Глава 3. Элементарная молекулярно кинетическая теория газов

3.1. Характер теплового движения молекул. Распределение Максвелла по скоростям молекул

При равновесии газа его молекулы движутся беспорядочно, хаотически меняя направления движения и скорости после каждого соударения. Всенаправления движения равновероятны, а скорости могут быть самыми различными по величине. После каждого удара скорость молекулы может как увеличиться, так и уменьшиться. Может случиться, что после каждого удара скорость молекулы будет увеличиваться, и ее значение значительно превысит среднее значение. Но даже если все молекулы передадут ей свою кинетическую энергию, она останется конечной. Таким образом, скорости молекул могут быть распределены от 0 до некоторой максимальной скоростиV_max. Учитывая, что процессы, приводящие к постоянному возрастанию скорости маловероятны, следует ожидать, что молекул со скоростями, значительно превышающими среднюю, будет немного. Аналогично предположить, что немного будет и молекул, обладающих нулевой скоростью, так как для этого она должна претерпеть лобовой удар с покоящейся молекулой. Из сказанного следует, что скорости молекул

Рис. 1.

должны группироваться около некоторого наиболее вероятного значения V_вер, рис. 1. Поскольку строго заданную скоростьVможет не иметь ни одна из молекул, по осиYоткладывается число молекулN, имеющих скорости отVдоV+V.

N/V = [m/(2kT)]^3/2 exp[–(mV²)/(2kT)] 4V² (1)

Максимум распределения приходится на скорость V_вер, около которой имеют скорости наибольшее число молекул. Она равна

V_вер=(2kT)/m. (2)

Среднее значение V_срсоставляет

V_ср=(8kT)/(m). (3)

В различные уравнения часто входит так называемая средняя квадратичная скорость V_{ср кв}=V²_ср, которая равна

V_{ср кв}=(8kT)/m. (4)

Между скоростями выполняется следующее соотношение:

V_вер:V_ср:V_{ср кв}=2 :8/=3 = 1 : 1,13 : 1,22.

То, что V_ср>V_верможно объяснить тем, если даже справа от максимума молекул столько же, сколько слева, скорости их больше. Общее число молекулNопределяется площадью под кривой.

При увеличении температуры в соответствии с (2) максимум распределения будет смещаться вправо, в область более высоких скоростей, при этом величина Nбудет меньше, так как суммарная площадь под кривой должна остаться равной общему числу молекул. Поскольку масса молекулы стоит в знаменателе (2), зависимость от нее будет обратной: с увеличением массы максимум будет смещаться в область низкий скоростей, и число молекулNпри этом будет увеличиваться.

Средняя скорость молекул кислорода, определенная согласно (3) при комнатной температуре составляет приблизительно 500 м/с. Молекулы водорода, имеющие массу в 16 раз меньше, будут иметь скорость в 4 раза больше, то есть 2000 м/с.

8,1 70,7% 16,6 4,6% 0,04%

% %

0 0,5 1 1,5 2 3 5 8 10^-9%V/V_вер

Относительное число молекул имеющие различные скорости представлено на рис. 2.

Рис.2.