sopromat2

причем допускаемые напряжения не должны превосходить предела пропорциональности (σadm ≤ σpr) , то стержни подвески будут деформироваться в упругой стадии, следовательно, расчеты по допускаемым напряжениям – это расчеты по упругой стадии деформирования.

Системы на рис.2, 3 – один раз статически неопределимые, поскольку внешняя сила уравновешивается 4-мя продольными усилиями Nk в стержнях (k = 1, 2, 3, 4), а для плоской системы сил можно составить только 3 независимых уравнения статики

Одно из неизвестных усилий Nk является "лишним", поэтому для "раскрытия" статической неопределимости необходимо либо составить дополнительное уравнение совместности деформаций, либо применить методы, специально разработанные для расчета статически неопределимых систем. В примере расчета "раскрытие" статической неопределимости выполняется тремя способами: с использованием уравнения совместности перемещений (плана перемещений), методом сил и с помощью теоремы Кастильяно.

Пример расчета.

Абсолютно жесткий брус ВОС подвешен на 4-х деформируемых стальных стержнях 1, 2, 3, 4 к опорам (рис.1). Стержни соединены с брусом ВОС и с опорами конструктивными цилиндрическими шарнирами, расстояния между которыми по горизонтали a1 = 1м, а2 = 1,5м, а3 = 1,25м, а4 = 1,75м. Расстояния от шарниров В, С до опор H1 = 1м, H2 = 2м соответственно. Поперечные сечения стержней выбираются из числа профилей, показанных на рис. 11: а – кольцевое, б – коробчатое, в – сплошное круглое, г – сплошное квадратное. Соотношения между площадями поперечных сечений стержней заданы: А2/А1 = 1,20, А3/А1 = 1,50, А4/А1 = 1,70. На брус ВОС действует вертикальная сосредоточенная сила F = 200 кН, приложенная на расстоянии а5 = 4,5 м от шарнира В.

Система 1 раз статически неопределимая.

Требуется подобрать форму и размеры поперечных сечений деформируемых стержней расчетом по допускаемым напряжениям.

Влиянием собственного веса деформируемых стержней и жесткого бруса ВОС на напряженное состояние конструкции пренебрегаем.

3. Определение усилий в стержнях при использовании плана перемещений.

3.1. Уравнения равновесия. В дальнейшем потребуются следующие геометрические характеристики системы:

Три уравнения равновесия (2), (3), (4) содержат четыре неизвестных Nk, k = 1, 2, 3, 4 , поэтому для их определения необходимо рассмотреть деформации конструкции и составить еще одно уравнение – уравнение совместности перемещений. Уравнение совместности перемещений можно составить несколькими способами: путем непосредственного рассмотрения деформаций конструкции с использованием так называемого плана перемещений, используя метод сил, с помощью теоремы Кастильяно и др.

3.2. Уравнение совместности деформаций, соответствующее плану перемещений. Перемещения бруса ВОС под действием силы F обусловлены деформациями (удлинениями и укорочениями) стержней 1-4; эти деформации взаимно зависимы. Уравнение совместности деформаций (перемещений) выражает взаимную зависимость удлинений и укорочений стержней 1-4 при перемещениях бруса ВОС.

Рассмотрим одно из возможных перемещений бруса ВОС в плоскости чертежа – рис.5.

Известно, что плоское перемещение твердого тела можно осуществить поступательным перемещением и поворотом около произвольно выбранной в теле точки (полюса) параллельно заданной плоскости (плоскости чертежа).

Переместим брус ВОС поступательно в положение B2O1C2. При этом все точки бруса сместятся вдоль осей u, v на расстояния u0, v0 (на рис.5 положение B2O1C2 показано пунктиром). Возьмем в качестве полюса точку O1 и повернем брус по часовой стрелке на малый угол ϕ. Брус займет положение B1O1C1.

Ввиду малости угла ϕ траектории движения точек B2, j2, C2 при повороте бруса ВОС вокруг полюса O1 заменим отрезками соответствующих касательных к дугам траекторий. Тогда узлы B2, j2, C2 займут положения B1, j1, C1. Поворот бруса ВОС вокруг точки O1 на угол ϕ вызовет приращение горизонтального перемещения узла В:

123

Рис.5. План перемещений бруса ВОС (повернуто на 90°).

Полные перемещения узлов B, j, C в результате поступательного и вращательного движений абсолютно жесткого бруса ВОС можно определить суммированием горизонтальных и вертикальных составляющих:

124

Приравнивая выражения u0 из соотношений (17) и (9), получим уравнение совместности перемещений:

В последнем уравнении все члены поделены на коэффициент при l1.

3.3. Определение усилий в стержнях. Используя закон Гука

126

преобразуем уравнение совместности деформаций (18) к усилиям:

После умножения всех членов уравнения (20) на EA1/l1, подстановки заданных отношений площадей поперечных сечений стержней Ak/A1 (k = 2,3,4) и присоединения уравнений равновесия, придем к линейной алгебраической системе уравнений относительно усилий Nk:

Решив систему (21) одним из известных способов, найдем:

N1 = – 0,165F, N2 = – 0,195F, N3 = 0,875F, N4 = 0,705F. (22)

Из соотношений (22) вытекает, что стержни 1 и 2 сжаты.

Для проверки правильности определения усилий Nk (22) выберем уравнения равновесия, не использованные при составлении (21):

– сумму проекций всех сил, действующих на абсолютно жесткий брус, на вертикальную ось:

∑ Fy = N1 sinα1 +N2 sinα2 + N3 sinα3 + N4 sinα4 − F =

=– (0,165F). 0,707+(– 0,195F) . 0,8 + (0,875F) . 0,848 + (0,705F) . 0,753 – F =

=– 0,117F – 0,156F + 0,742F + 0,531F – F = 1,00021F – F = 2,1. 10-4F ≈ 0;(23)

–сумму проекций всех сил, действующих на абсолютно жесткий брус, на горизонтальную ось:

C учетом ошибок округлений при вычислениях можно принять значения Nk (k = 1, 2, 3, 4) по (22).

Таким образом, при F = 200 кН с учетом принятых направлений векторов на рис.4 усилия Nk получают значения:

N1 = – 32,8kH, N2 = – 39,2kH, N3 = 174,8kH, N4 = 141,2kH.

4. Определение усилий в стержнях статически неопределимой шарнирно-стержневой системы методом сил.

4.1. Метод сил для шарнирно-стержневой системы. В общем случае каноническая система метода сил для плоской конструкции имеет вид:

M j, Q j, N j – эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных

сил, обусловленные действием на основную систему единичной силы

X j = 1;

Mp , Qp , Np – эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных

сил, обусловленные действием заданной обобщенной силы Р = {q, F, M} на основную систему; Е, G – модули Юнга и сдвига; Jn, An – момент инерции и площадь поперечного сечения n-го стержня; kQ – коэффициент влияния формы поперечного сечения на сдвиговые деформации; ln – длина участка стержня, в пределах которого остаются неизменными внешние силы, поперечное сечение стержня и механические свойства материала.

Поскольку в стержнях шарнирно-стержневой системы отличны от нуля только продольные силы, причем в пределах участков интегрирования продольные силы имеют постоянное значение, каноническая система уравнений (25) упрощается.

Выберем в качестве "лишней" неизвестной продольную силу в 1-ом стержне: Х1 ≡ N1, а основную систему – по рис.7, отбросив 1-ый стержень.

128

Рис.7. Основная система.

Эквивалентная система (рис.8) получается из основной системы (рис.7) добавлением Х1 и F.

Рассекаем 1-ый стержень возле шарнира i и прикладываем две противоположно направленные силы Х1 и Х1 к шарниру и к сечению. Относительное (взаимное) перемещение сечения равно нулю, поэтому

1p – перемещение узла i в основной системе под действием заданной силы F по направлению стержня 1:

129

Рис.8. Эквивалентная система.

Nm – эпюры продольных сил в стержнях 1, 2, 3, 4 от единичной силы X1 = 1 в основной системе;

Nmp – эпюры продольных сил в стержнях 2, 3, 4 от заданной силы F в основной системе.

4.2. Определение усилий Nm в основной системе при действии

X1 = 1. Усилие в 1-ом стержне определяется непосредственно: N1=1. Для определения усилия N2 во 2-ом стержне составим сумму моментов всех сил, действующих на основную систему, относительно шарнира k:

∑M(k) = 0: 1r1k + N2 r2k = 0.

Опускаем перпендикуляр из шарнира k на направление 1-го стержня и получаем плечо r1k силы N1 относительно шарнира k (см. рис.8) :

r1k = (a2 + a3)sinα1 = (1,5 +1,25) 0,707 =1,944м.

Опускаем перпендикуляр из шарнира k на направление 2-го стержня и получаем плечо r2k силы N2 относительно шарнира k:

130