sopromat2

Как следует из табл.2, снижение массы конструкции за счет перехода от расчета на прочность по допускаемым напряжениям к расчету по предельным нагрузкам М = 136,63 – 90,56 = 46,07 кг.

Относительное снижение металлоемкости при замене расчетов по допускаемым напряжениям на расчеты по предельным нагрузкам составляет δM = М/M = 46,07/136,63 = 0,337 , т.е около 34 %.

Расчеты закончены.

162

Задание 9. Предельная несущая способность статически неопределимых балок.

1. Формулировка задачи. Для балок, расчетные схемы которых представлены на рис.1,а и рис. 1,б, методом предельного равновесия определить предельную несущую способность.

Рис.1,а. Расчетные схемы балок 1÷5 к Заданию № 9.

Балки на рис.1 один раз статически неопределимые. На балки действуют статически приложенные внешние силы – равномерно распределенные нагрузки интенсивностью q, сосредоточенные силы F,

163

пары сил с моментами M. Величины F, M выражаются через q следующим образом:

F1 = l1·q1 , F2 = l2·q1 , M1 = l12 q1, M2 = l22 q1, q2 = 2q1 .

Рис.1,б. Расчетные схемы балок 6÷0 к Заданию № 9.

Поперечные сечения балок имеют форму равнобокой трапеции с основаниями b1, b2 и высотой h, как показано на рисунке в Приложении 13. Модуль упругости материала балок E = 200 ГПа, предел текучести σy = 240 МПа, коэффициент запаса по пределу текучести ny = 1,5.

Исходные данные приведены в таблице 1.

Номер расчетной схемы и числовые значения исходных данных выбираются из табл.1 по коду из трех цифр n2n1n0, выданному препода-

164

вателем; n2 , n1 , n0 – три цифры кода студента: n2 – первая слева цифра, n1 – вторая слева цифра, n0 – последняя цифра кода.

Таблица 1 Исходные данные к определению несущей способности

статически неопределимых балок

2. Методика решения задачи.

В Строительных Нормах и Правилах (СНиП) метод предельного равновесия рекомендован для установления предельной несущей способности поперечных и наклонных сечений стержней из однородных и неоднородных материалов, имеющих различные механические свойства при растяжении и сжатии.

Ограничимся рассмотрением предельной несущей способности балок из однородных материалов, одинаково сопротивляющиеся растяжению и сжатию.

2.1. Предельный изгибающий момент в балках прямоугольного поперечного сечения. Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения на двух опорах под действием сосредоточенных (F) и равномерно распределенных нагрузок (q), а также сосредоточенных моментов (M). Будем считать, что q, F и M изменяются от нуля до своих конечных значений пропорционально одному параметру k (0 < k ≤ 1), то есть образуют обобщенную силу. Обозначим обобщенную силу буквой P: P =

165

{q, F, M}. Ось балки совместим с горизонтальной осью z. Примем ширину поперечного сечения балки равной b, а высоту – h. Нейтральную линию совместим с осью x , ось y направим вверх по оси симметрии сечения. Нормаль к поперечному сечению балки имеет направление, совпадающее с положительным направлением оси z.

При постепенном возрастании обобщенной силы P напряжения в некотором сечении (возможно, в нескольких сечениях) балки будут увеличиваться вплоть до предела текучести, а эпюра напряжений будет изменять свою форму, как показано на рис.2, переходя от стадии упругого деформирования (а) к стадиям упруго-пластического (б) и пластического

(в) деформирования.

Рис.2. Стадии напряженного состояния сечения балки.

Изгибающий момент в поперечном сечении балки в общем случае определяется формулой:

(A)

Далее предполагается, что балка изгибается выпуклостью вниз.

а). Стадия упругого деформирования. При чистом изгибе балки в плоскости симметрии на крайних гранях поперечных сечений возникают напряжения: σ+ на нижней грани и σ– на верхней. До тех пор, пока σ+ < σy и σ– > σy , где σy – предел текучести, максимальные напряжения можно определять по известной формуле сопротивления материалов σmax = Mּymax /J (M – изгибающий момент, J – осевой момент инерции сечения, ymax – расстояние от центральной оси до наиболее удаленного волокна сечения).

При некотором значении изгибающего момента Mel в волокнах крайних граней сечения напряжения будут равны пределу текучести, а в остальной части – меньше предела текучести (рис.2,а). Это значение изгибающего момента Mel называется предельным упругим изгибающим моментом и в случае балки прямоугольного поперечного сечения определяется формулой:

166

где W – упругий момент сопротивления: W = bh2 . 6

Далее будем полагать, что предельный упругий изгибающий момент Mel – это максимальный изгибающий момент в наиболее нагруженном сечении балки в упругой стадии работы материала.

б). Стадия упруго-пластического деформирования. При нарастании обобщенной силы P в волокнах средней части сечения балки высотой ζ (рис.2,б) будут действовать напряжения, не превосходящие предела текучести (σ ≤ σy), а в остальной части сечения напряжения достигнут предела текучести (σ = σy). Средняя часть сечения, в которой σ ≤ σy , называется упругим ядром сечения. В этой стадии изгибающий момент Me-p вычисляется следующим образом.

Равнодействующая напряжений половины упругого ядра Fel = σyζ/4, а остальной части половины сечения – Fy = σy (h-ζ)/2. Умножив силу Fel на плечо ζ/3 , а равнодействующую силу Fy на плечо (h+ζ)/4, и сложив результаты, найдем половину изгибающего момента Me-p, который может воспринять сечение.

Полный упруго-пластический изгибающий момент Me-p определяется формулой:

При ζ = 1 в состоянии пластичности находится только верхняя и нижняя грани сечения. При ζ = 0 в состоянии пластичности – все сечение. Выразим высоту упругого ядра через высоту сечения: ζ = mּh, где m ≤ 1. Тогда выражение (3) упруго-пластического изгибающего момента Me-p получит вид:

Кривизна изогнутой оси стержня κ = 1/ρ при чистом изгибе определяется высотой упругого ядра (ρ – радиус кривизны изогнутой оси балки):

где Jζ – осевой момент инерции упругого ядра, E – модуль Юнга материала, из которого изготовлена балка.

После подстановки в (5) Me-p по (4) и Jζ = bζ3/12 = m3bh3/12, получим:

167

Таблица 2 Отношение пластических и упругих изгибающих моментов для некоторых

форм поперечных сечений балок

Пластический момент сопротивления Wpl равен сумме статических моментов растянутой St и сжатой Sc зоны поперечного сечения относительно нейтральной оси, в каждой из которых напряжения равны пределу текучести: Wpl = St + Sc (см. Приложение 13).

2.2. Предельная несущая способность балок при изгибе. Несущая способность балки при изгибе будет исчерпана, как только балка потеряет геометрическую неизменяемость. Статически определимые балки теряют геометрическую неизменяемость при возникновении одного пластического шарнира, статически неопределимые – при возникновении нескольких пластических шарниров, число которых превышает степень статической неопределимости на единицу.

В расчетах предельной несущей способности балок используют те же способы, что и в расчетах шарнирно-стержневых систем, рассмотренные в Задании №8, а именно: способ упругих решений (последовательных догружений), кинематический и статический. Покажем на примерах, как используются способ упругих решений и кинематический способ определения предельной несущей способности балок.

3. Несущая способность однопролетной балки.

Рассмотрим однопролетную балку с левым защемленным и правым шарнирно-опертым концами, нагруженную равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, как показано на рис.3,а. Поперечное сечение балки – равнобокая трапеция.

Найдем допускаемые нагрузки qadm,el в упругом расчете и qadm,pl в пластическом расчете (по предельному равновесию). Осевой момент

инерции поперечного сечения балки – J, модуль упругости материала E. Сравним положение пластического шарнира в пролете балки в

предельном равновесии с положением наиболее напряженного сечения в упругой стадии ее работы.

169