Введение в КАМ-теорию

(чтобы σn e−1), если мы предположим, что ε0 достаточно мало, то мы можем удовлетворить уравнение (4.34).

Более того, поскольку, согласно (4.25),

n e−1 KCδ02μnρ2n ,

мы видим, что n < ∞. Следовательно,

≡n

сходится равномерно в пространстве функций на круге радиуса e−1, и мы можем легко оценить e−1 .

В конце этого параграфа мы собрали несколько упражнений, в которых рассматриваются альтернативы для представленного доказательства и для другого доказательства, которое будет представлено в дальнейшем.

Давайте отметим некоторые из примечательных моментов доказательства.

ЗАМЕЧАНИЕ 4.11. Мы обращаем внимание на замечательный факт, что производные выражения (4.10) можно использовать для того, чтобы преобразовать уравнение (4.11) в намного более простое уравнение (с ошибкой, которая мала, если остаток мал и имеет квадратичный порядок).

Это то, что позволит нам произвести этот шаг с квадратичной ошибкой. В свою очередь, эта квадратичная ошибка имеет ключевое значение в проблеме малых знаменателей (см. следующее замечание). См. упражнение 4.23 для примера задачи очень похожими аналитическими свойствами, но без групповой структуры, для которой результат является ложным.

Возможность выполнения этого замечательного упрощения возникает из групповой структуры уравнения, что подчеркивалось в [Zeh76a].

Это замечательное сокращение имеет другие обоснования, например, в контексте лагранжевых принципов. Действительно, можно увидеть, что это связано с симметрией, которую мы использовали в (2.18). Оглядываясь на прошлое, мы можем видеть, что множитель (1 + [<n] ), использованный там, в действительности является бесконечно малым переносом вправо для данных задачи, и сокращение просто является отражением того факта, что исходная задача инвариантна относительно переносов (см. классическую теорему Нетер о вариационных принципах с непрерывными симметриями). В квантовой теории поля тождества, возникающие путем замены переменных, называются тождествами Варда. Соотношение между тождествами Варда и тождествами, используемыми в теории рядов Линдштедта, подчеркивается в [Gal94a], [BGK99], эти статьи предназначены для преодоления промежутка между языком квантовой теории поля и КАМ-теории. Разумеется, в КТП часто объекты рассматриваются не как определенные по существу, но скорее как формальные степенные ряды.

ЗАМЕЧАНИЕ 4.12. После того как мы получили шаг итерации и оценки, которые дают квадратичную сходимость, остальное к этому времени вполне понятно.

Действительно, существуют несколько абстрактных формулировок, некоторые из которых мы обсудим позже. См. главу 5.

В дальнейшем мы выделим шаги, необходимые для получения квадратичной сходимости, и оставим читателю проверку того, что сходимость действительно имеет место.

Опыт показывает, что после изучения нескольких доказательств с использованием квадратичной сходимости быстрее и надежнее получать доказательство самостоятельно, чем читать доказательства других. Это, разумеется, более познавательно для читателя и более удобно для писателя. В этом случае читатель может убедиться в своей правоте с помощью других, должным образом написанных работ, на которые мы ссылаемся и в которые мы предлагаем ему заглянуть для изучения дополнительных подробностей.

Получение квадратично сходящегося алгоритма в классической КАМ-теории неочевидно, поскольку зависит от сокращения, определяемого геометрией или структурой задачи, с помощью которой сокращаются некоторые члены, которые привели бы к линейно сходящемуся методу.

Отметим, что в классической КАМ-теории мы ограничены тем, что знаем только, как решать одно линеаризованное уравнение (в отличие от обычного метода Ньютона, где мы можем решать линеаризованное уравнение в целой окрестности).

В оставшейся части этого параграфа мы представим доказательство многомерного случая теоремы 4.1, следуя [Arn88], глава 28. Одномерная версия этого доказательства рассматривается в [SM95], глава 25.

Теорема 4.13. Пусть f : U Cd → Cd, аналитическая на поликруге. f (0) = 0. Обозначим Df (0) = A и предположим, что A — диагональная и σ = (σ1, σ2, . . . , σd), спектр A удовлетворяет

Тогда мы можем найти h : V Cd → Cd, h(0) = 0, Dh(0) = Id

Вывод, следующий из (4.36), опять состоит в том, что f просто является линейным отображением в других координатах.

ЗАМЕЧАНИЕ 4.14. Обратите внимание, что мы не предполагаем, что σi имеют модуль 1. В многомерном случае существуют несколько интересных примеров, в которых некоторые из σi меньше, чем 1, а другие — больше, чем 1. В случае, когда не существует собственных значений, равных 1, и никакое произведение собственных значений не является другим собственным значением, теорема Стернберга гарантирует, что существует замена переменных класса C∞, которая сводит систему к линейной. Чтобы определить, что замена переменных является аналитической, помимо произведений, не являющихся собственными значениями, нужны также некоторые количественные оценки того, насколько они далеки, такие как (4.35). Отметим также, что замены переменных класса C∞, определяемые теоремой Стернберга, не являются единственными, а аналитические замены, как указывалось ранее, являются единственными.

ЗАМЕЧАНИЕ 4.15. Отметим, что условие (4.35) неявно требует, чтобы не существовало собственное значение 0, следовательно, A обратимая.

Очень легко показать, что если одно собственное значение равно 0, то не следует ожидать, что заключение будет верным.

ЗАМЕЧАНИЕ 4.16. Если мы запишем σj = exp(2πiωj ), где ωj — возможно комплексные числа, то увидим, что (4.35) эквивалентно тому, что ω удовлетворяет (3.19), но нам это нужно только для k Nd, а не для k Zd.

Мы обсудим различные стадии доказательства, но оставим многие подробности читателю для самостоятельного рассмотрения, поскольку это обеспечит ему некоторую тренировку и, кроме того, их можно найти в указанных ссылках.

Выбранные нами аппроксимации можно легко оценить с помощью добавления и вычитания слагаемых следующим образом. (Мы пока игнорируем проблемы с областями определения. Достаточно сказать, что незатейливые тождества, которые мы получаем, должны выполняться в области вблизи начала координат. Вопрос о том, насколько большую область мы можем выбрать, мы рассмотрим позднее.)

Теперь займемся получением оценки, которая показывает насколько этот шаг действительно улучшает ситуацию и как мы можем повторно использовать его для получения сходимости к решению. Выделим основные аргументы.

i) Оценки для h, полученные при решении (4.38).

Выполняя в точности ту же самую процедуру, указанную выше, оценивающую величины коэффициентов Тейлора величиной функции, решая уравнение с малыми знаменателями относительно коэффициентов и затем оценивая эту величину в несколько меньшей области, мы получаем

Отметим, что, используя (4.38), мы сразу получаем оценки

Наличие контроля над h как на поликруге, так и на его образе под действием A весьма важно для того, чтобы иметь возможность проверить, что композиции и т. д. имеют смысл.

ii)Оценки, полученные с использованием (4.43) и теоремы о неявной функции.

Отметим, что для этого требуется, чтобы мы предположили некото-

рое условие малости по h, которое гарантирует, что мы действительно можем определить композиции.

и, аналогично, используя (4.44) и теорему о неявной функции (вновь нам нужны некоторые условия, которые гарантируют, что мы можем определить композиции, необходимые для применения теоремы о неявной функции).

Что касается условий, которые позволят нам использовать теорему о неявной функции, достаточно предположить, что мы имеем

что, ввиду (4.43), (4.44), следует из неравенств

f re−δ Kδτ +1,

(4.48)

f ◦ A re−δ Kδτ +1.

iii)Простые оценки с использованием теоремы о среднем. Отметим, что мы можем оценить

где Σ — выпуклая область, которая включает образ поликруга радиуса r под действием h1 и h2. В частности, мы можем взять Σ в виде поликруга радиуса r + max( h1 r, h2 r).

Используя оценки Коши, можно получить

где r = [r + max( h1 r, h2 r )] eδ .

Оказывается, чтобы иметь возможность убедиться, что области соответствуют друг другу, нам нужно условие такого же вида, как (4.48).

Следовательно, можно доказать лемму, которая гарантирует, что в случае выполнения (4.48) мы можем выполнить шаг итерации и получить оценки

где, как обычно, мы обозначили через C константу, которая зависит только от размерности, K — константа в диофантовом неравенстве (4.2) и τ — показатель, связанный с диофантовым показателем (примерно в два раза больше, поскольку мы возводим в квадрат результат леммы 4.6 и применяем оценки Коши дважды).

Это утверждение обычно называется итерационной леммой.

После получения итерационной леммы нам нужно показать следую-

щее:

iv)Выберем δn = δ02−n. Если вы предполагаете, что r0 3δ0 и что f −

−A r0 достаточно мало, то итерационная лемма может быть применена

многократно для получения последовательности {fn}, определенной на rn = rn−1e−δn−1 . Эта последовательность удовлетворяет оценкам

n

fn − A rn Cα2 (4.52)

для некоторого 0 < α < 1, которое можно сделать произвольно малым, полагая, что f0 − A r0 достаточно мало.

v)Нам нужно показать, что композиции h(n) ≡ hn ◦hn−1 ◦· · ·◦h0 сходятся в нетривиальной области.

Помимо факта, что квадратичная сходимость позволяет подавить влияние малых знаменателей, мы хотим выделить некоторые другие свойства алгоритма.

Отметим вновь, что мы можем решить линеаризованное уравнение только в точности для тождественного отображения. Тем не менее, достигнутый нами прогресс позволяет свести задачу к более близкой к тождественному отображению, поэтому мы начинаем с задачи, которая даже более благоприятна. Вновь в задаче существует групповая структура. Последовательные замены переменных очень часто применяются в доказательствах, связанных с гамильтоновыми системами, и предпочтение отдается доказательствам, которые связаны лишь с решением функциональных уравнений. Это происходит, частично, ввиду того, что гамильтоновы системы имеют очень хорошую теорию преобразований. Также верно, что даже приближенное сведение к нормальным формам имеет очень интересные побочные продукты. Например, так получается теорема Нехорошева.

Отметим, что аналитическая часть сходимости являлась чрезвычайно схожей. Мы получили квадратичные оценки, которые содержат плохой, неограниченно возрастающий сомножитель. Все эти оценки были доказаны при некоторых индуктивных предположениях, которые позволяют выполнить алгоритм. Квадратичной природой оценок можно воспользоваться,

чтобы показать, что если начальная ошибка достаточно мала, то растущие члены, возникающие в связи с решением линеаризованного уравнения, не портят сходимость, и мы действительно вновь получаем индуктивное предположение, что позволяет нам продолжить улучшение нашей линеаризации. Когда мы получаем, что остаток стремится к нулю чрезвычайно быстро, тогда можно показать, что композиция преобразований сходится.

УПРАЖНЕНИЕ 4.17. Когда A имеет нетривиальную клетку Жордана и спектр удовлетворяет (4.35), покажите, что когомологическое уравне-

− ◦

ние Ah h A = f разрешимо в формальных степенных рядах. Какого рода оценки вы получите?

Являются ли полученные вами оценки достаточными для доказательства теоремы 4.13 без предположения, что A диагонализуема?

Если нет, можете ли вы построить контрпример?

Замечание: ответы на это упражнение известны в литературе. Читатель может свериться с современной работой [DeL97].

УПРАЖНЕНИЕ 4.18. Получите оптимальные оценки в стиле Рюссманна для линейного уравнения для аналитической функции в случае нескольких переменных. Случай, когда A — диагонализуемая матрица, все собственные значения которой равны 1, вполне аналогичен обсуждавшемуся нами случаю. Намного более интересными являются случаи, когда матрица имеет собственные значения, равные по модулю 1, и нетривиальные клетки Жордана.

Для подготовки к последующим рассуждениям отметим, что когда A имеет собственные значения, по модулю отличные от 1, если область определения ϕ — поликруг, то областью определения ϕ ◦ A будет другое множество.

УПРАЖНЕНИЕ 4.19. Сформулируйте улучшенные оценки упражнения 4.18 на языке приближающих функций Ω. Приводят ли они к какомунибудь улучшению в условиях Брюно?

УПРАЖНЕНИЕ 4.20. Некоторые оценки, представленные нами в доказательстве теоремы 4.1, весьма неэкономны.

Обратите внимание, в частности, что мы оценили в (4.24)

R σe−δ Kδ−1ε.

Мы можем заметить, что в процессе итерации остаток убывает до более и более высоких порядков. Это позволит нам использовать более тонкие оценки Коши, которые мы уточним ниже.

Выполните доказательство, используя эти улучшенные оценки, и проверьте, не удается ли получить что-нибудь лучшее.

УПРАЖНЕНИЕ 4.21. Существует некоторый произвол в выборе скорости, с которой уменьшается область в доказательствах.

Что произойдет, если вы возьмете δn = δ0n−αn с α > 0?

Что произойдет при δn = δ0n−α, α > 1 или δn = δ0n−1(log n)−α,

α > 1?

√

5 − 1

УПРАЖНЕНИЕ 4.22. Зафиксируйте a = exp 2πi и рассмотрите

2

fN (z) = az + zN .

Какова асимптотика радиуса Зигеля при N → ∞?

УПРАЖНЕНИЕ 4.23. В классическом методе Ньютона мы пользуемся тем, что если производная D2T (a, Id) обратима, то D2T (f, h) обратима, когда (f, h) находятся в окрестности (a Id) и, кроме того, норма обратного отображения ограничена.

Мы можем попытаться применить те же идеи, которые использовались в доказательстве того, что в классическом случае условие обрати-

мости производной выполняется на открытом множестве (A + B)−1 =

(−BA−1)i (ряд в правой части иногда называется рядом фон

i=0

Неймана) для решения уравнения

f ◦ h − ◦ a = −R

с помощью итерации решения

Попробуйте выполнить эту процедуру и решите, может ли она быть применена в качестве компонента в КАМ-доказательстве.

Насколько автор знает, этого нельзя добиться (за исключением случая, когда используются сокращения, аналогичные тем, которые использовались в квадратично сходящихся методах, или тем, которые использовались в прямых методах), но попытка сделать это позволит почувствовать признательность замечательному удобству, получаемому при использовании быстро сходящихся методов.