Глава 4. Механика твердого тела

4.1. Кинематика твердого тела

Твердым телом(абсолютно твердым телом) называют тело, деформациями которого можно пренебречь. Другими словами расстояние между любыми двумя точками твердого тела не меняется.

Движение твердого тела может быть поступательнымивращательным.

При поступательном движении твердого тела прямая, соединяющая любые две точки тела, остается параллельна себе, рис.4.1, а. Очевидно, что в этом случае все точки тела за одинаковые промежутки времени получат одинаковые по величине и направлению перемещения. Таким образом, скорости и ускорения всех точек будут одинаковы. В этом случае, что бы полностью охарактеризовать движение твердого тела достаточно определить закон движения одной точки, например центра масс.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, которая называется осью вращения(рис. 4.1, б), и в общем случае может проходить через тело или находиться вне его. Для описания вращательного движения необходимо задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость (для всех точек тела они одинаковы) в каждый момент времени.

Рис. 4.1. Рис. 4.2.

Любое произвольное плоское движение твердого тела можно представить как суперпозицию двух вышеперечисленных. Например перемещение тела из положения 1 в положение 2, рис. 4.2 можно представить как поворот вокруг оси Ов положение 1на уголи перемещение в положение 2 или поворот вокруг оси Ов положение 1с последующим перемещением в положение 2. Таких способов может быть бесконечное множество, однако угол поворота во всех случаях будет одинаков и равен.

Рис. 4.3 . Рис. 4.4.

Таким образом, элементарное перемещение можно записать:

ds=ds_п+ds_вр(4.1)

Для скорости получим:

V=ds/dt=ds_п/dt+ds_вр/dt=V_п+V_вр=V_п+ [r], (4.2)

где V_п– одинакова для всех точек, аV_вр– зависит от расстояния до оси вращения. Здесь учтено, что связь скорости вращательного движения с угловой аналогична рассмотренной ранее.

Представление сложного движения тела можно осуществить множеством способов. Например качение цилиндра по плоскости можно рассматривать как поступательное движение центра О со скоростью V₀и вращение вокруг оси, проходящей через этот центр с угловой скоростью. Или как одно только вращательное движение с той же угловой скоростьювокруг оси О, рис. 4.3. Точка Оявляется мгновенной осью вращения тела и положение ее в данном случае меняется со временем.

2. Кинетическая энергия при вращательном движении. Момент инерции тела

Рассмотрим некоторое тело массы m, вращающееся вокруг неподвижной оси О-O. Мысленно разделим его на точечные массы (частицы)m_i, каждая из которых находится на некотором расстоянииr_iот оси вращения, рис. 4.4. Если угловая скорость всех точек одинакова и равна, то линейные скорости их будут зависеть от расстояния до оси вращенияV_i=r_i, и для кинетической энергии каждой частицы можно записать:

E_к_i = (m_i V_i²)/2 = (m_i ( r_i)²)/2 = (()²/2) m_ir_i² . (4.3)

Для определения полной кинетической энергии тела надо выражение (3) просуммировать по всем точкам:

E_к = E_к_i =  (m_iV_i²)/2 =  (()²/2) m_ir_i² = (²/2) m_ir_i² (4.4)

Суммаm_ir_i²играет в динамике вращательного движения твердых тел ту же роль, что масса в динамике материальной точки, поэтом она имеет свое название –момент инерции телаотносительно данной оси вращения – и свое обозначение:

I=m_ir_i². (4.5)

Или более точно, при переходе к пределу при разделении тела на число точек:

I=r²dv, (4.6)

где – плотность тела,dv– элемент объема, а интегрирование ведется по всему объему тела.

Моменты инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через ось симметрии приведены в таблице (R– радиусы кольца, диска и шара,l– дина стержня).