1.5. Ускорение

Скорость материальной точки, также как и ее положение, может изменяться во времени как по величине, так и по направлению. Скорость изменения любой физической величины характеризуется производной. Скорость изменения скорости называется ускорением, которое будем обозначать буквой а. Таким образом, ускорение будет равно производной скорости по времени:

a = lim V/t = dV/dt = d²r/dt² . (1.25)

t 0

В последнем равенстве учтено, что скорость является производной радиус-вектора, т.е. ускорение является второй производной rпо времени. Как видно, ускорение играет по отношению к скорости туже роль, что скорость по отношению к радиус-вектору.

Для проекций ускорения на оси координат можно записать:

a_x=dV_x/dt=d²x/dt²,a_y=dV_y/dt=d²y/dt²,a_z=dV_z/dt=d²z/dt²,. (1.26)

а само ускорение и его модуль будут:

а= а_xe_x+ а_ye_y+ а_ze_z, . (1.27)

Ускорение можно представить и другим способом. Как отмечалось ранее, любой вектор можно представит через его единичный вектор, умноженный на модуль. Поскольку направление скорости совпадает с направлением касательной к траектории V=Ve_v=V. Тогда для ускорения получим:

a =dV/dt=d(V)/dt= (dV/dt) + V(d/dt) =a_+a_n, (1.28)

где a_= (dV/dt)– тангенциальное ускорение, которое направлено по касательной к траектории и по величине ранво скорости изменения модуля скорости, аa_n=V(d/dt) – нормальное ускорение. Как было показано ранее, производная единичного вектора – это вектор, направленный перпендикулярно (нормально) к исходному и по модулю равный скорости его вращенияd/dt.

d/dt = (d/dt) e_ = (d/dt) e_n (1.29)

Найдем теперь модуль a_n. Согласно (1.29) и учитывая, чтоdможно выразить через радиус окружности, касательной в данной точке к траектории и скорость:d=ds/R=Vdt/R(Рис. 1.8)

a_n= V d/dt = V (Vdt/R)/dt = V²/R. (1.30)

Модуль полного ускорения в этом случае запишется:

(1.31)

Необходимо отметить, что нормальное ускорение согласно (1.30) при одинаковом модуле скорости будет тем больше, чем меньше радиус окружности касательной к траектории в данной точке. При равномерном движении по окружности нормальное ускорение будет направлено к центру окружности. Ускоренное движение по прямой будет иметь только тангенциальную составляющую.

По аналогии с перемещением и скоростью можно записать:

t₂

V₁₂=a(t)dt(1.32)

t₁

1.6. Кинематика вращательного движения

Для придания общности физическим законам, связанным с вращательным движением, поворот на некоторый угол изображают в виде отрезка, направленного по правилу буравчика вдоль оси вращения и имеющего длину равную. Подобные величины носят название псевдовекторных величин (в отличие от векторов они не складываются по правилу параллелограмма).

Величина

=lim/t=d/dt(1.33)

t0

называется угловой скоростью материальной точки, направлена вдоль оси вращения, а ее направление определяется направлением вращения по

правилу буравчика и она также является псевдо-вектором (рис. 1.9). Модуль угловой скорости, как следует из (1.33.) равенd/dt. Вращение с постоянной скоростью называется равномерным, в этом случае=d/dt=const,=t.

Угловая скорость показывает на какой угол совершается поворот в единицу времени. Такое движение можно характеризовать временем, за которое совершается один полный оборот – Т, называется периодом вращения и частотой – v – показывающей сколько оборотов совершается в единицу времени:

v = 1/Т,= 2/Т = 2v. (1.34)

Угловая скорость может меняться как за счет изменения скорости вращения, так и за счет изменения поворота оси вращения. Изменение угловой скорости характеризуется величиной, которую называют угловым ускорением:

 = lim/t=d/dt(1.35)

t 0

Угловое ускорение тоже является псевдовектором (рис 1.9, б).

Для вращающегося тела все точки имеют одну и туже угловую скорость и угловое ускорение. Линейные же скорости и ускорения для различных точек зависят от расстояния Rданной точки до оси вращения:

V=R,a_=R. (1.36)