыми. Тем не менее, оказывается верным, что можно использовать эти канторовы параметры во многом тем же самым способом как непрерывные семейства, добавляя к стандартным геометрическим аргументам, основанным на теоремах о неявной функции, оценки из теории меры. Действительно, следующий метод доказательства, который мы обсудим далее, может использоваться для того, чтобы справиться с задачами этого типа. См. изложение современных открытий в задаче нехватки параметров и, соответственно, в задаче изучения вырожденной системы в [Sev99].

УПРАЖНЕНИЕ 6.7. Попробуйте выполнить доказательство, выбрав перенос T (n, определенный как kn = −12 h(2n −1 R(1n. Обратите внимание,

16Кстати, в теории особенностей имеется очень сильная теорема о неявной функции [Mat69], которая позволяет в некоторых случаях иметь дело с операторами, которые теряют часть производных. Метод работы [Mat69], насколько я знаю, не использовался в КАМ-теории, хотя работа [dlLMM86], в которой рассматриваются теории возмущений для гамильтоновых систем, которые ранее строились с использованием КАМ-теории, была в очень большой степени инспирирована ею.

что при этом выборе мы обнуляем среднее значение R1(n с точностью до слагаемых второго порядка по R(n.

6.2.Метод Арнольда

В[Arn63a] В. И. Арнольд ввел метод доказательства сохранения квазипериодических решений, весьма отличный от колмогоровского метода доказательства, который мы обсуждали в предыдущем параграфе 6.1.

Вместо попытки выполнить замену переменных, которая порождает один тор, метод из [Arn63a] порождает замены переменных, которые сводят систему к приближенно-интегрируемой в области пространства. Следовательно, метод из [Arn63a] порождает все торы в одно и то же время.

Основная сложность, которая возникает по сравнению с методом Колмогорова, — это то, что промежуточные шаги требуют исследования преобразований, которые определены в весьма сложных областях. Первое преобразование определено в области, из которой исключены резонансы низкого порядка. (Места, где ∂I H(I) ·k 1 для не очень больших |k|.) В последующих шагах итерационной процедуры выполняется другое преобразование, которое превращает систему в намного более близкую к интегрируемой, но в более сложной области, поскольку нам нужно принять во внимание другие резонансы. В конце процесса получается преобразование, определенное на канторовом семействе инвариантных торов. (Множество, которое локаль- но-диффеоморфно декартову произведению канторова множества и тора. Каждый тор в связной компоненте множества является инвариантным.)

Альтернативный способ описания всего процесса заключается в том, что мы имеем гладкое каноническое преобразование, определенное во всем пространстве, которое сводит возмущенное дифференциальное уравнение к интегрируемому в меньшем множестве. На промежуточных шагах итерации мы просто оцениваем, насколько система отличается от интегрируемой во все меньшем и меньшем множестве со все усложняющейся геометрией. В пределе мы получаем только канторово семейство торов, на которых система может рассматриваться как интегрируемая.

Базовая стратегия, которую мы подробнее опишем позже, имеет несколько преимуществ по отношению к методу Колмогорова.

Одно из них заключается в том, что мы получаем более подробную информацию о способе организации этих торов. Например, весьма естественно получается, что торы составляют семейство, которое является дифференцируемым в смысле Уитни. (Это было отмечено в [CG82], [Gal83a]. Аналогичные результаты были получены другими методами в [Pos82]¨.)

Другое преимущество состоит в том, что, если мы остановим процесс после конечного числа шагов, мы, тем не менее, получим весьма хорошую

ляется положительно-определенной матрицей, в [Neh77] (фактически, предположение в [Neh77] является более точным, но и сложнее формулируется, чем положительная определенность, которой достаточно во многих приложениях и которая является предположением, используемым во многих более современных доказательствах) приводится следующий результат: обозначая через = R σ в (6.1), мы получаем, что для времени t exp(A −a) все орбиты возмущенной системы (6.1) остаются на расстоянии не более чем b от орбит возмущенной системы.

Метод исключения параметров вблизи резонансов и продолжения преобразования на остальное пространство имеет много приложений в других задачах КАМ-теории. Например, в задаче о приведении системы с квазипериодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами, обычно называемой задачей о приведении, большая часть работ (см. в особенности ранние работы [DS75]) испытывает сильное влияние этого метода. Стратегия из [Arn63a] также использовалась в первых доказательствах, в которых начиналось исследование задачи о нехватке параметров и связанной с ней задачи исследования сильно вырожденных систем.

С точки зрения необходимых предположений о регулярности основным недостатком метода является то, что аналитическая часть доказательства основана на усечении рядов Фурье возмущения, что приводит к плохим результатам в конечно-дифференцируемых системах. Хотя это не столь уж сложно, я не знаю ссылок, где стратегия Арнольда реализована для ко- нечно-дифференцируемой системы. (Я написал некоторые очень черновые заметки по этой теме для студентов.)

Другой недостаток возникает из того факта, что одним из элементов шага итерации является задание области, на которой определены замены переменных. Слежение за этой областью в процессе итераций намного сложнее, чем слежение за величинами функций. Следовательно, доказательства являются более сложными, и часто получаются худшие оценки допустимых величин возмущения и другие количественные результаты. (Тем не менее метод использовался в первых доказательствах нескольких точных оценок, таких как [Nei81] [Way84].)

Я не думаю, что метод из [Arn63a] был формализован таким образом, чтобы он привел к абстрактной теореме о неявной функции в стиле теоремы 5.2, которая позволяет получить подробные оценки в приложениях, или, по меньшей мере, чтобы приводилась подробная стратегия для получения такой формализации.

Как только мы зафиксировали последовательность {σn} (мы выберем σn =

в том, что, ввиду малых углов, оценки Коши несколько хуже. Тем не менее, для заданного ограничения снизу для углов, они не становятся слишком

плохими:

f σne−δn C δne−4n −1 f σn .

Чтобы перейти от первого шага к следующему, мы исключаем несколько большую область и определяем новое преобразование C = C(n◦ ◦ exp(LG(n ) так, чтобы новый остаток являлся намного меньшим (здесь нам нужно будет выполнить небольшую модификацию нашего обычного понятия меньший, означающего квадратичный умножить на степень параметра уменьшения области).

Мы видим, что

H(n ◦ exp(LG(n ) = H(n + R(n + {H(n(I), G(n}+

+ {R(n(I), G(n} + O((G(n )2) (6.22)

(точная оценка для O((G(n )2) приводится в лемме 3.24).

Новая идея метода состоит в изменении предписания метода Ньютона путем ограничения только на конечное число частот и включением усечения рядов Фурье, чтобы на каждой стадии нам нужно было бы иметь дело только с конечным (но возрастающим) числом знаменателей. Ошибку, возникающую при усечении, можно оценить, если мы увеличиваем порядок

Уравнение (6.24) может быть решено, если положить

Для определения следующего исключенного множества единственное, что нам нужно сделать, это добавить исключенные области, соответствующие

Разумеется, исключение дополнительных областей приводит к уменьшению супремумов в левой части (6.27) и всех других оценок.

Рекурсия (6.27) по-прежнему приводит к сверхэкспоненциальной сходимости при выборе δn = δ0(2/3)n. Доказать это предлагается в упражнении 5.19, см. (5.24).

После получения сверхэкспоненциальной сходимости остатков мы получаем, что Cn, i остаются ограниченными и также остаются ограничен-

точно мала, мы можем убедиться в выполнении индуктивного предположения на ( 2H(n)−1 σn .

Переход к пределу в этой процедуре является довольно тонким.

В исходных координатах нам нужно изучить множества (C(n)−1En. Эти множества будут плотными. Несколько увеличивая исключенные множества на каждом шаге, чтобы исключить также несоответствия областей, мы можем добиться, чтобы (C(n)−1En возрастали. (Отметим, что дополнительное исключение будет убывать сверхэкспоненциально, поскольку преобразования, которые нам нужно выполнять на каждом шаге, убывают сверхэкспоненциально.) Следовательно, (C(n)−1(Td× ×Rd − En) является убывающей последовательностью компактных множеств. С другой стороны, их мера остается ограниченной и отделенной от нуля, это следует

из того факта, что ( 2H(n)−1 σn остается равномерно ограниченной, поэтому мы можем использовать те же самые аргументы, что и в параграфе 3.9.

Несколько более тонким образом мы можем также оценить производные преобразования C(n, чтобы показать, что производные остаются ограниченными (это следует из рассуждений очень похожих на те, которое использовались в доказательстве теоремы 4.13 часть v)). Это показывает, что множества (C(n)−1(Td × Rd − En) становятся все ближе и ближе к инвариантным. Предельное множество будет инвариантным.

140 ВВЕДЕНИЕ В КАМ-ТЕОРИЮ

Если следить за всеми производными в замкнутых множествах, то можно показать, что предельное преобразование C(∞ является дифференцируемым в смысле Уитни (см. [CG82] или [Gal83b]). Интересное замечание из [Val98] состоит в том, что можно воспользоваться фактом, что промежутки между множествами намного больше, чем поправки, чтобы непосредственно доказать теорему Уитни о продолжении. Это замечание может быть важным при изучении бесконечномерных систем (например, дифференциальных уравнений в частных производных). В бесконечномерном случае теорема Уитни о продолжении отсутствует, но метод из [Val98] по-прежнему может работать для получения торов, которые лежат в гладком семействе.

Подробное изложение этого метода доказательства см. в оригинальной работе [Arn63a] и в более обзорной работе [Arn63b], которая также содержит приложения к небесной механике.

Раннее изложение этого метода с некоторыми улучшениями содержится в [Sva80]. Более современные изложения (включая дифференцируемость по Уитни) метода Арнольда представлены в [CG82] и [Gal83b]. Изложение метода Арнольда, которое в то же самое время доказывает теорему Нехорошева и проясняет геометрию области, содержится в [DG96].

Метод также лежит в основе нескольких других работ. Одной из таких работ, которая описывает исключение параметров, но не содержит многих геометрических сложностей, является [DS75]. Эта работа также показывает, что метод допускает некоторые частоты, которые не являются диофантовы-

Метод преобразования и исключения параметров лежит в основе многих современных открытий в КАМ-теории, связанных с торами малых размерностей, например, [Eli89], [JS92], [JV97a].

6.3.Лагранжево доказательство

Вэтом параграфе мы изучим доказательство теоремы 6.2, которое выдержано в стиле, отличном от ранее представленных доказательств. Мы приведем доказательство только в случае d = 1 и только для частного случая отображения, заданного (2.2). Аналогичные доказательства для произвольной размерности и более общих отображений описаны в литературе, и мы предложим соответствующие ссылки.

Доказательство существенно отличается от предыдущих доказательств теоремы 6.1 тем, что оно не использует композиций. Разумеется, представленное нами доказательство теоремы 4.1 также не требует композиций, хотя представленные нами ранее доказательства теоремы 6.1 основываются на