Введение в КАМ-теорию

Отметим, что, согласно теореме Дарбу, не существует локальных симплектических или объемных инвариантов (поэтому недавно созданная, но уже очень богатая теория симплектических инвариантов и препятствий существенно глобальна). Более того, из [Mos65] следует, что для сохраняющей объем геометрии на компактном многообразии единственным инвариантом является полный объем. Это является сильным отличием от римановой геометрии, где «theorema egregium»5 Гаусса показывает, что существуют локальные инварианты для изометрии6.

Особо важным для КАМ-теории является изучение точных преобразований. Они могут быть определены только на многообразиях, где ω является точной, т. е. на многообразиях, для которых

где q Tk , p Rk, поэтому M = Tk × Rk.

Более обще, если M = T N — кокасательное расслоение k-мерно- го многообразия N и π : T N → N — проекция, то можно определить θ внутренним образом как единственную 1-форму в T N со свойством

γ θ = γ

для всех 1-форм γ на N [AM78], предл. 3.2.11. (Здесь γ рассматривается как отображение из N в T N , удовлетворяющее π ◦ γ = Id, поэтому γ отображает 1-формы в пространстве T N в 1-формы в пространстве N .) Можно легко проверить, что это эквивалентно стандартному правилу выбора локальной тривиализации T N с координатами (p, q) и затем присвоения

k

θ = pi dqi. Нужно проверить, что определение не зависит от выбранной

i=1

системы координат.

Для отображений, сохраняющих объем, нашим основным примером

является

M = Tn−1 × R, θ = p dq1 · · · dqn−1,

5Теорема об инвариантности гауссовой кривизны при изгибании.

6Отметим, что условие dω = 0 является некоторого рода условием кривизны, поэтому, возможно, справедливее сравнивать симплектическую геометрию с каким-нибудь видом римановой геометрии плоских многообразий.

где (q1, . . . , qn−1) Tn−1, p R. Отметим, что заданные ω, θ определены с точностью до замкнутой формы.

Когда ω является точной (т. е ω = dθ), мы воспользуемся соотношением f d = df , чтобы для любого диффеоморфизма f , сохраняющего ω,

получить, что

d(f θ − θ) = 0.

Будем говорить, что диффеоморфизм f , сохраняющий ω, является точным,

После того как мы зафиксировали θ, S определяется с точностью до формы с нулевой внешней производной; в симплектическом случае это означает с точностью до константы.

Обратно, оказывается, что функция S в большой степени определяет диффеоморфизм. Если мы знаем S во всем многообразии и ограничение диффеоморфизма на некоторое лагранжево подмногообразие, то мы можем восстановить диффеоморфизм на все многообразие. (См. [Har99].)

На точных симплектических (или сохраняющих объем) многообразиях (ω = dθ) между точными семействами и гамильтоновыми потоками существует очень тесное взаимоотношение. Семейства точных диффеоморфизмов порождаются гамильтоновыми потоками, и наоборот.

Чтобы доказать первое утверждение, заметим, что если ft — гладкое семейство, то ft θ − θ = dSt и мы можем выбрать St гладкой по t. Если мы вычислим производные этого соотношения по t и введем векторное поле Ft,

Следовательно, мы приходим к заключению, что семейство точных отображений порождается гамильтоновым потоком с гамильтонианом, определенным формулой

Для точного симплектического случая последняя формула имеет вид

Обратное доказывается вполне аналогичным вычислением. Отметим, что если заданы Ht и точный диффеоморфизм f0, сохраняющий ω, с начальной первообразной S0 и ft порождается гамильтоновым потоком Ht, то деформация ft также является точной и первообразная St удовлетворяет дифференциальному уравнению

Отметим, что препятствием для точности симплектического или сохраняющего объем диффеоморфизма f является класс когомологий с вещественными коэффициентами формы f θ − θ. Например, в рассматриваемом ранее отображении

f (q, p) = (q, p + a),

где a — постоянный n-вектор, имеем

k

f θ1 − θ1 = ai dqi,

i=1

f θn−1 − θn−1 = a dq1 · · · dqn−1.

В этом случае можно увидеть, что когомологическое препятствие исчезает тогда и только тогда, когда поток, который мы рассматривали в определении 2.1, равен нулю.

Если f — диффеоморфизм, близкий к тождественному в Cr (r = = 1, 2, . . . , ∞) топологии, то несложно показать для M в качестве примера, что существует точное семейство векторных полей, интерполирующих тождественное отображение.

Это также может быть доказано для аналитических функций, однако это весьма нетривиально. См. [KP94].

Причину, почему точность играет важную роль в КАМ-теории, можно понять, рассматривая следующий простой пример (упомянутый ранее) в R × T:

f (p, q) = (p + ε, q + p), f n(p, q) = (p + nε, q + np),

который не допускает никаких квазипериодических орбит при ε = 0 (все орбиты уходят на бесконечность).

Очень важным следствием для нас в дальнейшем послужит то, что если мы выберем функцию, соответственно (n − 1)-форму, γ и построим векторное поле в виде

v = Iω dγ,

то сдвиг Φ1 вдоль векторного поля на время, равное единице, является точным. Это является удобным способом получения преобразований, близких к тождественному.

Поскольку коммутаторы векторных полей являются составными частями вариационных уравнений, то весьма интересно исследовать, как коммутаторы взаимодействуют с геометрическими структурами (сохраняющими объем и симплектические формы).

Напомним, что коммутатор двух векторных полей можно рассматривать как коммутатор векторных полей, рассматриваемых как дифференциальные операторы. Т. е. коммутатор C1-гладких векторных полей определяется по формуле

когда мы рассматриваем векторные поля как дифференциальные операторы первого порядка в многообразии без края. (Несколько удивительно, но, несомненно, правильно, что коммутатор является оператором первого порядка, правая часть (3.47) выглядит как оператор второго порядка!) Коммутатор также можно определить как

[X, Y ] = lim t−2(Y−t ◦ X−t ◦ Yt ◦ Xt − Id),

t→0

где Xt обозначает поток, порожденный X, и аналогично для Y . Здесь мы выбирали аддитивные обозначения вместо более геометрических для обозначения сравнений.

Следующий известный результат связывает коммутаторы с геометрией. Мы следуем работе [BdlLW96].

Лемма 3.21. Пусть ω — как и ранее, невырожденная замкнутая фор-

ма.

(i)Если X, Y — локально-гамильтоновы векторные поля, то [X, Y ] — глобально-гамильтоново векторное поле с гамильтонианом iY (iX ω) = = ω(X, Y ).

(ii)Если H является гамильтонианом X и Y локально-гамильтоново, то −LY H является гамильтонианом для [X, Y ].

(iii)Если F является гамильтонианом Y и X локально-гамильтоново, тогда LX F является гамильтонианом [X, Y ].

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала вспомним тождества LX dα = dLX α и

i[X,Y ]α = LX iY α − iY LX α,

которые верны для каждой m-формы α и векторных полей X и Y . Также отметим, что локально-гамильтоново векторное поле X удовлетворяет равенству

LX ω = 0,

что легко следует из «магической формулы» Картана (3.39). Чтобы доказать (i), вычислим

i[X,Y ]ω = LX iY ω − iY LX ω = LX iY ω =

=iX d iY ω + d iX iY ω = d iX iY ω =

=d(ω(Y, X)) = −d(ω(X, Y )).

Для доказательства (ii) мы знаем, что iX ω = −dH, и используем (i):

−d(−LY H) = LY (dH) = −LY iX ω = −iY d iX ω − d iY iX ω = = iY d(dH) − d(ω(X, Y )) = i[X,Y ]ω.

Доказательство (iii) аналогично доказательству (ii): из iY ω = −dF мы получаем

−d(LX F ) = −LX (dF ) = LX iY ω = i[X,Y ]ω.

Пусть X и Y — гамильтоновы векторные поля с гамильтонианами H и F соответственно (т. е. iX ω = −dH, iY ω = −dF ). Скобка Пуассона H и F определяется как

атакже формула {H, F } = LY H.

Вкоординатном представлении,

Используя (3.50), можно легко проверить, что скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби,

{H, {F, G}} + {F, {G, H}} + {G, {H, F }} = 0.

Отсюда, а также из линейности и антисимметричности скобки Пуассона получаем, что функции на фазовом пространстве динамических систем со скобкой Пуассона образуют алгебру Ли. Более того, скобка Пуассона является дифференцированием этой алгебры Ли.

Это означает:

Из свойства (ii) (или (iii)) леммы 3.21 следует, что гамильтоново векторное поле, соответствующее {H, F }, равно −[X, Y ]:

i[X,Y ] = d{H, F }.

Это означает, что отображение из функций на фазовом пространстве в их гамильтоновы векторные поля (т. е. H → X такое, что iX ω = −dH) является морфизмом алгебр Ли (Ли-алгебраическими операциями, соответственно, являются скобка Пуассона и коммутатор векторных полей).

Отметим, что LX F означает производную Ли от F вдоль потока X и, аналогично, LY H — производная Ли от H вдоль потока Y .

Ввиду вышеприведенных тождеств

LX F = −LY H.

Это означает, что производная некоторой функции Гамильтона вдоль гамильтонова потока, соответствующего другому гамильтониану, равна с переменой знака функции, полученной в результате перемены ролей. Это несколько удивительное свойство гамильтоновых систем.

На вышеприведенные вычисления можно посмотреть, имея в виду, что точные преобразования являются группой и что векторные поля Iω dγ являются алгеброй Ли. (В старомодных обозначениях векторные поля вида Iω dγ назывались «бесконечно малыми преобразованиями» или, ввиду того, что «бесконечно малый» является несколько вульгарным словом в некоторых кругах, «преобразованиями, близкими к тождественному».)

К сожалению, даже если эта точка зрения эвристически корректна, с ней также связаны некоторые проблемы. Во первых, композиция преобразований не является дифференцируемой операцией в почти любом точном смысле. Действительно, заметим, что f ◦ (g + Δ) − f ◦ g ≈ f ◦ g , поэтому

производная композиции должна быть произведением на f ◦ g. Следовательно, если мы рассмотрим композицию на пространстве, таком как Cr , Λδ и т. д., то f ◦ g может не принадлежать этому пространству; если мы рассматриваем Cr+α-пространства, то композиция даже не является непрерывной!

Более важно, экспонента алгебры Ли не покрывает открытой окрестности единичного элемента. Т. е. в любой произвольно малой окрестности единицы в Λδ существуют точные отображения, которые не могут быть записаны как сдвиги вдоль дифференцируемого векторного поля на время, равное единице.

Еще одна важная геометрическая структура, которая играет роль в КАМ-теории, — это так называемые обратимые системы. Они возникают в любой прикладной задаче, в которой время может быть «обращено вспять» (т. е. если γ(t) является траекторией, тогда γ(T − t) — также траектория). Это происходит в механических задачах без трения или в электрических цепях без сопротивлений и в других задачах. Примеры обратимых систем также возникают в конечномерных усечениях задач механики жидкости при отсутствии вязкости. В общем случае физические задачи, в которых отсутствует диссипация, часто являются обратимыми. Когда системы не являются механическими, нет причин, по которым мы также должны иметь симплектическую структуру. В частности, на примере электрических цепей можно найти интересные примеры с нечетными размерностями.

Отображение A называется обратимым, когда существует инволюция R (т. е. R2 = Id), для которой A−1 = R−1AR, т. е. A сопряжено посредством R со своим обратным.

Поскольку R−1 = R, вышеприведенное условие может быть выражено в виде A−1 = RAR = RAR−1. Отметим также, что обратимость влечет, что S = AR является инволюцией. Следовательно, A является произведением двух инволюций, A = SR. Можно также проверить, что произведение двух инволюций является обратимым относительно любой из них, поэтому можно точно также определить обратимое отображение как произведение двух инволюций, даже если это скрывает физическую интерпретацию и происхождение термина.

Иногда не требуют, чтобы R была инволюцией. Эти системы иногда называются слабо обратимыми. Для КАМ-теории нужна лишь слабая обратимость. (В действительности, во многих случаях, когда применима КАМ-теория, мы можем использовать КАМ-теорию, чтобы показать, что системы фактически являются обратимыми.)

Для потоков определение аналогично: поток ft является обратимым, если существует инволюция R такая, что R−1ftR = ft−1 = f−t. Вычисляя

производные, мы получаем условие обратимости в терминах векторного поля Ft, порождающего поток: R Ft = −Ft.

Очень важным примером обратимой системы является механическая система без трения, чьи силы зависят только от положений частиц. Если мы обратим скорости и оставим положения теми же, система будет двигаться в обратном направлении. Следовательно, мы можем взять R(x, v) = (x, −v). Очевидно, R является инволюцией. Обратимым отображениям в последнее время уделяется большое внимание в контексте статистической механики, поскольку многие слегка диссипативные модели обратимы. Эта обратимость приводит к поразительным следствиям, таким как правила спаривания для показателей Ляпунова. Некоторые приложения к статистической механике и ссылки см. в [BCP98].

Хорошими общими обзорами обратимых систем являются [Sev86] и [AS86], а недавние открытия в КАМ-теории для обратимых систем приведены в [Sev98].

3.6. Каноническая теория возмущений

Целью теории возмущений является понимание динамики «возмущенной» системы, которая близка к другой хорошо известной системе. Обычно эти хорошо известные системы выбираются среди «интегрируемых» систем, но это не является необходимым. Как мы увидим в дальнейших доказательствах КАМ-теоремы, иногда мы выбираем в качестве невозмущенной системы систему особого рода, которая обладает интересным свойством. В случае интегрируемой системы свойством, интересным для изучения, являются квазипериодические орбиты.

Наиболее наивный подход к теории возмущений заключается в получении решений в виде степенных рядов по параметру возмущения. Т. е. если мы имеем векторное поле

Xε = X0 + εX1 + ε2X2 + · · · ,

мы пытаемся найти решения

x˙ ε = Xε(xε), xε(0) = a(ε),

полагая

xε(t) = x0(t) + εx1(t) + . . . ,

(3.52)

a(ε) = a0 + εa1 + ε2a2 + . . . ,

подставляя их в уравнение и решая его.

. . .

При условии, что Xε является аналитическим по ε и по своему аргументу, Коши показал, что этот ряд является сходящимся (но до этого ряд регулярно использовался Ньютоном).

Отметим, что все уравнения в иерархии имеют вид

x˙ n − DX0(x0)xn = Rn, xn(0) = an,

где Rn — полиномиальное выражение, содержащее только члены x0, . . . , xn−1 и (известные!) производные от Xi.

Несмотря на свое старинное происхождение и теоремы сходимости этот метод имеет свои недостатки.

Легко проверить, что, взяв задачу Коши второго порядка x¨ε = −(1 + 2ε + ε2)xε, xε(0) = 1, x˙ ε(0) = 0,

мы получим решение в виде

x0(t) = cos t, x1(t) = −t sin t,

x2(t) = −t2 cos t,

· · ·

Этот ряд действительно сходится к правильному решению xε(t) = cos((1 + + ε)t), как и следовало ожидать (оно является целым по ε и по t), но если оборвать ряд, то можно увидеть, что полученное таким образом приближенное решение расходится. Действительно, чем больше слагаемых содержится в приближенном решении, тем сильнее расхождение. С другой стороны, истинное решение всегда остается ограниченным.

Следовательно, эти ряды не могут служить для предсказания долговременного поведения, даже в тех чрезвычайно благоприятных примерах, где функция является линейной, а решения целыми. Разумеется, при рассмотрении других более сложных нелинейных задач может возникнуть лишь еще худшая ситуация.

Когда вышеописанный феномен проявился при исследовании Солнечной системы, то это явление вызывало испуг у исследователей и неустойчивость Солнечной системы была подтверждена до всех порядков в теории возмущений. Члены со степенями по t становятся доминантными при значениях t порядка столетий, из-за чего им было присвоено название «вековые» члены (помимо других вещей, на латыни «saeculum» означает столетие).

Более тщательное изучение доказательства сходимости и приводящих к нему качественных оценок показывает, что этой теории возмущений до порядка n нельзя доверять за исключением тех случаев, когда εnt 1. Для нецелых возмущений не следует использовать этот наивный метод возмущений за исключением тех случаев, когда εt 1. (К счастью, мы будем использовать некоторые более эффективные методы, которые дают информацию о поведении возмущенных систем в течение долгих промежутков времени.)

Ряды Линдштедта, с которыми мы встречались в параграфе 2.1, возникли с целью получить такой тип возмущенных рядов, которые всегда являются периодическими или квазипериодическими (т. е. не содержат вековых членов).

Намного более эффективный метод выяснения долговременного поведения системы заключается в следующем.

Мы пытаемся найти преобразования gε такие, что

Этот метод не ограничен на гамильтоновы системы. Действительно, в книге [BM61], имевшей очень большое влияние, приводится множество приложений к негамильтоновым системам (там также можно найти примеры рядов Линдштедта для диссипативных систем).

Однако этот метод очень хорошо подходит для гамильтоновых систем, поскольку при этом очень легко следить за семействами преобразований гамильтоновых систем и векторных полей.

В случае, когда gε являются каноническими преобразованиями и Xε — гамильтоновы векторные поля (т. е. iXε ω = dHε), как мы видели в (3.40), уравнение (3.54) сводится к

Следует подчеркнуть, что, в отличие от более элементарного «векового метода», справедливость этого метода ограничена не длиной орбиты, а возможностью выхода орбиты за пределы области, в которой определено преобразование gε.