3.2. Давление газа на стенку. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Стенки сосуда, в котором заключен газ, испытывают непрерывные соударения со стороны молекул газа. В результате этих ударов на стенку действует сила, обусловливающая давление газа. Это давление можно легко рассчитать, сделав предположение, что все молекулы имеют среднюю скорость движения. Для расчета необходимо определить силу, с которой действует на стенку одна молекула при ударе и затем умножить на число молекул, ударяющихся о единичную площадку в единицу времени. Поскольку удар молекул о стенку абсолютно упругий, он происходит по закону зеркального отражения, рис. 1. Скорость молекулы при ударе по абсолютной величине не изменяется, а проекция V_хменяется на противоположную. Согласно второму закону Ньютона сила,cкоторой одна молекула будет действовать на стенку

сосуда будет равна изменению импульса частицы:

f_1х = m(dV_x/dt) = 2mV_x/dt . (5)

За время dtо площадку площадьюSударятся молекулы из объемаdv=Sdl=SV_хdt. Если концентрация молекул газа равнаn, то число таких молекул будет

dN= (1/2)ndv= (1/2)nSV_xdt. (6)

Множитель (1/2) поставлен постольку, поскольку в сторону стенки (в силу равно вероятности всех направлений) летит половина всех молекул.

Для определения давления газа на стеку осталось посчитать суммарную силу, действующую на площадку S, то есть умножить силуf_1х(5) на число ударовdN(6) и поделить эту силу на площадьS. При этом надо предположить, что все молекулы имеют некоторую среднюю скоростьV_{х ср}:

р = [(2mV_{x ср}/dt) (1/2)nSV_{x ср}dt]/S=nmV_x² _ср. (7)

Поскольку все направления движения равновероятны, можно считать, что:

V_x² _ср=V_у² _ср=V_z² _ср. (8)

Учитывая (8) и то, что

V² _ср=V_x² _ср+V_у² _ср+V_z² _ср= 3V_x² _ср(9)

выражение для давления (7) можно переписать:

р = nmV_x² _ср=(nmV² _ср)/3. (10)

Или, учитывая, что (mV² _ср)2 = Е_{к ср}– средняя кинетическая энергия молекулы

р = (nmV² _ср)/3 = (2/3)nЕ_{к ср}. (11)

Уравнения (10), (11) связывают макроскопический параметр – давление с микроскопическими: массой молекулы, концентрацией молекул и их средним квадратом скорости (концентрацией молекул и их средней кинетической энергией). Уравнение носит название основного уравнения молекулярно-кинетической теории газа.

Сопоставляя (11) и уравнение состояния идеального газа в виде p=nkTможно заключить, что

Е_{к ср}= (3/2)kT. (12)

Считая, что молекула имеет три степени свободы поступательного движения (х, у и z), исходя из (12) говорят, что на каждую степень свободы поступательного движения молекулы приходится средняя кинетическая энергия, пропорциональная термодинамической температуре

Е_{к ср}= (1/2)kT, (13)

где коэффициентом пропорциональности является постоянная Больцмана – k

Соотношение (12) всегда справедливо для одноатомных молекул. Если молекула состоит из двух или более атомов, свой вклад в среднюю энергию могут давать вращательные (поkT/2) иколебательные(поkT) степени свободы и в общем случае справедливо уравнение:

Е_{к ср}= (i/2)kT, (12)

где i– общее число степеней свободы молекулы. Однако свой вклад вращательные и колебательные степени свободы дают только при высоких температурах.