3.5. Потенциальная энергия во внешнем поле сил тяжести Земли

В случае, когда работа сил поля не зависит от пути, а зависит лишь от начального и конечного положений частицы, каждой точке поля можно сопоставить значение некоторой функции Е_П(х,у,z) такой, что разность значений этой функции в точках 1 и 2 будет определять работу сил при переходе частицы из первой точки во вторую:

А₁₂= Е_П1– Е_П2. (3.17)

Это сопоставление можно осуществить следующим образом. Некоторой исходной точке 0 припишем произвольное значение функции, равное Е_П0. Для любой другой произвольной точки 1 примем:

Е_П1= Е₀+ А₁₀, (3.18)

где А₁₀–работа, совершаемая над частицей консервативными силами при перемещении частицы из точки 1 в точку 0. Поскольку работа не зависит от пути, определенное таким способом значение функции Е_П будет однозначным. Введенная таким образом функция Е_П имеет размерность работы (или энергии) и носит название потенциальной энергии.

Запишем аналогично потенциальную энергию для какой-либо точки 2:

Е_П2= Е_П0+ А₂₀. (3.19)

Если взять разность (3.19) и (3.18), и учитывая, что А₂₀= – А₀₂, получим:

Е_П1– Е_П2= А₁₀– А₂₀= А₁₀+ А₀₂= А₁₂, (3.20)

поскольку А₁₀+ А₀₂представляет работу по перемещению частицы из точки 1 в точку 2 через точку 0, но эта работа для консервативной силы не зависит от пути, поэтому можно записать просто А₁₂.

Таким образом, с помощью функции Е_П можно определять работу, совершаемую над частицей консервативными силами на любом пути, начинающемся в произвольной точке 1 и заканчивающемся в точке 2.

Итак мы показали, что если на частицу действуют только консервативные силы, работа, совершаемая над частицей на пути 1 – 2 может быть представлена в виде А₁₂= Е_П1– Е_П2 (3.18). С другой стороны, как было показано ранее (3.8) эта работа идет на приращение кинетической энергии частицы А₁₂= Е_К2–Е_К1. Сопоставляя эти два выражения, для А₁₂приходим к равенству

Е_П1– Е_П2= Е_К2–Е_К1или Е_К1+ Е_П1= Е_К2+ Е_П2. (3.21)

Полученный результат означает, что величина Е

Е = Е_К1+ Е_П1(3.22)

для частицы, находящейся в поле консервативных сил, остается постоянной, то есть является сохраняющейся величиной. Величина Е, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называетсяполной механической энергиейчастицы.

Поскольку в соответствии с (3.18) работа, совершаемая над частицей консервативными силами, равна убыли потенциальной энергии частицы, можно сказать, что работа совершается за счет запаса потенциальной энергии.

Из (3.18) также вытекает, что потенциальная энергия оказывается определенной с точностью до некоторой аддитивной постоянной Е_П0. Однако это обстоятельство не имеет принципиального значения, так как во все физические соотношения входит либо разность значений Е_П в двух точках, либо производная функции Е_П по координатам. Практически принимают за нуль потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении, а энергию в других положениях рассматривают по отношению к этой энергии.

Зная вид функции Е_П(x, y, z) можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля. Рассмотрим перемещение частицы параллельно оси х на dx. Такое перемещение сопровождается совершением над частицей работы, равнойdA=Fds=F_Xdx(компоненты перемещения dy и dz равны нулю). Согласно (3.18) эта работа может быть представлена как убыль потенциальной энергии: dA = –dE_П. Приравняв оба выражения для работы, получим, что

F_Xdx= –dE_П или F_X = –dE_П/dx, (y, z = const). (3.23)

Выражение, стоящее справа, представляет собой производную функцииЕ_П(x, y, z), вычисленную в предположении, что переменные y и z остаются неизменными, а изменяется лишь переменная х. Подобные производные называются частными и обозначаются, в отличие от обычныхпроизводных функций одной переменной, символом E_П/x. Следовательно, проекция силы на ось х равна взятой с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по переменной х. Аналогично рассуждая можно получить значения проекций сил на оси y и z:

F_Х = –E_П/x, F_Y = –E_П/y, F_Z = –E_П/z. (3.23)

Общее выражение для силы будет иметь вид:

F=F_xe_x+F_ye_y+F_ze_z= –(E_П/x e_x+E_П/y e_y+E_П/z.e_z). (3.24)

Вектор, имеющий компоненты /x, /y, /z, называется градиентом и показывает направление наибольшего изменения скалярной функции , обозначается grad:

grad  = (/x) e_x + (/y) e_y + (/z)e_z. (3.25)

Таким образом, для силы можно записать:

F= –gradE_П. (3.26)

В общем случае конкретный вид функции Е_П(x, y, z) зависит от характера силового поля. Ранее было показано (16), что для поля сил тяжести Земли работа не зависит от пути и выражается уравнениемА= mg(h₁– h₂). Сопоставляя это выражение с (18): А₁₂= Е_П1– Е_П2, можно сделать заключение, что потенциальная энергия поля силы тяжести Земли будет

Е_П=mgh, (3.27)

где h отсчитывается от произвольного уровня.

Начало отсчета потенциальной энергии можно выбирать произвольно. Поэтому Е_П может иметь отрицательные значения. Если, например, принять за нуль потенциальную энергию частицы, находящейся на поверхности Земли, то потенциальная энергия частицы, лежащей на дне ямы глубины Н будет равна Е_П=–mgН. Отметим, что кинетическая энергия не может быть отрицательной.

Закон сохранения полной механической энергии частицы (3.22) можно распространить на систему частиц: полная механическая энергия системы невзаимодействующих частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.

Можно также показать, что полная механическая энергия замкнутой системы, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.