Введение в КАМ-теорию

Разумеется, если существует доказательство, которое позволяет добиться этого, то результат будет весьма интересным.

5. Сложные теоремы о неявной функции

Перед переходом к более геометрическим соображениям будет удобно выделить некоторые свойства, которые делают возможным предыдущее доказательство, и изолировать их в абстрактной теореме о неявной функции. Это позволит значительно упростить доказательства и весьма выразительно проиллюстрирует принцип, что квадратичная сходимость может доминировать над эффектом малых знаменателей.

Хотя теоремы о неявной функции очень эффективны с точки зрения анализа сходимости, они игнорируют геометрические соображения и особенности рассматриваемой задачи. Эти особенности имеют ключевое значение для получения общей структуры теоремы о неявной функции. Тем не менее, полезно вводить сложности по одной за раз.

Позднее нам придется потратить время на то, чтобы убедиться, что мы можем поместить конкретную задачу или алгоритм для решения задачи в функциональную структуру теоремы.

Подчеркнем однако, что полезность этих теорем о неявной функции не ограничивается КАМ-теорией и они используются в разнообразных задачах геометрии, дифференциальных уравнений в частных производных и т. д., и что в любом случае они являются очень полезным стратегическим руководством о том, как создавать доказательства рассматриваемых задач.

Существуют различные версии теоремы о неявной функции, адаптированные для КАМ-теории. Из них упомянем только [Zeh75], [Ham82], [Hor90]¨. (См. также [Hor85]¨.) Основное изменение, добавленное нами, это то, что мы использовали аппроксимирующие функции (введенные, по-види- мому, в [R¨us80]) в теореме о неявной функции. Некоторые части изложения основаны на [dlLV00]. Очень хорошим современным изложением (к сожалению, малодоступным) теоремы Нэша – Мозера, включающим подробные сравнения и примеры приложений, особенно к дифференциальным уравнениям в частных производных, является [HM94]. Также очень важными для связи с дифференциальными уравнениями в частных производных являются [AG91], [Hor90]¨. (Разумеется, следует также рассмотреть работы [CW93], [Bou99b], даже если результаты в них не были сформулированы в виде абстрактных теорем о неявной функции, и я не уверен, что их легко можно будет разместить среди имеющихся.)

Теорема, которая наиболее близко моделирует задачу, обсуждавшуюся нами до сих пор (а также те задачи, которые мы обсудим позже), — это

где Υ — убывающая функция. (Мы предположим без потери общности и во избежание усложнения алгебраических выражений, что Υ > 1.) Функция Υ называется аппроксимирующей функцией. Она также входит в последующее условие, и в (H4) мы потребуем, чтобы она удовлетворяла определенным условиям.

H3) (Приближенный правый обратный) Можно найти приближенный правый обратный оператор для производной.

Т. е. мы можем найти линейный оператор η, который отображает Zσ в Xσ для всех σ < σ и удовлетворяет оценкам

η(f, u)z σ Υ(σ − σ ) z σ,

D2F (f, u)η(f, u)z − z σ Υ(σ − σ ) F (f, u) σ z σ. (5.5)

H4) Аппроксимирующая функция удовлетворяет условиям Брюно – Рюссманна:

достаточно мала, то мы можем найти u X1/2, точно решающее урав-

нение

F (f, u ) = 0.

Более того,

ЗАМЕЧАНИЕ 5.3. Теорема в [Zeh75] также содержала условие H2, которое позволяло получить информацию о зависимости решений u от f .

Мы убрали зависимость u от f из заключений основной теоремы и перенесли ее в замечания (см. замечание 5.13). Поэтому мы убрали H2 из основной теоремы, но сохранили нумерацию, чтобы иметь возможность без труда сравнивать теоремы. С другой стороны, условие H4 в нашей теореме отличается от условия с тем же номером из работы [Zeh75], но играет ту же самую роль.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.4. Существуют несколько эквивалентных формулировок условия H4. Для всех практических целей достаточно взять δ фиксированной экспоненциальной последовательностью. См. упражнения.

Доказательство этой теоремы является очень простым, поскольку мы абстрагировались от многих сложностей предыдущей теоремы. Мы представим его, а затем отметим несколько тонких моментов и укажем некоторые приложения.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.5. Одним из важнейших свойств доказательства в [Zeh75], которое мы убрали из методических соображений, является то, что конечный результат выражается в форме, которая не зависит от рассматриваемого пространства. Для этого требуется предположить, что Υ(t) = Ct−α для некоторых положительных C, α. Этот случай имеет очень важные следствия, такие как конечно-дифференцируемый случай. Мы перенесем вывод этих улучшений в упражнения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Мы используем квазиньютоновский метод, определенный итерационной процедурой

в которой η занимает место величины, обратной к производной в обычном методе Ньютона.

Положим σn+1 = σn − δn и σ0 = 1. Мы получим рекурсивные оценки

F (f, un) σn , un σn и un − un+1 σn+1 .

Поскольку σn 1/2, из последних оценок следует, что un сходится в X1/2.

Добавляя и вычитая, мы получаем

F(f, un+1) = F (f, un+1) − F (f, un) − D2F (f, un)η(f, un)F (f, un)+

+F (f, un) + D2F (f, un)η(f, un)F (f, un). (5.10)

Мы можем оценить слагаемые во второй строке в (5.10), используя вторую часть (5.5),

F (f, un) − D2F (f, un)η(f, un)F (f, un) σn+1 Υ(δn) F (f, u) 2σn .

Используя первую часть (5.5), мы получаем при τn = (σn + σn+1)/2

Эта оценка позволяет нам применить (5.4) к слагаемым в первой строке (5.10).

=21+2+···+2n Υ(δn/2)2 × Υ(δn−1/2)22 × · · · ×

×Υ(δ0/2)2n+1 F (f, u0) 2σn0+1 . (5.13)

2n+1

Мы можем оценить логарифм множителя перед F (f, u0) σ0 в правой части (5.13) величиной

2n+1 log(2) + log Υ(δn/2)2−n + · · · + log Υ(δn−1/2)2−(n−1)+

+ · · · + log Υ(δ0/2)20 .

Мы видим, что при нашем предположении H4 (см. (5.6)) величина в скобках может быть оценена сверху константой (сумма ряда). Следовательно, из (5.13) получаем

где A — постоянная, зависящая от свойств аппроксимирующей функции и других констант, входящих в постановку задачи.

Мы видим, что если F (f, u0) σ0 достаточно мала, то правая часть (5.14) сходится к нулю чрезвычайно быстро.

Используя (5.11), мы имеем

где A — также постоянная, зависящая от свойств аппроксимирующей функции и других констант, входящих в постановку задачи. (Она отличается от A в (5.14), но мы следуем стандартной практике, обозначая все такие константы одной и той же буквой.)

Правая часть (5.15) является сходящимся рядом, поскольку, согласно нашему предположению (5.6), общий член ряда ограничен. Поэтому log Υ(δn/2)2−n B (где вновь B — другая постоянная, зависящая только от констант задачи и от аппроксимирующей функции).

Когда A F (f, u0) σ0 < 1, второй множитель сходится к нулю быстрее любой экспоненты.

Отметим также, что если F (f, u0) σ0 достаточно мала, то сумма ряда, полученного при суммировании (5.15), может быть сколь угодно малой. В частности, мы можем проверить, что предел близок к u0 в X1/2.

Следовательно,

Υ(δn/2)(A F (f, u0) σ0 )2n (AeB F (f, u0) σ0 )2n .

УПРАЖНЕНИЕ 5.6. Многие классические доказательства классической теоремы о неявной функции основаны не на методе Ньютона, который является квадратично сходящимся, а на принципе сжимающих отображений (который является линейно сходящимся, поскольку остаток после первого шага только на фиксированный множитель меньше, чем остаток перед шагом).

Может ли метод, который преодолевает малые знаменатели, основываться на линейно сходящейся процедуре?

Аналогично можно получить алгоритмы, сходимость которых быстрее квадратичной (например, решая уравнение, заданное разложением в ряд Тейлора до второго порядка, или интерполируя несколько предыдущих шагов алгоритма). Может ли сложная теорема о неявной функции основываться на этих алгоритмах?

Интересно проверить, каков предыдущий результат по сравнению с представленным нами доказательством теоремы 4.1. Шкалы пространств в этом случае — просто пространства аналитических функций на шарах с различными радиусами. Нахождение приближенного обратного соответствует решению линеаризованного уравнения путем сравнения его с уравнением, полученным вычислением производных остатка. Проверка того, что шкалы отображаются друг в друга приближенно, соответствует нашей индуктивной гипотезе.

В формулировке теоремы 4.1 мы, разумеется, взяли

Это очень важный частный случай общей теоремы, поскольку он не только возникает в интересных ситуациях, но также приводит к дальнейшим следствиям, которые мы обсудим в следующих замечаниях. (Разумеется, читателю следует также свериться с [Zeh75] и другими ссылками.)

Выбор общей Υ, удовлетворяющей (5.6), соответствует малым знаменателям, удовлетворяющим (2.34), а функция из (5.16) соответствует диофантовым условиям. (Подробности см. в [R¨us90], [DeL97], [dlLV00].)

ЗАМЕЧАНИЕ 5.7. Существование приближенных обратных является общим свойством задач сопряженности или задач, имеющих групповую структуру.

Как указывалось в [Zeh75], стр. 133, существование приближенных обратных при предположении существования обратного только в тривиальном случае является общим свойством задач сопряженности, по меньшей мере на эвристическом уровне. Это действительно составляет принцип, объясняющий сокращения, которые мы обнаружили, например, в доказательстве теоремы 4.1, в котором мы использовали то, что, сравнивая предписание, предложенное эвристическим методом Ньютона, с производной остатка, можно свести линеаризованное уравнение, предложенное эвристическим методом Ньютона, к уравнению с постоянными коэффициентами с точностью до квадратично-малых ошибок.

Обратите внимание, что решаемые нами функциональные уравнения являются уравнениями сопряженности. Следовательно, они удовлетворяют тождеству

Если мы возьмем v = Id +v и будем считать v бесконечно малым, то полу-

Обратите внимание, что мы можем ожидать, что если D2F удовлетворяет некоторым условиям Липшица по первому аргументу, то величина в скобках в правой части (5.19) удовлетворяет ограничениям, которые мы накладываем на приближенный обратный при условии, что η удовлетворяет требуемым ограничениям.

Важность этого замечания состоит в том, что, зная существование η, который просто является обратным к D2F (f0, Id), мы можем вывести для функционалов с групповой структурой существование приближенного обратного во всей окрестности, что является условием, нужным для выполнения теоремы 5.2.

Разумеется, F удовлетворяет предположению (5.17), когда F (f, u) = = u−1 ◦ f ◦ u, но она также может быть действием u на векторные поля или более сложные объекты, и действительно это происходит довольно часто, когда рассматриваются геометрические задачи.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.8. Стратегия для КАМ (обсуждаемая более подробно в параграфе 6.1) может быть сформулирована как сведение гамильтониана к гамильтониану специального вида.

Следовательно, нас интересует решение не просто уравнения F (f, u) = = 0, а уравнения F (f, u) = N , где N является подмногообразием бесконечной коразмерности. Действительно, эта задача рассматривалась в [Zeh75] и в особенности в [Zeh76a].

ЗАМЕЧАНИЕ 5.9. Хотя большинство задач классической КАМ-теории (разумеется, все это будет обсуждаться в этих заметках) являются задачами сопряженности и, поэтому, имеют групповую структуру, это не является совершенно необходимым для наличия квадратичного алгоритма, не является совершенно необходимым для наличия квадратичной схемы.

Обзор задач геометрии, которые не являются задачами сопряженности, см. в [Ham82].

Очень интересным современным открытием является наблюдение, что вариационные задачи с симметрией также имеют другую общую структуру, которая позволяет получить квадратичную сходимость. См., например, исследование случая дифференциальных уравнений в частных производных в [Koz83], [Mos88] или в контексте КАМ в [SZ89]. (Мы приведем описание этих исследований в параграфе 6.3.)

Намного более интересным является тот факт, что в [CW93], [CW94] вводится другой механизм для получения квадратичной сходимости. В настоящее время я не знаю функционально-аналитической структуры, которая заключает в себе эти замечательные результаты.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.10. В приложениях теорем о неявной функции к задачам сохранения торов (и к некоторым геометрическим задачам) нас интересует не уравнение F (f, u) = 0, а уравнение F (f, u) N , где N — подходящее подмногообразие.

См. упражнения 5.25, 5.26.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.11. Отметим, что структура теоремы 5.2 такова, что на вход подается просто приближенное решение (с некоторыми дополнительными умеренными требованиями), а на выходе получаем точное решение, не слишком удаленное от исходного приближенного решения.

В наиболее часто цитируемых приложениях входными данными служит точное решение интегрируемой системы, которое одновременно является приближенным решением квазиинтегрируемой системы. Тем не менее, возможны другие приложения. Среди них упомянем:

1) Численные алгоритмы:

Аккуратно реализованные и успешно примененные численные алгоритмы порождают приближенные решения (т. е. нечто, что, будучи подставленным в уравнения, приближенно удовлетворяет им).

Следовательно, используя теорему со структурой теоремы 5.2, можно обосновать, что приближенные решения, полученные с помощью компьютерного алгоритма, действительно соответствуют близкому истинному решению. В численном анализе это иногда называют апостериорными оценками. (См. [BZ82], [dlLR91], [CC95].) Мы обсудим некоторые численные проблемы, связанные с этим в главе 7.

2) Обоснование асимптотических разложений (например, ряды Линдштедта).

Эти разложения производят некоторые объекты, которые приближенно удовлетворяют уравнениям. Следовательно, теорема, аналогичная теореме 5.2, может использоваться для обоснования асимптотических разложений. То есть можно показать, что можно действительно найти торы, которые расположены вблизи усечений рядов Линдштедта. Для KAM-торов можно найти аргументы такого рода в [Mos67]. В этих случаях также показано, что ряды Линдштедта сходятся (поскольку тор должен быть аналитическим, как функция параметра). Мы подчеркиваем, что для обоснования асимптотической природы ряда нужно лишь, чтобы ряд порождал не слишком сложные объекты, которые удовлетворяют уравнению с уменьшающимися ошибками. Ряды Линдштедта для торов малых размерностей изучались с помощью этого метода в [JdlLZ99]. В этом случае мы не знаем, сходится ли ряд или нет, но, следуя доказательству, вкратце приведенному здесь, можно показать, что он является асимптотическим в определенной комплексной области.

3) Установление для решений непрерывности или регулярности по Уитни по параметрам, предполагая, что F более регулярна по обоим своим аргументам.

Это приложение в явном виде разрабатывается в [dlLV00]. Эти рассуждения требуют некоторую определенную степень единственности, которая

110 ВВЕДЕНИЕ В КАМ-ТЕОРИЮ

отсутствует в теореме в том виде, в котором мы сформулировали и доказали ее, но мы получим нужное нам утверждение в упражнении 5.24.

4) Получение результата для конечно-дифференцируемой задачи, используя результат для аналитической задачи.

Приложение, которое рассматривалось уже в [Mos66b], [Mos66a], заключается в том, что, как мы видели в лемме 3.2, мы можем характеризовать конечно-дифференцируемые функции с помощью свойств их аппроксимаций аналитическими функциями. Приведем набросок доказательства.

Для гладкой f мы исследуем задачу F (f, u) = 0, рассматривая последовательность задач F (fn, un) = 0, где fn построены как аппроксимации

гладкой функции f аналитическими функциями.

Используя то, что ||fn − fn+1||2−(n+1) C2−(n+1)r , часто можно показать (используя структуру F ), что

||F (fn, un) − F (fn+1, un)||2−(n+1) = ||F (fn+1, un)||2−(n+1) C2−(n+1)r .

Рассмотрим un в качестве приближенного решения для задачи с fn+1. В случае, когда Υ является степенной, отсюда следует, что

||un − un+1||2−(n+2) C2−(n+1)r ,

из чего, вновь апеллируя к лемме 3.2, мы получаем, что здесь u = lim un, она решает требуемое уравнение и является аналитической.

Преимуществом этого метода является то, что в нем всегда выполняются действия с аналитическими функциями, для которых оценки часто проще и, как мы видели, точнее, если нужно использовать коэффициенты Фурье.

Подробности (например, как задать индукцию) см. в [Mos66b], [Mos66a], [Zeh75], [Zeh76a], и там же несколько отличающиеся версии доказательства и приложения к конкретным задачам.

Количественные оценки, необходимые для выполнения этой стратегии, объясняются в упражнении 5.19.

5) Улучшение регулярности.

Если умеренно гладкое решение аппроксимируется аналитическим, то оно является аналитическим приближенным решением.

Применяя теорему такого рода, можно прийти к следующему заключению. Пусть для аналитической задачи существует достаточно гладкое решение (такое, что сглаживания действительно являются очень хорошими аппроксимациями). Тогда существует аналитическое решение. Разумеется, если в задаче решение единственно, то получаем, что любое решение, которое имеет определенную регулярность, является аналитическим.