Введение в КАМ-теорию

Уравнение, полученное при приравнивании слагаемых с ε1, имеет вид:

Поскольку V (θ) dθ = 0, то (2.15) допускает формальное решение. (Снова

0

где Sn — это некоторое выражение, содержащее лишь производные V и ранее вычисленные величины. Следующее равенство верно (но ни в коем случае не очевидно):

1

0

поэтому мы можем решить (2.17) и продолжать вычисление ряда до любого порядка (когда ω — иррациональное число и S — тригонометрический многочлен или когда ω удовлетворяет диофантову условию (см. ниже) и S — аналитическая функция). То, что равенство (2.18) выполнено, было указано уже во втором томе работы [Poi93].

Мы получим равенство (2.18) непосредственно, с помощью, казалось бы, загадочных вычислений, смысл которых станет ясным при изучении геометрии задачи. (Мы надеемся, что после изучения этих запутанных вычислений вы почувствуете расположение к геометрическим методам. Подобные вычисления будут проводится также в параграфе 6.3.)

ЗАМЕЧАНИЕ 2.3. Обращение в нуль этого интеграла имеет геометрическую интерпретацию. Можно вычислить поток через кривую в гамильтоно-

вом формализме, построенном по [ε n](θ). Равенство нулю потока эквивалентно обращению в нуль интеграла.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.4. Обратите внимание на довольно замечательный факт, что для каждой иррациональной частоты мы можем найти формальное решение (при полиномиальном возмущении), или для диофантовых частот при аналитических возмущениях. Эвристически, это можно объяснить тем фактом, что в сохраняющих площадь системах не существует малых членов системы, управляющих долговременным поведением (как для диссипативных систем), и, следовательно, возмущения по-прежнему оставляют много возможностей для движений системы.

При применении метода Линдштедта к диссипативным системам, [RA87], как правило, получаем, что, за исключением нескольких частот, возмущенные уравнения не имеют решения.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.5. Метод Линдштедта может использоваться для диссипативных систем [RA87]. (Тексты программ, удобных в использовании и

написанных для общего случая, доступны в [RA92].) В этом случае рассматриваем

Tε ◦ Kε(θ) = Kε(θ + ωε),

где ωε = εnωn. Нужно выбрать ω0, . . . , ωn так, чтобы уравнения (2.17) имели решения. Это практический и легко реализуемый метод вычисления предельных циклов.

УПРАЖНЕНИЕ 2.6. Покажите, что если V — тригонометрический многочлен, то ln — также тригонометрический многочлен. Кроме того, deg(ln)An + B, где A и B — константы, которые зависят только от степени V .

порядка.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.7. Вышеупомянутую процедуру можно использовать даже в случае, когда функция V (x) равна e2πix.

В этом случае мы получаем так называемое полустандартное отображение. Можно легко показать, что тригонометрические многочлены, которые появляются в ряде, содержат лишь слагаемые с положительными частотами. В этом случае слагаемые в ряде Линдштедта легче анализировать, чем в случае V (x) = e2πix + e−2πix. Действительно, аналитические свойства слагаемых ряда для V (x) = e2πix очень похожи на свойства слагаемых в задаче нормализации для многочлена.

Численные исследования этих задач см. в [GP81]; в [Dav94] приведены значения для строгих верхних границ радиуса сходимости, и в [BM95], [BG99] описан метод перехода от комплексного случая к вещественному.

Сходимость полученных разложений в ряды на этом этапе проводимых нами исследований остается весьма проблематичной. Обратите внимание, что на каждом этапе в (2.17) возникает проблема малых знаменателей. Еще хуже то, что Sn образуются с помощью перемножения выражений, полученных при решении уравнений для малых знаменателей. Следовательно, Sn может быть намного больше, чем отдельные члены.

Пуанкаре предпринял в параграфе 148 книги [Poi93] исследование сходимости этого ряда. Он получил отрицательные результаты для равномерной сходимости по параметру, при изменении которого также изменялась частота. Приведенное им заключение следующее (я привожу французский текст как пример чрезвычайно тонкого высказывания, в котором Пуанкаре

сформулировал свой результат). Грубо говоря, в тексте сказано, что можно сделать вывод, что ряд не сходится, затем он указывает, что это не было доказано строго и что имеются случаи, которые могут остаться открытыми, включая квадратичные иррациональные числа. В заключение говорится, что даже если расходимость и не была доказана, она маловероятна.

Il semble donc permis de conclure que les series (2) ne convergent pas.

Toutefois le raisonement qui prec´ede` ne suffit pas pour etablir´ ce point avec une rigueur complete´.

En effect, ce que nous avons demontr´e´ au no 42 c’est qu’il ne peut pas arriver que, pour toutes les valeurs de μ inferieurs a une certaine limite, il y ait une double infinite´ de solutions periodiques,´ et il nous suffirait ici que cette double infinite´ existaitˆ pour une valeur de μ determinee,´ different de 0 et gen´eralment´ tres´ petite.

[....]

Ne peut-il pas arriver que les series (2) convergent´ quand on donne aux x0i certaines valeurs convenablement choisies?

Supposons, pour simplifier, qu’il y ait deux degrees de liberte;´ les series ne pourraient-elles pas, par exl, converger quand x01 et x02 ont

et´e´ choisis de telle sorte que le rapport n1 soit incommensurable, et n2

que son carre´ soit au contraire commensurable. (ou quand le rapport

n1 est assujetti a´ une autre condition analogue a` celle que je viens n2

d’ennoncer un peu au hassard)?

Les raisonnements de ce Chapitre ne me permettent pas d’affirmer que ce fait ne se presentera´ pas. Tout ce qu’il m’est permis de dire, cest qu’il es fort inversemblable.

Это высказывание является замечательным предвидением, поскольку ряд действительно сходится для диофантовых чисел, в частности для алгебраических иррациональных чисел (см. параграф 3.3, теорема 3.6).

Легко показать, что для диофантовых частот эти ряды удовлетворяют оценкам, которых недостаточно для доказательства аналитичности

где ν — положительное число. Эти оценки иногда называют оценками Жевре, и они очень часто появляются в асимптотическом анализе.

Нетрудно построить примеры (действительно, мы представим один такой пример в упражнении 4.23), которые имеют подобную структуру, и при

этом линеаризованное уравнение, которое мы должны решать на каждом шаге, будет удовлетворять подобным оценкам. Однако для них оценки (2.23) являются наилучшими. Действительно, во многих внешне подобных задачах с очень схожей структурой (например, нормальная форма Биркгофа вблизи неподвижной точки, нормальные формы вблизи тора, ростки центральных многообразий) оценки (2.23) являются наилучшими. Мы не будем заниматься обсуждением таких задач в этом руководстве.

Доказательство сходимости рядов Линдштедта было получено в [Mos67] в качестве побочного результата. Благодаря использованию КАМ-теории, показано, что решения, полученные с помощью КАМ-теории, являются аналитическими по параметру возмущения. Из этого следует, что коэффициенты разложения должны быть слагаемыми ряда Линдштедта и, поэтому, ряды Линдштедта являются сходящимися.

Пример в упражнении 4.23 показывает, что сходимость в КАМ-теории зависит от наличия массовых взаимных сокращений слагаемых.

Непосредственное изучение рядов Линдштедта было успешно проведено в [Eli96]. Необходимо наличие значительных взаимных сокращений слагаемых. В работах [Gal94b] и [CF94] предлагается другое объяснение природы этих взаимных сокращений слагаемых, которое связывает их с методами квантовой теории поля.

Отметим, что преобразования, которые приводят отображение к его нормальной форме Биркгофа вблизи неподвижной точки или вблизи тора, являются расходящимися, что известно в течение долгого времени. (См. [Sie54], [Mos60].)

Примеры расходимости асимптотических рядов были построены в [Poi93]. Чтобы подтвердить их полезность, наблюдаемую опытным путем, в той же самой работе развита теория асимптотических рядов, которая имеет большую ценность даже сегодня.

Следует отметить, что во время написания этого руководства сходимость рядов Линдштедта в несколько отличающихся ситуациях (торы меньшей размерности [JdlLZ99] или струи центральных многообразий положи- тельно-определенных систем [Mie91], стр. 39) по-прежнему не доказана.

2.2. Теорема Зигеля

Рассмотрим интересный пример, в котором геометрия сведена к минимуму и остаются лишь аналитические трудности. Не удивительно, что именно этот пример является первой задачей, решенной при наличии малых знаменателей [Sie42], хотя использованные при этом методы весьма отличались от методов КАМ-теории. (Мы не будем обсуждать оригинальную технику Зигеля, отметим только, что, кроме его работы, имеются со-

временные изложения и обобщения данной задачи: [Brj71], [Pos86]¨.) Эта задача является модельной как для КАМ-теории, так и для голоморфной динамики, но в этих лекциях мы будем обсуждать только КАМ-теорию. Очень хорошим введением в задачи, связанные с теоремой Зигеля, включающим в себя вопросы и КАМ-теории, и голоморфной динамики, может служить работа [Her87]. Имеются и более новые работы: [PM92], [Yoc95]. Лекции [Mar00] содержат большой объем материала, касающегося задачи Зигеля.

Рассмотрим аналитическое отображение f : C → C, f (z) = az + N (z), где N (0) = 0, N (0) = 0. Нас будет интересовать динамика этого отображения вблизи начала координат.

Если |a| = 1, то легко показать, что динамика совпадает с динамикой az с точностью до аналитической замены координат. Говоря более точно, существует отображение h : U C → C, h(0) = 0, h (0) = 1 такое, что в окрестности начала координат справедливо равенство

Доказательство для случая |a| > 1 получается следующим образом (для доказательства случая 0 < |a| < 1 нужно использовать отображение f −1 вместо отображения f ).

Мы будем искать неподвижную точку отображения h → f ◦ h ◦ a−1 в пространстве функций вида h(z) = z + Δ(z) с Δ(z) = O(z2).

То есть мы ищем неподвижные точки оператора

T (Δ) = a ◦ a−1 + N ◦ (Id +Δ) ◦ a−1.

Заметим, что на пространстве функций с нормой r = sup |Δ(z)/z2|

|z| r

при достаточно малых r оператор T является сжимающим. В этом случае T r(0) сходится равномерно на шаре, и этот предел является аналитической функцией.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.8. Заметим, что приведенные рассуждения без какихлибо существенных изменений переносятся на случай, когда f : Cd → Cd и a является матрицей, все собственные значения которой по модулю меньше единицы. Очень похожий результат для потоков получил Пуанкаре в своей диссертации [Poi78] методом мажорант. (Напомним, что таких понятий, как банахово пространство, тогда еще не существовало и доказательства, связанные с неподвижными точками, были невозможны.) Метод работы [Poi78] без существенных трудностей переносится на случай приведенной выше теоремы. Случай, когда все собственные числа по модулю меньше единицы, иногда называют случаем Пуанкаре.

28 ВВЕДЕНИЕ В КАМ-ТЕОРИЮ

Теперь нам остается разобрать случай, когда |a| = 1.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.9. Существует красивое доказательство, придуманное Йоккозом [Her87], которое, основываясь на случае |a| < 1, с помощью теории функций комплексного переменного позволяет распространить сопряжения для |a| < 1 на множество положительной меры с |a| = 1. Используя некоторые элементы этого доказательства, можно построить очень быстрый алгоритм, вычисляющий так называемый радиус Зигеля. (См. определение в предложении 2.13.)

Другое остроумное доказательство частного случая теоремы Зигеля, основанное на методе из работы [Her86], содержится в [dlL83]. Этот метод может быть применен к различным одномерным задачам.

Метод, использованный в [Sie42], был улучшен и обобщен в [Brj71], [Brj72].

Мы не будем обсуждать здесь упомянутые доказательства, так как, по сравнению с идеями КАМ-теории, которые имеет широкий круг приложений, они представляются весьма ограниченными.

Для комплексной динамики типичным является очень малое количество возможностей для динамики. Это либо очень неустойчивое (хаотичное) движение, либо жесткое вращение (с точностью до замены переменных).

Типичной для голоморфных задач динамики является ситуация, когда движение либо очень неустойчиво, либо фазовый поток движется как твердое тело.

Мы докажем более общее утверждение.

Лемма 2.10. Пусть функция f : Cd → Cd — аналитическая в окрестности начала координат, и

f (0) = 0, Df (0) = A,

где A — диагональная матрица, все собственные числа которой по модулю равны единице (следовательно, A−n = 1 n Z).

Предположим, что существуют область U , 0 U и постоянная K > 0 такие, что для всех n N

Тогда существует аналитическая функция h : U → Cd такая, что h(0) = = 0,

Разумеется, по теореме о неявной функции, решение (2.26) влечет за собой существование решения (2.24) (h в (2.24) является обратной к h в (2.26)).

Заметим также, что, ввиду неравенств Коши, из предположения (2.25) следует, что |Df n(0)| K , таким образом, все собственные значения лежат в единичном круге, а тем из них, которые лежат на единичной окружности, соответствуют одномерные жордановы клетки. Если же считать, что предположение (2.25) выполнено для n Z, а не n N, то тем самым мы предполагаем, что матрица A диагональна и все ее собственные числа лежат на единичной окружности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим

Из неравенств (2.28) вытекает, что h(n), ограниченные на U , являются нормальным семейством, и, следовательно, мы можем найти подпоследовательность, которая сходится к функции h равномерно на компактных мно-

жествах. Используя (2.27), получаем h(0) = 0, h (0) = 1.

Заметим также, что поскольку |f n(z)| ограничена ввиду (2.25) независимо от значения n, а z ограничено, так как z U , то из этого следует, что последовательность

n1 [A−(n+1)f n+1(z) − z]

сходится к нулю при n → ∞ равномерно на любом компактном подмножестве, содержащемся в U . Таким образом, переходя к пределу при n → ∞ в (2.29), мы получаем h ◦ f = A ◦ h.

УПРАЖНЕНИЕ 2.11. Покажите, что область U можно считать односвязной. (Говоря неформально, но наглядно, если область U имеет дыры, то мы

всегда можем рассмотреть U , которая получается из U заполнением этих дыр. Из принципа максимума модуля следует, что f n равномерно ограни-

чена на U .)