Введение в КАМ-теорию

Разумеется, если мы начнем с задачи, которая является очень регулярной, то мы можем также показать, что при заданном решении, регулярность которого превышает определенную критическую регулярность, существует другое решение, которое является настолько гладким, насколько позволяет задача, и если решение единственно, то мы приходим к заключению, что все решения, регулярность которых превышает определенную регулярность, являются настолько гладкими, насколько позволяет задача.

Утверждения такого рода содержатся в явном виде в [SZ89]. Необходимые количественные оценки см. в упражнении 5.19.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.12. Обратите внимание, что теорема 5.2 предполагает только существование приближенного правого обратного.

Не следует ожидать, что решение, полученное в теореме, будет единственным. Действительно, в некоторых задачах, таких как теорема Нэша о вложении, которые послужили стимулом для множества оригинальных исследований, существует только приближенный правый обратный и, действительно, решение не является единственным. Во многих геометрических задачах искомые результаты инвариантны относительно диффеоморфизмов, поэтому следует ожидать, что решение не является единственным.

При умеренных предположениях (например, предполагая существование приближенного левого обратного) получаем единственность. См. замечания в [Zeh75] и упражнение 5.24. Эти предположения часто удовлетворяются в КАМ-теории, или же единственность интересующих нас объектов может быть получена с использованием других средств. (Часто ищутся геометрические объекты в координатной системе таким образом, чтобы геометрические объекты могли быть единственными, даже если их координатное представление таковым не является.)

Одной из ситуаций, когда эти соображения имеют место, является доказательство КАМ-теоремы, следуя стратегии Колмогорова. (См. параграф 6.1.)

В этом методе мы ищем замену переменных, в которых получающаяся система явно имеет инвариантный тор. То есть мы пытаемся свести систему к нормальной форме Колмогорова (6.6). Такая замена переменных, очевидно, не является единственной, поскольку нормальная форма не определяет, какими должны быть члены высших порядков, и можно делать замены переменных, которые при своем действии зависят только от высших порядков. Поэтому нельзя ожидать единственности ни для замены переменных, ни для вида нормальной формы, и формулировку теоремы, основанной на этом формализме, нельзя изменить так, чтобы получить единственность. Тем не менее верно, что при умеренных предположениях невырожденности тор с заданной частотой является единственным.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.13. Теорема из [Zeh75] имеет дополнительное условие H2, в котором требуется, чтобы F являлась липшицевой по первому аргументу. Тогда мы получаем липшицеву зависимость решения от функции f (в некоторых подходящих пространствах).

Отметим, что в случае, когда нет единственности, утверждается лишь то, что алгоритм (5.9) приводит к решению, которое липшицево зависит от f . Очевидно, при отсутствии единственности могут выбираться различные решения для различных f , и в итоге может получиться u, с непрерывной зависимостью от f .

Подробное изложение этих идей см. в [Zeh76b].

Обратите внимание, что существуют методы получения гладкой зависимости от параметров, не содержащихся в доказательстве теоремы 5.2, и проверки дифференцируемости по параметрам всех шагов.

1) Можно также получить высокую регулярность относительно параметров, применяя теорему 5.2 в пространствах, которые состоят из гладких семейств функций. Разумеется, необходимо, чтобы приближенный обратный также отображал гладкие семейства в гладкие семейства. Это требует некоторых хитростей, поскольку приближенные обратные определены неединственным образом, поэтому их можно выбирать по-разному для различных значений параметра и даже испортить непрерывность.

Тем не менее, для задачи с групповой структурой предписание, заданное в (5.18), дает способ получения решения в пространстве гладких семейств функции. Аргументы такого рода подробно приводятся в [dlLO00] при решении задач дифференциальной геометрии.

2) Когда существует единственность, можно следовать аргументам другого рода, например, нахождение формальных производных решения и затем демонстрация того, что эти формальные производные удовлетворяют условию теоремы Уитни [dlLV00].

ЗАМЕЧАНИЕ 5.14. Когда имеется некоторая регулярность (по меньшей мере липшицева) по параметрам, можно начинать обсуждение вопросов (важных в приложениях), таких как меры в покрываемом пространстве параметров.

УПРАЖНЕНИЕ 5.15. Запишите точно сведение теоремы 4.1 к теореме 5.2, явным образом выбрав пространства и т. д.

УПРАЖНЕНИЕ 5.16. Более сложный вариант предыдущего упражнения состоит в том, чтобы показать, что если число ω удовлетворяет условиям (2.34), то построенный нами в доказательстве теоремы 4.1 приближенный обратный удовлетворяет (5.6).

в [R¨us90], [DeL97] оценки, которые переходят от арифметических условий к аппроксимирующим функциям.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.17. В практических приложениях, например, когда численно рассчитываются решения неявно определенной задачи, разумеется, не вычисляется обратная матрица, а численно решается система.

Вчисленной практике это обычно влечет за собой разложение матрицы. Традиционно используется LU-разложение (метод исключения Гаусса), хотя

вКАМ-теоремах, которые обычно плохо обусловлены, следует, возможно, предпочесть SVD-разложение11.

Влюбом случае было бы удобно, если бы не пришлось повторно вычислять эти факторизации, что может потребовать гораздо больше затрат, чем применение к функции. Разумеется, мы не хотели бы терять квадратичную сходимость, которая, например, в методах продолжения, которые требуют большой точности, намного более практична, чем метод, который сходится более медленно.

Следующие две схемы, в которых удается избежать повторного вычисления факторизации, но получающаяся сходимость быстрее чем линейная, изучаются в [Mos73], стр. 151. Вторая описывается в [Hal75]. Геометрическая интерпретация этих методов как метода Ньютона в пространстве струй обсуждается в [McG90].

в (5.20), (5.21). Достаточно применить матрицы к векторам.)

УПРАЖНЕНИЕ 5.18. Покажите в конечномерном случае, что при предположениях гладкости и малости (5.20) приводят к

√

F (f, un+1) C|F (f, un)|( 5+1)/2

11В LU-разложении матрица записывается как произведение нижней и верхней треугольных матриц. SVD-разложение (singular value decomposition) — это сингулярное разложение. Всякую матрицу A Mn можно записать как A = V ΣW , где V, W Mn — унитарные матрицы и Σ Mn — диагональная матрица с неотрицательными элементами главной диагонали и такого же ранга, как и A.

и (5.21) приводят к

F (f, un+1) C|F (f, un)|2.

Приложения этих схем к сложным теоремам о неявной функции и другим модификациям основного алгоритма рассматриваются в следующих упражнениях.

Следующие упражнения предназначены для демонстрации того, что квадратичная сходимость является достаточно терпимой и что существует много работающих вариантов. Мы также включили несколько вариантов, в которых результаты не достигаются, поэтому читатель может почувствовать область применимости этих методов.

УПРАЖНЕНИЕ 5.19. Рассмотрите следующие улучшения теоремы 5.2 (либо по отдельности, либо несколько в одно и то же время, для наиболее амбициозных читателей).

Как мы отметим в упражнениях, некоторые из этих улучшений, помимо того, что служат тренировкой, имеют важные следствия.

•Измените условие и заключения так, чтобы приближенное решение по умолчанию удовлетворяло

вместо (5.8).

Указание: Этот результат может быть выведен из формулировки теоремы простым изменением обозначений используемых пространств.

•Покажите, что в случае, когда мы берем Υ(t) = Ct−α для некоторого C, α > 0, мы имеем C(δ0) = C t−α для некоторого C , α > 0.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.20. Предыдущие два пункта весьма важны, поскольку они позволяют получить конечно-дифференцируемый результат из аналитического результата. Стратегия для этого объясняется в замечании 5.11.

Эти пункты выполнены в [Zeh75]. Их также можно получить из приведенной нами формулировки изменением шкалы пространств в доказательстве.

•Покажите, что в случае, когда мы берем Υ(t) = sΥ0(t), где мы рассматриваем Υ0 как фиксированную функцию и s как переменную, условия малости, необходимые в (5.7), имеют вид

s2 < K

и заключения (5.8) принимают вид

u − u 1/2 Ks F (f, u0) 1,

где теперь K является константой, зависящей от всех других свойств условия, но не зависящей от s.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.21. В приложениях к КАМ-теореме смысл параметра s — это допустимая величина диофантовой константы.

Это улучшение рассмотрено в [Zeh76b].

Оно непосредственно приводит к оценкам меры множества торов, покрываемого КАМ-теоремой. (См. [dlLV00].)

•Обратите внимание, что в (5.4), (5.5) мы имеем три различные Υ функции. Например, три различных степенных функции.

(Это возникает на практике. Одни степени получаются из диофантовой аппроксимации, а другие — из дифференцирования композиции и т. п.)

•Замените второе равенство (5.5) на следующее:

для некоторого κ > 0.

•Можно также взять другой приближенный обратный оператор во время итерации.

dF (f, un)ηn(f, un)z − z σ Υ(σ − σ ) F (f, un) σ z σ+

+ exp(−a(1 + κ )n)

для некоторого κ > 0.

Например, можно выбрать

dF (f, un)ηn(f, un)z − z σ Υ(σ − σ ) F (f, un) σ z σ+

+ exp(−4n(σ − σ )). (5.24)

Потребность в таких операторах возникает в некоторых доказательствах (например, в доказательствах, подобных доказательству Арнольда) при попытке сделать какое-нибудь усечение задачи. Это улучшение несложно выполнить самостоятельно, но не так просто понять, как оно взаимодействует с другими. Весьма поучительно понять, как оно взаимодействует с методом получения конечно-дифференцируемого результата и с некоторыми другими.

При этих модификациях следует несколько изменить условия (5.6).

УПРАЖНЕНИЕ 5.22. Сформулируйте точно предположения об уменьшении области и т. д. для получения доказательства теоремы о неявной функции, используя итерацию, как в (5.21).

УПРАЖНЕНИЕ 5.23. Принимая во внимание улучшение, предложенное в (5.23), получите доказательство теоремы, используя схему из (5.20).

УПРАЖНЕНИЕ 5.24. Покажите, что если дополнить предположение H3 теоремы 5.2 существованием левого приближенного обратного, удовлетворяющего тем же оценкам, то решение единственно в подходящем смысле.

Сформулируйте точную теорему, в которой явно указываются области, в которых выполняется единственность.

(Некоторая версия этой теоремы приведена в [Zeh75].)

УПРАЖНЕНИЕ 5.25. Сформулируйте и докажите теорему о неявной функции, в которой мы решаем не уравнение F (f, u) = 0, а F (f, u) N , как объясняется в замечании 5.10.

В этой общности не следует ожидать единственности, следовательно, непрерывность и дифференцируемость по параметрам следует понимать в некотором специальном смысле.

УПРАЖНЕНИЕ 5.26. Когда рассматривается задача о нормальной форме, следует также изменить предположение H3 теоремы на следующее:

dF (f, u)η(f, u)z − z σ Υ(σ − σ )dσ (N, F (f, u)) z σ,

где dσ обозначает расстояние между множествами, измеряемое по нор-

ме · σ.

Это наблюдение приводится в [Mor82].

УПРАЖНЕНИЕ 5.27. Классическая теорема в КАМ-теории — это теорема из [Arn61], которая утверждает, что если задан диффеоморфизм окружности с числом вращения ρ, которое является диофантовым и достаточно близко к вращению на ρ в аналитической топологии, то существует аналитическая замена переменных, которая преобразует ее во вращение на ρ.

Сформулируйте ее в терминах абстрактной теоремы о неявной функ-

ции.

Основная сложность состоит в том, что, когда мы начинаем доказывать эту теорему, мы не знаем, что множество диффеоморфизмов с числом вращения ρ является многообразием. (Мы знаем это после того, как мы доказали теорему!)

Отметим также, что сопряженность является не единственной, поскольку все вращения сопрягают вращение с самим собой.

Я знаю несколько способов сделать это, но все из них требуют некоторых изощренных трюков. (Хороший источник для изучения этих трюков

ипочти всего, что связано с отображениями окружностей, — это [Her79]

и[Her83]).

Отметим также, что для этой задачи существуют доказательства, которые не используют KAM. Помимо доказательств, использующих ренормализацию, и [KO89a], которые уже упоминалось во введении, мы упомянем [Her85] и, для чисел постоянного типа (которые имеют ограниченное разложение в непрерывную дробь), [Her83b].

ЗАМЕЧАНИЕ 5.28. Отметим, что оценки, сделанные нами для доказательства теоремы 5.2, не используют того, что · σ является нормой. Они бы работали также хорошо, если бы · σ была полунормой.

Разумеется, для того чтобы результат был осмысленным, нам нужно, чтобы семейство полунорм { · σ}σ (0,1/2) определяло полезное пространство, т. е. чтобы они определяли пространство Фреше. См. в [Ham82] подробности, связанные с этим улучшением, а также его приложения.

Оригинальное доказательство КАМ-теоремы для конечно-дифферен- цируемого случая основывалось на схеме, отличающейся от представленного нами доказательства.

Отметим, что доказательство, например, теоремы 4.13 следовало другой схеме. На каждом шаге линейный оператор, который нам нужно обратить, имел обратный (а не просто приближенный обратный). Задача заключалась в том, что оператор являлся неограниченным, и, следовательно, простые итерации, такие как в классическом методе Ньютона, не работали.

Эта ситуация возникает также в случае дифференциальных уравнений в частных производных. Примером является знаменитая теорема Нэша о вложении [Nas56].

Метод, использованный в [Mos66b] и [Mos66a], состоял в объединении шагов итерации линеаризованного оператора со сглаживаниями. Метод позволяет норме в пространстве более гладких функций расти, а норме в пространстве более грубых функций — убывать. Используя интерполяционные неравенства, можно восстановить хорошее поведение некоторой промежуточной нормы. (Убывание может не быть в точности квадратичным, но все же быстрее, чем экспонента.) Этот метод был формализован в [Ham82], где также содержится множество приложений, в основном из геометрии. Сравнение этих методов с методами Цендера [Zeh75] см. в [Ham82], глава 3.

В дальнейшем мы представим доказательство, следуя этому методу, которое изложено довольно близко к работе [Sch69]. Эта книга также содержит очень содержательное обсуждение теоремы Нэша о вложении и других задач нелинейного функционального анализа.

Ниже мы используем некоторый диапазон значений m − α rm + 10α пространства Λr (определенный в параграфе 3.1) и некоторую константу M > 1. Предположим, что M достаточно велика, поэтому операторы сглаживания St удовлетворяют оценкам

f: Bm → Λm−α — отображение, удовлетворяющее следующим свойствам:

(i)f (Bm ∩ Λr ) Λr−α, при m r m + 10α;

(ii)f |Bm ∩Λr : Bm ∩ Λr → Λr−α имеет две непрерывные производные Фреше, обе ограничены M , при m r m + 10α;

(iii) существует отображение L : Bm → B(Λm, Λm−α), где B(Λm, Λm−α) — пространство ограниченных линейных операторов из Λm в Λm−α такое, что

(iii.a) L(u)h m−α M h m, u Bm, h Λm;

(iii.b) df (u)L(u)h = h, u Bm, h Λm+α;

(iii.c) L(u)f (u) m+9α M (1 + u m+10α), u Bm ∩ Λm+10α.

Тогда если E := f (0) m+9α достаточно мала, то существует u Λm такая, что f (u) = 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть κ > 1, β, μ, ν > 0 — вещественные числа, значения которых мы уточним позже. Нам нужно, чтобы они удовлетворяли конечному набору неравенств, связывающих их с константами, возникающими в предположениях задачи.

Мы строим последовательность {un}n 1 Λm, выбирая в качестве u0 = 0 и

un+1 = un − SnL(un)f (un),

где Sn = Stn и tn = eβκn . В дальнейшем мы докажем, что эта последовательность удовлетворяет при n 1 следующим свойствам:

(p1;n) un−1 Bm,

(p2;n) un − un−1 m e−μαβκn ,

(p3;n) un Λm+10α и 1 + un m+10α eναβκn .

Обратите внимание, что тогда {un}n 1 Λm сходится к некоторому u Λm и, кроме того, согласно (iii.b),

f (un) m−α = df (un)(un+1 − un) − df (un)(Id −Sn)L(un)f (un) m−α

M (un+1 − un) m + M 2t−n 9α L(un)f (un) m+9α

M e−μαβκn+1 + M 2e(ν−9)αβκn . (5.26)

Следовательно, правая часть неравенства (5.26) сходится к нулю, когда n стремится к бесконечности, при условии, что

Мы собираемся доказать по индукции, что последовательность {un}n 1 удовлетворяет свойствам (p1;n) – (p3;n). При n = 1 условие (p1;1) тривиально.

Условие (p2;1) имеет вид

u1−u0 m = S0L(0)f (0) m M tα0 L(0)f (0) m−α M 2eαβ E e−μαβκ,

(5.28)

1+ u1 m+10α = 1 + S0L(0)f (0) m+10α 1 + M tα0 L(0)f (0) m+9α

1 + M 2eαβ 2M 2eαβ eναβκ,

120 ВВЕДЕНИЕ В КАМ-ТЕОРИЮ

то есть если νκ > 1 и β достаточно велико.

Предположим теперь, что условия (p1;j), (p2;j) и (p3;j) выполнены

что выполняется, когда

μβ 1,

мы получим, что правая часть (5.31) ограничена сверху значением 1, откуда получаем (p1:n+1).

Чтобы доказать (p3;n+1) отметим, что

j=0

где последнее неравенство выполнено (и поэтому мы получаем (p3;n+1)),

Наконец, мы приступаем к доказательству (p2;n+1). Мы имеем

(un+1 − un) m = SnL(un)f (un) m M 2eαβκn f (un) m

M 2eαβκn ( f (un−1) − df (un−1)Sn−1L(un−1)f (un−1) m+

+ M (un − un−1) 2m) M 5(e(ν−9+κ)αβκn−1 + e(1−2μ)αβκn ).