7.2. Уравнение Бернулли и его следствия

Вернемся к рассмотренной трубке тока и проследим за положением частиц в сечениях S₁и S₂через промежуток времени ∆t(рис. 7.3). Запишем

закон сохранения энергии для объема жидкости, ограниченной трубкой тока в первоначальном положении сеченийS₁иS₂и их положением через время ∆t. Заметим, что энергия частиц трубки тока, ограниченная сечениямиS₁иS₂(выделенный на рис. 7.3 объем) не изменилась, поэтому нас будет интересовать разность энергий объемов между сечениямиS₁-S₁иS₂-S₂. Энергия каждого из этих объемов

складывается из кинетической и потенциальной энергий. Обозначим высоту первого объема относительно некоторого уровня за h₁а второго заh₂. Тогда изменение энергии ∆Eрассматриваемых объемов будет:

∆E=E₂–E₁= (E_р2+E_k2) – (E_р1+E_k1). (7.3)

Учитывая обозначения рис. 7.3 и то, что в силу закона непрерывности V₁=V₂=Vможно записать, (учитывая, чтоm=V, где– плотность жидкости):

E₁ = (m₁v₁²)/2 + m₁gh₁ = (Vv₁²)/2 + Vgh₁. (7.4)

E₂ = (m₂v₂²)/2 + m₂gh₂ = (Vv₂²)/2 + Vgh₂. (7.5)

Е = V{gh₂+ (v₂²)/2} –V{gh₁+ (v₁²)/2}. (7.6)

Т.к. силы давления на боковые поверхности трубки тока перпендикулярны скорости и работы не совершают, изменение энергии должно равняться работе, совершаемой силами давления на сечениях S₁иS₂:

A = F₁∆ℓ₁ – F₂∆ℓ₂ = р₁S₁∆ℓ₁ – р₂S₂∆ℓ₂ = V(р₁ – р₂) (7.7)

Приравнивая (6) и (7) после сокращения на V, получим:

gh₂+ (v₂²)/2 –gh₁– (v₁²)/2 =р₁– р₂, (7.8)

или после разделения слагаемых, относящихся к разным сечениям:

gh₁+ (v₁²)/2 + р₁=gh₂+ (v₂²)/2 + р₂, (7.9)

Поскольку сечения были выбраны произвольно, то в общем случае можно сформулировать уравнение Бернуллиследующим образом:в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока величина gh + (v²)/2 + р остается постоянной:

gh+ (v²)/2 + р =const. (7.10)

Это уравнение связывает изменение давления с изменением скорости течения и геометрической высотой и представляет собой закон сохранения энергии для объема жидкости. р – называется гидростатическим давлением, (v²)/2 –гидродинамическим давлениемаgh–гидравлическим давлением. Тогда уравнение Бернулли модно сформулировать так:сумма давлений гидравлического, гидродинамического и гидростатического вдоль линии тока стационарно текущей идеальной жидкости остается постоянной.Несмотря на то, что это уравнение было получено для идеальной жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей и газов, внутреннее трение в которых не очень велико.

7.3. Следствия уравнения Бернулли

7.3.1. Горизонтальная струя жидкости

Уравнение (7.9) для горизонтальной струи примет вид

(v₁²)/2 + р₁= (v₂²)/2 + р₂, (7.11)

т. е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше, что качественно вытекало из уравнения непрерывности. Уменьшение давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного (пароструйного) насоса (пуливилизатора), рис. 7.4.

Струя жидкости с большой скоростью подается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе из трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому жидкость течет с большей скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое же давление устанавливается и в охватывающей трубку камере насоса, которая сообщается с трубкой через разрыв, имеющийся в узкой части трубки. Подсоединив к камере насоса откачиваемый объем, из него можно откачать воздух до давления порядка 100 мм рт. ст. Откачиваемый воздух захватывается струей жидкости и уносится в атмосферу.

Если в качестве движущейся среды взять воздух, а разрыв сужения трубкой соединить с сосудом с жидкостью, то получится пуливилизатор, разбрызгивающий жидкость. Уравнение Бернулли объясняет «притягивание» плывущими большегрузными судами плывущих рядом легких судов, аэрацию (рис. 7.5) почвы и ряд других явлений. Аэрация почвы возникает в результате «обдувания» ветром боровков почвы на полях. Скорость ветра в понижениях боровков меньше, чем у вершин и следовательно давление больше. В результате воздух проникает в почву, разрыхляя ее и насыщая кислородом.