sopromat2

Q = Q + / − Q − / , равные сосредоточенным силам F1 = qa, VB =

z 0 z 0

8,278qa, F2 = 2qa, Vc = 13,722qa, взятым с соответствующими знаками.

В сечениях балки с координатами z = a2, a4 приложены пары сил с моментами М1, М2. На эпюре М в этих сечениях имеются «скачки»

моментам М1 = –10qa2, М2 = 20qa2 с учетом их знаков.

На участках балки, где распределенная нагрузка q равна 0, на эпюре Q функция Q(z) – постоянная величина, а на эпюре М функция M(z) – линейная функция; на участках балки, где распределенная нагрузка q – постоянная величина, на эпюре Q функция Q(z) – линейная функция, а на эпюре М функция M(z) – квадратная парабола.

Выпуклость нелинейной функции M(z) определяется знаком ее кривизны, то есть знаком второй производной d2M/dz2. На тех участках балки, на которых d2M/dz2 имеет знак «–», в системе координат yz выпуклость направлена к оси z .

Используя условие прочности по нормальным напряжениям (4), можно найти необходимый осевой момент инерции сечения балки на каждом участке:

Для определения момента сопротивления W необходимо найти осевой момент инерции Jx относительно главной центральной оси x поперечного сечения балки (нейтральной линии), а также расстояние ymax от нейтральной линии сечения до наиболее удаленного волокна.

Двутавровое поперечное сечение, представленное на рис.4, разбито на прямоугольники 1, 3, 5 и треугольники 2, 4, центры площадей которых обозначены буквами c1, c2, c3, c4, c5; центр площади двутавра обозначен буквой c. Системы координат ckxkyk – локальные (k = 1,2,…,5); система координат cxy – глобальная, общая для сечения. Символом ymax обозначено расстояние от нейтральной линии сечения

до наиболее удаленного волокна.

81

Определение геометрических характе-ристик двутаврового поперечного сече-ния, представленного на рис.4, для при-нятых соотношений между размерами элементов поперечного сечения по фор-мулам (3), выполнено в задании №3.

Площадь поперечного сечения: A = 0,173 h2. Статический момент Sx1 площади дву-тавра относительно оси х1: Sx1 =11,663 t3.

Рис.7. Разбивка двутавра на простейшие фигуры.

Расстояние yc от центра площади двутавра до оси х1: yc = 0,0674h

.Осевой момент инерции Jx двутавра относительно центральной оси х: Jx = 216,743t4 = 216,743 10-4 h4 . Расстояние ymax от нейтральной оси х до наиболее удаленного волокна балки: ymax = 0,567h.

Используя условие прочности (4) и допускаемое напряжение σadm = 30 МПа можно вычислить требуемую высоту поперечного сечения балки hk (k=I, II, III, IV) по участкам:

Высота поперечного сечения балки на втором и третьем участках мало отличается по величине, поэтому для дальнейших расчетов принято

hII = hIII = 0,268 м.

Далее необходимо проверить, удовлетворяет ли балка условиям жесткости.

2.2. Расчет балки на жесткость. Проверим, удовлетворяет ли балка, рассчитанная по условиям прочности, следующим условиям жесткости:

vadm = L/400 = 9/400 = 0,0225 м = 22,5 мм; θadm = 0,005 рад, где L – пролет балки; L = 9a = 9 м.

82

Уравнение упругой линии балки на втором участке:

где М1 – «скачок» изгибающего момента на границе между первым и вторым участками (при z = 1 м):

Q1 – «скачок» поперечной силы:

=4,883 103Н;

q1 – «скачок» распределенной нагрузки:

vI, ΔθI – «скачки» прогибов и углов поворота поперечных сечений балки на границе между первым и вторым участками.

В рассматриваемом примере упругая линия балки является непрерывной гладкой кривой, поэтому «скачки» прогибов и углов поворота поперечных сечений балки на границах между участками равны нулю, что учитывается в дальнейшем выводе.

На границе между первым и вторым участками vI = 0, ΔθI = 0. После подстановки в (12) числовых значений величин уравнение

упругой линии балки на втором участке получает вид:

84

Уравнение упругой линии балки на третьем участке:

= − 1,406 103 Н.м;

Q2 – «скачок» поперечной силы на границе между вторым и третьим участками (z = 3):

(qII = 0, qIII = q2 = 2qa = 4 кН/м).

После подстановки в (14) числовых значений величин уравнение упругой линии балки на третьем участке получает вид:

85

где vIII, ΔθIII – «скачки» прогибов и углов поворота на границе между третьим и четвёртым участками: ΔvIII = 0, ΔθIII = 0;

М3 – «скачок» изгибающего момента при z = 6:

–0,0786 21,776 103 = – 840 Н м; 1,118

Q3 – «скачок» поперечной силы:

= – 148 Н;

q3 – «скачок» распределенной нагрузки:

(qIII = q2 = 2qa = 4 кН/м; qIV = q3 = 3qa = 6 кН/м).

После подстановки в (16) числовых значений величин уравнение упругой линии на четвёртом участке получает вид:

После умножения левой и правой части (17) на EJ1 . 10-3 = 235,8 Н м2 запишем уравнение упругой линии балки на всей длине:

235,8 v=235,8v0+235,8θ0z + 2 z3 + 2 z4 +

624

86

где выражения в квадратных скобках используются только для z, превышающих указанное значение внизу правой скобки.

С использованием функции Хевисайда

уравнение (18) можно представить в виде:

Для отыскания числовых значений начальных параметров v0 и θ0 воспользуемся граничными условиями (11) и подставим в них выражение (20) изогнутой оси балки:

235,8v0 + 235,8θ0 = – 0,417;

(21)

87

+ 6561 − 1,406 49 − 0,281 2401 − 0,840 16 − 0,148 64 + 12 2 24 2 6

+ 0,091 256 = 16,364. 24

Разделив правую и левую части системы уравнений (21) на коэффициент при v0 , равный числу 235.8 , получим следующую линейную систему уравнений:

Решение этой системы уравнений дает значения начальных параметров v0, θ0:

v0 = – 9,675 . 10-3 м; θ0 = 7,908 . 10-3 рад.

Заменив в уравнении (20) начальные параметры v0 и θ0 полученными числовыми значениями, придем к окончательной форме уравнения упругой оси балки:

v = −9,675 10−3 + 7,908 10−3z + 4,241 10−3 {0,333z3 + 0,0833z4 −

− [1,394(z −1)2 + 0,814(z −1)3 + 0,0833(z −1)4 ] He(z −1) +

+ [0,420(z − 6)2 + 0,0247(z − 6)3 − 3,792 10−3(z − 6)4] He(z − 6)}.

Уравнение углов поворота сечений балки получается из (23) дифференцированием по z:

θ= − 3 + − 3 2 + 3 − 7,908 10 4,241 10 z 0,333z

− [2,788(z − 1) + 2,442(z − 1)2 + 0,333(z − 1)3] He(z − 1) +

88

+[0,840(z − 6) + 0,0741(z − 6)2 − 1,517 10− 2 (z − 6)3] He(z − 6)}

2.2.Построение эпюр прогибов и углов поворота поперечных сечений балки. Выбрав на оси балки ряд значений координат z1, z2, …, zn, по уравнениям (23), (24) вычисляем прогибы vk = v(zk), углы поворотов

сечений θk = θ(zk) и помещаем полученные значения в табл.2.

По данным табл.2 на рис.8 построены эпюры прогибов и углов поворота балки. Так как на рис. 3,а ось ординат направлена вниз, а на рис.8

– вверх, то для сохранения действительного направления прогибов балки v (z) на рис.8 знаки прогибов изменены на обратные.

Т а б л и ц а 2

Прогибы и углы поворотов сечений балки

Наибольшее значение прогиба vmax по абсолютной величине достигается при z 5 м и составляет 34,2 . 10-3 м = 34,2 мм .

Это значение превышает допускаемую величину vadm = 22,5 мм в 1,52 раза, поэтому размеры поперечного сечения балки должны быть

увеличены пропорционально числу nv:

nV = 4 vmax/vadm = 41,52 =1,11.

89