3.2. Кинетическая энергия

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы.Уравнение движения для нее (второй закон Ньютона):

mdV/dt=F, (3.1)

где F– результирующая сил, действующих начастицу. Умножив левую часть уравнения (3.1) наVdt, а правую – наds(перемещение частицыds=Vdt), получим:

mV(dV/dt)dt= mVdV = md(V²/2) = d(mV²/2) = Fds. (3.2)

Если система замкнута, то есть F=0, тоd(mV²/2) = 0, а величина (mV²/2)остается постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы и обозначается Е_к (или Т).

Е_к = mV²/2 (3.3)

В случае изолированной системы кинетическая энергиячастицысохраняется. Кинетическую энергию частицы можно записать через ее импульс (р =mV):

Е_к = mV²/2 =m mV²/2m=m²V²/2m=p²/2m(3.4)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия неостается постоянной. В этом случае согласно (3.2) приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds (ds – перемещение частицы за время dt). Величина Fds называется работой, совершаемой силой F на пути ds. В общем случае обозначается буквой А, в данном случае – на пути ds – dA:

dA = Fds. (3.5)

Таким образом, работа характеризует изменение энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу.

Найдем приращение кинетической энергии (3.2) на некотором участке пути от точки 1 до точки 2:

2 2

d(mV²/2) = (mV₂²)/2– (mV₁²)/2 = Е_к2– Е_к1=Fds. (3.6)

1 1

Левая часть уравнения представляет собой разность значений кинетической энергии в точках 2 и 1 (приращение кинетической энергии на пути 12). Правая часть уравнения (3.6):

2

А=Fds (3.7)

1

есть работа силы Fна пути 12. Для определенности иногда будем обозначать эту работу как А₁₂(перемещение из точки 1 в точку 2)

Итак, работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы:

А₁₂= Е_к2–Е_к1. (3.8)

Из (3.8) следует, что энергия имеет такую же размерность как и работа.

3.3. Работа

Рассмотрим величину, называемую работой, более подробно. Выражение (3.5) является скалярным произведением и может быть записано в виде:

dA = Fds = Fds cos  = F ds = ds_F, (3.9)

где – угол между направлением силы и перемещения частицы, F_s – проекция силы на направление перемещения, ds_F – проекция перемещения на направление силы. Если сила и направление перемещения образуют острый угол (cos>0), работа положительна. Если угол–тупой (cos <0), работа отрицательна. При =/2 работа равна нулю. Последнееобстоятельство особенно отчетливо показывает, что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представленияо работе. В обыденном понимании всякое усилие, в частности мускульное напряжение, всегда сопровождается совершением работы. Например, для того чтобы держать тяжелый груз, стоя неподвижно, а тем более для того, чтобы перенести этот груз даже по горизонтальному пути, несущий затрачивает много усилий, то есть в обычном понимании «совершает работу». Однако работа как механическая (физическая) величина в этих случаях равна нулю.

Рассмотрим график проекции силы Fна направление перемещения s как функцию положения частицы на траектории, рис. 3.1. Из рисунка видно, что элементарная работа dA = F_sds численно равна площади выделенной полоски, а работа А на пути 12 будетчисленно равна площади под кривой F_s(s) между точками 1 и 2.

Эту закономерность можно применить для нахождения работы, совершаемой при деформации пружины, подчиняющейся закону Гука.

Начнем с растяжения пружины. При медленном растяжении внешняя силаF_вн, растягивающая пружину равна и противоположнаупругой силе пружины F_упри если ось х направить по оси пружины (рис. 3.2), будет выполняться:

F_{х вн} = – F_{х упр} = kx, (3.10)

где х – удлинение пружины,k–ее жесткость. Из рисунка видно, что работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение х, равна площади затененного треугольника: А = (kх²)/2. (3.11)

При сжатии пружины на величину х совершается такая же по величине и знаку работа, как и при растяжении на величину х. Проекция силы F_{х вн} в этом случае отрицательна, значения dx – тоже отрицательно, вследствие чего их произведение положительно.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Если за времяdtсовершается работаdA, то мощность будет:

P = dA/dt = (Fds)/dt = (FVdt)/dt = FV. (3.12)

В системе СИ единицей работы является джоуль(Дж), который равен работе, совершаемой силой в 1 Н на пути в 1 м. Единицей мощности является ватт (Вт), равный джоулю в секунду (Дж/с).