2.3. Идеальный газ

2.3.1. Уравнение состояния идеального газа

Идеальным газомназывается газ, взаимодействием между молекулами которого можно пренебречь. Это условие будет выполняться при небольших плотностях газа, то есть при разряжении. Наиболее близки к идеальному газу при обычных условиях гелий и водород, мало отличаются от идеального газа также воздух, азот и кислород.

Состояние определенной масса идеального газа определяется значениями трех параметров: давления р, объема V, и температуры Т и хорошо описывается уравнением:

рV/T=const, (6)

которое и является уравнением его состояния.

Если в уравнении (6) для одного моля газа при нормальных условиях обозначить постоянную за R, то получим:

рV_м=RT. (7)

Постоянная Rносит названиегазовой постояннойи на основании (7) учитывая, что при нормальных условиях р = 1 атм = 1,0110⁵Па и Т = 0С, получаетсяR= 8,31 Дж/(мольК).

От моля газа легко перейти к произвольной массе газа m, учитывая, что эта масса имеет вvраз отличающийся от моля объем –V(v=V/V_м=m/M, где М – молярная масса газа):

рV=vRT= (m/M)RT. (8)

Уравнение (8) носит название уравнения Клайперона-Менделеева.

Если ввести новую постоянную

k=R/N_А, (9)

(N_А– число Авогадро), называемую постоянной Больцмана, уравнению (8) можно придать вид:

рV=vRT=v(N_А/N_А)RT= (vN_А)kT=NkT. (10)

В уравнении (10) учтено, что vN_А=N– число молекул составляющих массу газаm. Если теперь в уравнении (10) рV=NkTобе части поделить на объемVи учесть, что (N/V) =n– концентрация молекул (число молекул в единице объема), получим еще одну формулу, выражающую уравнение состояния идеального газа:

p= (N/V)kT=nkT. (11)

Таким образом, мы получили три формы записи (8), (10) и (11) уравнения состояния идеального газа.

Из уравнения (3) можно выразить плотность газа:

=m/V= (Mp)/RT, (12)

откуда следует, что плотность газа пропорциональна давлению и обратно пропорциональна температуре.

Уравнение состояния идеального газа, дающее простую связь температуры с остальными параметрами, позволяет использовать его для установления идеальной газовой шкалы температур. В качестве газа в этом случае принято брать водород.

2.3.2. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа

Внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией молекул и зависит только от температуры:

U=BT, (13)

где В – коэффициент пропорциональности.

Теплоемкость тела(С_тела) это величина, равная количеству тепла, которое нужно сообщить телу, что бы повысить его температуру на один градус. Измеряется в Дж/К. Для теплоемкости тела можно написать:

С_тела=dQ/dT. (14)

Теплоемкость моля вещества называют молярной теплоемкостью (С), измеряется в Дж/(моль К). Она связана с удельной теплоемкостью (с) для единицы массы вещества соотношением

С = с М. (15)

Далее будем рассматривать молярную теплоемкость и при необходимости определения, например, внутренней энергии для массы mнадо просто умножать рассматриваемую величину наv.

Величина теплоемкости зависит от условий, при которых проводится нагрев. Наиболее часто встречаются теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении, которые обозначаются соответственно С_Vи С_р.

В случае нагрева при постоянном объеме тело не совершает работы и, следовательно, согласно первому началу термодинамики (3), (3) все тепло идет на приращение внутренней энергии тела:

dQ_V=dU, (16)

откуда следует, что теплоемкость моля при постоянном объеме будет равна

С_V= (dU_м/dТ)_V. (17)

Если рассмотреть (13) для моля газа, то получится

U_м=C_VT. (18)

В случае нагрева при постоянном давлении газ будет расширяться, и совершать работу, следовательно, для его нагрева понадобится большая энергия. Из уравнения первого начала термодинамики (3), записанного для моля газа при постоянном давлении, получим

dQ_p=dU_м+pdV_м. (19)

После деления (19) на dТ получим для молярной теплоемкости при постоянном давлении

С_р=dU_м/dТ +p(dV_м/dТ)_р= С_V+p(dV_м/dТ)_р, (20)

поскольку согласно (12) (dU_м/dТ)_V= С_V. Значение (dV_м/dТ)_рможно найти, выразивVиз уравнения состояния моля идеального газа:V= (RT)/pи взяв производную по температуре:

(dV_м/dT)_p=R/p. (21)

Подставляя (16) в (15) окончательно получим

С_p= С_V+R. (22)

Откуда следует, что работа, которую совершает моль идеального газа при повышении его температуры на один градус, равна газовой постоянной R.

Отношение теплоемкостей

С_р/С_V== (С_V+R)/С_V= 1 +R/С_V. (23)

Представляет характерную для каждого газа величину.