Введение в КАМ-теорию

и поэтому имеем дело с локальными координатами, то необходимо, чтобы выполнялись другие условия. Например, это ложно для тождественного преобразования, а для близких к тождественному преобразований эта система координат может иметь нежелательные свойства. Однако это верно для (p, q) → (p, q + p) и малых возмущений.

В этом случае при вычислении дифференциала в (3.74) мы имеем

dS = ∂1S(q, q ) dq + ∂2S(q, q ) dq ,

следовательно,

Мы считаем (3.75) уравнением для p , q в терминах p, q. Если применима теорема о неявной функции (для этого достаточно, чтобы q, q являлась хорошей системой координат на многообразии) и, действительно, уравнения (3.75) могут быть решены в классе дифференцируемых функций, то S определяет преобразование. Отметим, что теорема о неявной функции будет применима к открытому в C2-топологии множеству функций S, поэтому мы можем считать, что эта процедура определяет локальную систему координат некоторого подмножества пространства симплектических отображений. Также отметим, что мы параметризовали преобразование с помощью одной скалярной функции. Более того, замены переменных, определяемые (3.75), автоматически являются симплектическими. Свести проблему построения преобразований (в открытом множестве), которые удовлетворяют некоторым нелинейным и нелокальным ограничениям (сохранение симплектической структуры), к проблеме построения функций является большим упрощением.

Однако одним важным недостатком таких производящих функций является то, что для тождественного преобразования q, q не является хорошей системой координат на многообразии и мы не можем использовать (3.75) для представления тождественного или почти тождественных преобразований. Как мы видели, почти тождественные преобразования играют важную роль в канонической теории возмущений, поэтому необходимо разрабатывать варианты метода, которые бы включали их.

В случае, когда координатные функции p, q являются глобальными (или когда мы рассматриваем лишь окрестность), мы можем записать

p dq = −q dp + d(pq).

Следовательно, (3.74) принимает вид

В случае, когда p, q является хорошей системой координат (что происходит в окрестности тождественного преобразования), мы можем записать

всех k, Zn. С другой стороны, S(p, q + ) = S(p, q ) + p . Несмотря на то, что эта производящая функция действует в окрестности тождественного

чтобы изменить некоторые из pi на qi при переносе.

Хотя эти процедуры весьма обычны в трактатах по механике, написанных в старом стиле, они будут не слишком полезны для нас.

Отметим, что функция S имеет хорошо определенный внутренний смысл, как указано в [BW65], — это иногда описывают как уравнение Гамильтона – Якоби или «действие как функция от координат», в зависимости от используемой интерпретации. Более подробную информацию об этой первообразной функции см. в [Har99].

В гамильтоновой оптике [BW65] S представляет собой фазу волны. Действительно, гамильтонова механика была разработана как побочный продукт гамильтоновой оптики. Это объясняет, почему гамильтонова механика, особенно в ранних трактатах, во многом основана на изучении S и того, что с нею связанно.

Более современные изложения ([Arn89], [AM78]) обычно начинают с симплектической геометрии и постулируют без какой-либо мотивации, что в конечном счете она действует. Разумеется, это быстрее.

7Это равенство верно только при k = l. Например, производящая функция отображения (p, q) → (p, q + p) имеет вид S(q, q ) = 12 (q − q )2.

4.Два доказательства КАМ-теории в модельной задаче

Вэтом параграфе мы обсудим одно из технически простейших приложений КАМ-методологии: теорему Зигеля о центре.

Основная цель этого приложения заключается в демонстрации, возможно, самого основного эвристического принципа КАМ-метода:

Квадратичная сходимость может преодолеть проблему малых знаменателей.

Грубо говоря, это означает, что если мы имеем метод, который приводит ошибку к величине, квадратичной относительно исходной ошибки, то, даже если для получения решения требуется решить уравнение, которое содержит малые знаменатели, мы, тем не менее, можем получить сходимость.

То, что сходимость действительно имеет место, — весьма тонкое утверждение. По нашему мнению, единственный способ оценить тонкость сходимости, достигаемой в КАМ-теории, заключается в попытке применить какую-либо другую, как будто бы приемлемую, схему, а затем увидеть, что эта схема не позволяет достигнуть желаемого результата. В конце доказательства мы предложим несколько этих схем в качестве упражнений.

Помимо этих упражнений, мы также включили некоторые упражнения, которые допускают простые решения и являются дополнениями к материалу в тексте.

Мы также подчеркнем, что возможность получить квадратично сходящийся метод, решая только одно уравнение с малыми знаменателями, является далеко не тривиальным фактом, и требуется, чтобы рассматриваемые нами уравнения имели некоторую специальную структуру. Более подробно это будет разобрано в главе 5 и, в частности, в замечании 5.7.

В этом параграфе мы представим две версии теоремы Зигеля, одна использует лишь одномерные диофантовы условия, а другая использует приближенные функции и разложение в масштабах более высоких размерностей.

Второе доказательство будет сформулировано как набор упражнений. Изложение основных идей этой главы следует работам [Mos66a], [Zeh77] и [Arn88]. Действительно, наше изложение довольно близко к этим источникам.

Эти два доказательства иллюстрируют основные свойства доказательств КАМ-теории и содержат существенные аналитические и теорети- ко-числовые сложности, хотя они и не связаны с геометрией.

Мы начнем с одномерной задачи. Подробности представляемого нами доказательства см. в [Mos66a], а многомерную версию см. в [Zeh77].

Тогда существует единственная функция

ЗАМЕЧАНИЕ 4.2. Единственность h, заявленная в теореме 4.1, означает, что если существуют две функции, удовлетворяющие этому свойству, то они должны совпадать на открытом множестве, содержащем начало координат. Как мы уже видели, условия (4.2) и (4.4) определяют струю для функции h единственным образом.

ЗАМЕЧАНИЕ 4.3. Условие (4.2) автоматически выполняется, когда |a|=1. В этом случае мы уже представили простое доказательство. Поэтому мы ограничимся случаем, когда |a| = 1.

ЗАМЕЧАНИЕ 4.4. В соответствии со стандартным наблюдением предположение, что f определена в шаре радиуса 1 и мала, равносильно рассмотрению малой окрестности.

Эвристически, в малой окрестности линейная часть является доминирующей, и естественно попытаться описать поведение всей системы в терминах поведения линейной части.

86 ВВЕДЕНИЕ В КАМ-ТЕОРИЮ

УПРАЖНЕНИЕ 4.7. Получите прямое доказательство леммы 4.6. Можно следовать наброску доказательства, приведенному в начале па-

раграфа 3.4.

Начните с того, что решением (4.6) является ϕk = ηk (ak −a)−1. Оцените |ϕk |, используя вышеприведенную формулу (4.2) и оценки величины |ηk | в терминах η r, полученные с использованием оценок Коши.

Оцените ϕ re−δ супремумом коэффициентов. Тогда получим искомый результат при τ = ν + 1.

Поскольку мы имеем дело с аналитическими оценками, этого достаточно, чтобы получить доказательство. Амбициозному читателю мы предлагаем провести анализ, аналогичный анализу, приведенному в работе [R¨us76b], и получить оптимальный показатель.

Теперь мы переходим к доказательству теоремы 4.1. Представленное нами доказательство следует работе [Zeh77] – это частный случай результатов этой работы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала будем действовать эвристически. Мы можем считать (4.4) неявным уравнением в пространстве функций

0 = T (f, h) ≡ f ◦ h − h ◦ a

(через a мы обозначим либо константу либо функцию a(z) = az). Отметим, что T (a, Id) = 0.

Рассмотрим фиксированную f (но близкую к a) и получим приближен-

где R — остаток, который мы хотели бы считать малым (точный смысл, в котором это значение мало, не будет явно объяснен в этом эвристическом обсуждении).

Мы хотели бы получить , убирающую большую часть R, т. е. T (f, h+ + Δ) R. Это равносильно методу Ньютона. Поскольку

T (f, h + Δ) ≈ T (f, h) + D2T (f, h)Δ,

мы приходим к рассмотрению уравнения для

В нашем случае (помните, что мы пока просто рассуждаем эвристически, но этот шаг несложно обосновать) мы знаем, что производные должны

быть равны

D2T (f, h)Δ = (f ◦ h)Δ − ◦ a.

Следовательно, в нашем случае (4.9) принимает вид

Если множитель f ◦ h = a + f ◦ h просто равен a, уравнение (4.10) сведется к уравнению, рассмотренному в лемме 4.6.

Один способ, который позволяет свести к константе мешающий множитель f ◦ h, заключается в следующем (в упражнениях мы рассмотрим несколько, казалось бы, естественных методов, которые не работают).

Возьмем производные по z в (4.8) и получим тождество

помним, что h близко к тождественному, поэтому, действительно, 1/h яв-

Если мы игнорируем слагаемое (h ◦ a)−1R w (интуиция, которую мы позже превратим в строгие оценки, говорит, что h ◦ a порядка единицы, R и R малы, следовательно, w мало и R w намного меньше), мы упростим

что действительно является уравнением того типа, который мы рассматривали в лемме 4.6.

Следовательно, предписание, которое мы вывели эвристически, для получения более приближенного решения состоит в следующем:

1) возьмите w, решая (4.15);

2) постройте = h w;

3) тогда h + должно быть приближенным решением задачи.

Теперь мы перейдем к строгому обоснованию всех предыдущих идей. Нам нужно показать, что процедура улучшает (то есть получить оценки остатка после одного шага для заданных оценок остатка перед началом). Нам также нужно показать, что процедура может повторяться бесконечное число раз и она приводит к сходящейся процедуре.

Если задана система с остатком и выполняется процедура, набросанная выше, то следующая лемма определяет оценки для нового остатка в терминах исходного.

Последуем стандартной практике в КАМ-теории и обозначим через C в ходе доказательства константы, которые зависят только от размерности и других параметров, которые фиксированы в нашем доказательстве. В нашем случае, поскольку мы уделяем особое внимание зависимости параметра уменьшения размера области от величины диофантовой константы и предположения малости, C не будет зависеть от них. Другие доказательства КАМ-теории, которые делают упор на другие свойства, допускают обозначение C для констант, которые также могут зависеть от диофантовой константы.

Тогда вышеизложенное предписание может быть выполнено и мы имеем

f ◦(h+Δ)−(h+Δ)◦a σe−δ KCδ−ν−1ε2+2 f 1(KCδ−ν−1εM )2. (4.20)

ЗАМЕЧАНИЕ 4.9. Обратите внимание, что, поскольку σ(1−e−δ ) σδ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Чтобы проверить, что предписание действительно может быть выполнено, нам просто нужно проверить, что функция f ◦ (h + + Δ) может быть определена. Следовательно, наша первоочередная задача

ния функции f . Действительно, оценки для области определения позволят нам также получить оценки для производной f с помощью теоремы Коши, которая в дальнейшем окажется весьма полезной.

Тогда мы получим оценки (4.20) и (4.22) при условии, что мы имеем подходящие оценки для σe−δ .

Чтобы получить оценки для σe−δ , отметим, что, используя свойство норм банаховой алгебры и индуктивное предположение (4.16), мы можем ограничить правую часть (4.15) выражением

(h ◦ a)−1R σ (1 − 1/2)−1 R σ.

По лемме 4.6 мы имеем, что

w σe−δ KCδ−ν R σ.

Согласно оценкам Коши (см. лемму 3.13, но примите во внимание, что

Отметим, что, согласно (4.16)10,

h + σe−δ < 1.

9Согласно предыдущим оценкам в (4.26) вместо K должно быть K2. — Прим. ред.

10Действительно, h + σe−δ σe−δ + h σe−δ σe−δ + M σe−δ + KCδ−ν−1 M . Здесь мы воспользовались оценками (4.16) и (4.25). Далее, с помощью (4.19) и (4.17) получаем

h + σe−δ σe−δ + M 1. — Прим. ред.

90 ВВЕДЕНИЕ В КАМ-ТЕОРИЮ

Поэтому, как утверждалось, композиция в (4.20) действительно имеет смысл.

Чтобы получить оценки в (4.20), мы рассматриваем оцениваемую величину в (4.20) и очевидное тождество, полученное с помощью добавления и вычитания слагаемых к нему и удобной группировки результата:

f ◦ (h + Δ) − (h + Δ) ◦ a =

= f ◦ h − h ◦ a + f ◦ h − ◦ a+

+ [f ◦ (h + Δ) − f ◦ h − f ◦ h Δ]. (4.27)

Первые четыре слагаемых в правой части (4.27) при использовании (4.8) и (4.13) оказываются равными:

R + h ◦ aw + R w − ah ◦ aw = R w.

Величину в скобках в (4.27) можно оценить, поскольку, согласно тождеству из математического анализа (теорема Тейлора с остатком в форме Лагранжа),

Чтобы закончить доказательство теоремы 4.1, нам нужно всего лишь показать, что если f 1 достаточно мало, то мы можем повторять итерационную процедуру произвольное число раз и процесс сходится к пределу, удовлетворяющему (4.5).

Мы снабдим индексами n объекты после n шагов итерационного процесса (предполагая, что процесс может выполняться до этого места). Например, σn будет областью определения hn, и мы имеем σn+1 = σne−δn .