3.4. Консервативные силы. Потенциальная энергия

Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что эта частица находится в поле сил. Так, например, частица вблизи поверхности Земли находится в поле сил тяжести: в каждой точке пространства на нее действует сила F_g=mg(например, если принять на рис. 3.3F=F_g= mg).

Если во всех точках поля силы, действующие на частицу, одинаковы по величине и направлению (F=const), поле называетсяоднородным.

В качестве второго примера рассмотрим заряженную частицу q, находящуюся в электрическом поле, возбуждаемом неподвижным точечным зарядом Q. Это поле характерно тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный заряд Q, а величина силызависит только от расстояния до этого центра: F = F(r). Поле сил, обладающее такими свойствами, называется центральным.

Поле, остающееся постоянным во времени, называют стационарным. Так, например, поле сил тяжести Земли будет являться однородным и стационарным.

Для стационарного поля может оказаться, что работа, совершаемая над частицей силами поля, зависит лишь от начального и конечного положений частицы и не зависит от пути, по которому перемещалась частица. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными. Из независимости работы консервативных сил от пути вытекает, что работа таких сил на замкнутом пути равна нулю. Чтобы доказать это, разобьем

Рис. 3.3. . Рис. 3.4.

переходит из произвольной точки 1 в произвольную точку 2 и путьII, по которому тело переходит из точки 2 в точку 1. (рис. 3.3). Работа на всем замкнутом пути равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков:

А = (А₁₂)_I+ (А₂₁)_II. (3.13

Очевидно, что работы (А₁₂)_IIи (А₂₁)_II.отличаются только знаком, поскольку изменение направления движения на обратное приводит к замене ds на –ds, вследствие чего значение интегралаFdsизменяет знак на обратный. Таким образом, равенство (3.13) можно записать в виде:

А = (А₁₂)_I–(А₁₂)_II. (3.14)

и, поскольку работа не зависит от пути, (А₁₂)_I=(А₁₂)_II. мы приходим к выводу, что А = 0. Из равенства нулю работы на замкнутом пути легко получить,что работа не зависит от пути. Это можно сделать, обратив ход проведенных выше рассуждений.Таким образом, консервативные силы можно определить двумя способами: во-первых, как силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое или, во-вторых, как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

В качестве примера докажем, что сила тяжести является консервативной. Эта сила в любой точке имеет одинаковую величину и одинаковое направление–вниз по вертикали (рис. 3.4.). Поэтому, независимо от того, по какому пути движется частица, работа А₁₂ работу можно вычислить согласно (3.7):

2 2 2 h2

А₁₂=Fds=Fds = Fds_F = –Fdh = –mg(h₂– h₁) = mg(h₁– h₂).(3.15)

1 1 1 h1

Здесь было учтено, что ds_F = dscos = –dh. Последнее выражение, очевидно, не зависит от пути, отсюда следует, что сила тяжести консервативна. Очевидно, что такой же результат будет для всякого стационарного однородного поля.

В тоже время ясно, что силы трения не являются консервативными:

dА = Fds = FVdt = – FVdt = – Fs < 0, (3.16)

то есть, элементарная работа будет отрицательной и, следовательно, работа на любом замкнутом пути также будет отрицательна.

Отметим, что поле консервативных сил является частным случаем потенциального силового поля. Поле сил называетсяпотенциальным, если его можно описать с помощью некоторой функцииU(x,y,z), называемой потенциальной энергией.