sopromat2

– второй участок (а1 ≤ x < a2)

При определении внутренних усилий в сечениях балки на третьем и четвертом участках рассматривается правая часть балки, поэтому используется система координат с началом в точке С и осью x1, направленной справа налево.

Третий участок: (a4 – a3) ≤ x1 < (a4 – a2)

QIII = 2qx1 – 7,722qa; MIII = – q (x1 – 4a)2 – 0,278 qax1 + 12qa2. (20)

Четвёртый участок: 0 ≤ x1 < (a4 – a3)

QIV = 3qx1 – 13,722qa; MIV = −1,5qx12 +13,722qax1 − 20qa2. (21)

В формулах (18÷21): a1 = l1, a2 = l1 + l2, a3 = l1 + l2 + l3, a4 = l1 + l2 + l3 + l4. По выражениям (18),…,(21) слева и справа от границ участков

вычисляем значения Q, результаты сводим в табл.4.

Таблица 4

Ординаты эпюры поперечных сил Q

Рис.8. Поперечные силы в сечениях балки.

Выбираем масштаб сил: в 1 см – 2qa, кН, и строим график (эпюру Q) по точкам – рис.8.

61

В сечениях балки с координатами x = 0, а1, а3, а4 в исходной расчетной схеме приложены внешние сосредоточенные силы F1, VB, F2, Vc. На эпюре Q в указанных сечениях имеются «скачки» поперечной силы ΔQ

=Q x+0/ − Q x−0/ , равные сосредоточенным силам F1 = qa, VB = 8,278qa, F2

=2qa, Vc = 13,722qa, взятым с соответствующими знаками.

По выражениям (18),…,(21) слева и справа от границ участков, а также посредине участков, на которых функция изгибающих моментов M(x) является нелинейной, вычисляем значения изгибающего момента M(x), результаты сводим в табл.5.

Выбираем масштаб моментов: в 1 см – 5qa2, кН м, и строим график (эпюру М) по точкам – рис.9.

Таблица 5

Ординаты эпюры изгибающих моментов М

В сечениях балки с координатами x = a2, a4 приложены пары сил с моментами М1, М2. На эпюре М в этих сечениях имеются «скачки» изгибающего момента ΔM = M x+0/ − M x−0/ , равные сосредоточенным

моментам М1 = –10qa2, М2 = 20qa2 с учетом их знаков.

Рис.9. Изгибающие моменты в сечениях балки.

6. Геометрические характеристики сечений составных балок.

Вычислим геометрические характеристики трехъярусной составной балки из бревен на колодках, сечение которой представлено на рис.7.

Круговое сечение имеет следующие геометрические характеристики:

62

–площaдь A = πR2;

–моменты инерции: полярный Jp = 0,5πR4, осевые Jy = Jz = 0,25πR4 .

Для определения геометрических характеристик частей сечений круглых пиломатериалов используем формулы из Приложения 1, а также известные теоремы и формулы сопротивления материалов.

Согласно теореме о параллельном переносе осей координат главные центральные моменты инерции Jy вычисляют по формуле:

где Jyi - момент инерции каждой отдельной части составного сечения относительно собственной центральной оси yi, параллельной главной центральной оси всего сечения y; ai - расстояние между упомянутыми осями yi и y; Ai – площадь отдельной части составного сечения.

Координату zc центра площади составного сечения определяют по формуле:

где Syi – статические моменты площадей отдельных частей составного сечения относительно какой-либо оси y0, параллельной главной центральной оси всего сечения y; A – площадь всего составного сечения.

Ось симметрии сечения обязательно является его главной осью. Стеску бревен под колодки и отверстия под стяжные болты учтем с

помощью коэффициента сплошности kcont = 0,8.

Геометрические характеристики сечений верхнего яруса составной балки на рис.7 будем отмечать индексом “up”, среднего – “m”, нижнего – “dn”. При выполнении вычислений для каждого яруса индексами “1” и “2” будем отмечать величины, относящиеся к верхнему и нижнему отсеченным сегментам.

6.1. Геометрические характеристики сечений каждого яруса составной балки.

Верхний ярус

По формулам Приложения 1 к Практикуму для круга без двух сегментов при b1 = 12 см и δ2 = 4 см находим:

α1 = arcsin(b1/2R) = arcsin(12/22) = 0,577рад;

δ1 =R(1– cosα1) = 11(1– cos(0,577)) = 1,8см;

α2=arccos(1–δ2/R) = arccos(1–4/11) = 0,881 рад;

b2=2Rsinα2 = 2ּsin(0,88) = 17см.

Рис.10. Круг без двух сегментов.

Площадь сечения одного бревна верхнего яруса (рис.7):

63

=114[2·0,881– sin(2·0,881)+4sin3(0,881)cos(0,881)–64sin6(0,881) /(9(2·0,881–

–sin(2·0,881)))]/8 = 52,207 см4.

Главный центральный осевой момент инерции Jyc,up одного бревна верхнего яруса определяем по формулам Приложения 1 для круга без двух сегментов:

Jyc,up = 0,25πR4 + πR2z2c,up – Jyc,1 – A1(Rcosα1 – zc,up + zc,1)2 – Jyc,2 –

A2(Rcosα2 + zc,up + zc,2 )2 = 0,25·3,1432·114 + 3,1432·1120,8272 – 3,161 – 14,491(11cos(0,577) – 0,827 + 0,717)2 – 52,207 – 47,207(11cos(0,881) +

+ 0,827 + 1,628)2 = 6,281ּ103 см4.

Средний ярус

Величины, относящиеся к верхнему и нижнему отсеченным сегментам, для среднего яруса равны между собой, поэтому объем вычислений несколько сокращается.

δ1 = δ2 = 4 см; α1 = α2 = arccos(1– δ2/R) = arccos (1 – 4/11) = 0,881 рад;

b2 = 2Rsinα2 = 22sin(0,88) = 17 см.

Площадь сечения одного бревна среднего яруса:

Am = R2(π – 2α2 + sin2α2) = 112(3,1416 – 2·0,881+sin(1,762)) = 285,719 см2.

Расстояние zc,m между осями y0 и yc : zc,m = 0 см.

Координаты zc,1 и zc,2 центров площади отсеченных верхнего и нижнего сегментов определяем по формулам Приложения 1 для сегмента круга:

zc,1 = zc,2 = 4Rsin3α2/[3(2α2 – sin2α2)] – Rcosα2 = 4·11sin3(0,881)/ [3(2·0,881–

sin(2·0,881)] – 11cos(0,881) = 1,628 см.

Площади отсеченных верхнего и нижнего сегментов:

A1 = A2 = 0,5R2(2α2 – sin2α2) = 0,5(11)2(2·0,881– sin(2·0,881)) = 47,207 см2 .

65

Главные центральные осевые моменты инерции Jyc,1 и Jyc,2 отсеченных верхнего и нижнего сегментов определяем по формулам Приложения 1 для сегмента круга:

Jyc,1 = Jyc,2 = R4 [2α2 – sin2α2 + 4sin3α2cosα2 – 64sin6α2/(9(2α2 – sin2α2))]/8 =

=114[2·0,881–sin(2·0,881)+4sin3(0,881)·cos(0,881)–64sin6(0,881) /(9(2ּ0,881–

–sin(2·0,881)))]/8 = 52,207 см4 .

Главный центральный осевой момент инерции Jyc,m одного бревна среднего яруса определяем по формулам Приложения 1 для круга без двух сегментов:

Jyc,m = 0,25πR4 – 2Jyc,1 – 2A1(Rcosα1 + zc,1)2 = 0,25·3,1432·114 – 2·52,207 –

– 2·ּ4,292· (11cos(0,881) + 1,628)2 = 4,366·103 см4 .

Нижний ярус

Величины, относящиеся к верхнему отсеченному сегменту, для одного бревна нижнего яруса находим по формулам Приложения 1 для сегмента круга при δ1 = 4 см:

α1 = arccos (1 – δ1/R) = arccos (1–4/11) = 0,881 рад; b2 = 2Rsinα1 =

22sin(0,881) = 17 см.

zc1,dn = 4Rsin3α2/[3(2α1– sin2α1)] – Rcosα1 =4·11sin3(0,881) /[3(2·0,881–

– sin2 (0,881)] – 11cos (0,881) = 1,628 см.

A1,dn = 0,5R2(2α1 – sin2α1) = 0,5(11)2(2·0,881– sin(2·0,881)) = 47,207 см2 .

Jyc,1 = R4 [2α1 – sin2α1 + 4sin3α1cosα1 – 64sin6α1/(9(2α1 – sin2α1))]/8 =

= 114[2·0,881–sin(2·0,881)+4sin3(0,881)·cos(0,881)– 64sin6(0,881) /(9(2·0,881–

– sin(2·0,881)))]/8 = 52,207 см4 .

Расстояние zc,dn между осями y0 и yc определяем по формулам Приложения 1 для круга без двух сегментов при α2 = 0:

zc,dn = 4Rsin3α1 /[3(2π – 2α1 + sin2α1)] = 4·11sin3(0,881)/[3(6,2832 –

66

– 2·0,881+sin(1,762)] = 1,223 см.

Площадь сечения одного бревна нижнего яруса:

Adn = πR2 - A1,dn = 3,1432·112 - 47,207 = 333,12 см2 .

Главный центральный осевой момент инерции Jyc,dn одного бревна нижнего яруса определяем по формулам Приложения 1 для круга без двух сегментов при α2 = 0, A2 = 0 и Jyc,2 = 0:

Jyc,dn = 0,25πR4 + πR2z2c,dn – Jyc,1 – A1(Rcosα1 – zc,dn + zc,1)2 = 0,25·3,1432·114

+ 3,1432·112·1,2232 – 52,207 – 4,292(11cos(0,881) – 1,223 + 1,628)2 =

=1,178·104 см4 .

6.2.Геометрические характеристики всего сечения составной

балки по рис.7

Положение центра площади сечения определяется по формуле (23). Вычисляем cтатический момент Sy0 поперечного сечения по рис.7

относительно оси y0, проведенной через центр площади бревен среднего яруса, при h = 10 см, δ1 = 1,78 см, δ2 = 4 см, zc,up = 0,827 см, zc,m = 0, zc,dn = 1,223 см:

0,5Sy0 = πR2[2(R – δ2) +h] – A1,up(2(R – δ2) + h + R – δ1+ zc1,up) – A2,up(R– δ2 +

h – zc2,up) – πR2[2(R – δ2) +h] +A1,dn(R – δ2 + h-zc1,dn) = –A1,up(2(R – δ2) + h + R

–δ1+ zc1,up) – A2,up(R – δ2+h – zc2,up) +A1,dn(R – δ2 + h – zc1,dn) = –14,491·(2 (11 –

–4) + 10 + 11 – 1,78 + 0,717) – 47,207· (11 – 4 + 10 – 1,628) + 47,207· (11 –

4+10 – 1,628) = – 575,561 см3 ;

Sy0 = – 2·575,561 = – 1151,122 см3 .

Площадь всего составного сечения:

0,5A = Aup + Am + Adn = 318,435 + 285,719 + 332,926 = 936,154 см2 ;

A = 2·936,154 = 1872,308 см2 .

Координата zc центра площади сечения:

67

zc = Sy0/A = – 575,561/1872,308 = – 0,614 см.

Максимальные стaтические моменты верхней и нижней чaсти сечения относительно главной центральной оси yс всего составного сечения должны быть равны между собой, поэтому найдем стaтический момент Syc нижней чaсти сечения относительно оси yc. Предварительно вычислим стaтический момент Syc,m нижней чaсти сечения бревна среднего яруса относительно оси yc как разность стaтических моментов полукруга и сегмента, которыми можно представить эту часть сечения:

– координаты zc1,m и zc2,m центров площади:

δ3 = R–| zc| = 11 – 0,614 = 10,386 см, δ2 = 4 см, α3 = arccos (1 – δ3/R) =

arccos (1 – 10,386/11) = 1,515 рад; α2 = arccos (1 – δ2/R) = arccos (1 – 4/11) =

= 0,881 рад;

zc1,m = 4Rsin3α3/[3(2α3 – sin2α3)] – Rcosα3 = 4·11sin3(1,515) /[3(2·1,515 –

– sin(2·1,515)] – 11cos(1,515) = 4,388 см;

zc2,m = 4Rsin3α2/[3(2α2 – sin2α2)] – Rcosα2 = 4·11sin3(0,881) /[3(2·0,881 –

–sin(2·0,881)] – 11cos (0,881) = 1,628 см.

–площади сегментов:

A1,m = 0,5R2(2α1 – sin2α1) = 0,5(11)2(2·1,515 – sin(2·1,515)) = 176,561 см2;

A2,m = 0,5R2 (2α2 – sin2α2) = 0,5(11)2(2·0,881– sin(2·0,881)) = 47,207 см2 .

– стaтический момент Syc,m :

Syc,m = A1,m · zc1,m - A2,m(zc2,m + Rcosα2 – |zc|) = 176,561·4,388 –

47,207·(1,628 +11cos(0,881) – 0,614) = 774,742 см3;

– максимальный стaтический момент Syc всего составного сечения:

0,5Syc = Adn(2(R – δ2) + h + zc,dn – | zc|) + Syc,m = 332,926· (2 (11 – 4) + 10 +

+ 1,223 – 0,614) + 774,742 = 11,63ּ103 см3;

68

Syc = 2·11,63·103 = 23,26·103 см3 .

Главный центральный осевой момент инерции:

0,5Jyc = Jyc,up + Aup(2 (R – δ2) + h + zc,up+ | zc|)2 + Jyc,m + Am| zc|2 + Jyc,dn +

+ Adn(2(R- δ2) + h + zc,dn – | zc|)2 = 0,7305·106 см4 ;

Jyc = 1,461·106 см4 .

Влияние отверстий под стяжные болты в составной балке учтем, умножив величины площaди, моментов инерции и максимальных стaтических моментов всего сечения на коэффициент сплошности kcont = 0,8; полученные значения примем в качестве расчетных величин:

A = 0,8·1872 = 1498 см2 ; kcont ·Jyc = 0,8·1,461ּ106 = 1,169·106 см4 ;

Syc = 0,8·23,26·103 = 18,608·103 см3.

7. Определение несущей способности балки.

Несущую способность балки в упругой стадии деформирования определим, используя условие прочности деревянных балок при изгибе в главной плоскости xz

M

σx,b = Wd ≤ Rdb, (24) nt

где Md – расчетное значение изгибающего момента: Md = max|M|;

Rdb – расчетное сопротивление древесины при изгибе; принимаем по табл.2;

Wnt – момент сопротивления ослабленного сечения, принимаемый для составных балок с учетом коэффициента сплошности kcont = 0,8:

Jyc – главный центральный момент инерции сечения на рис.7 относительно оси yc ; zmax – расстояние от оси yc до наиболее удаленного волокна в сечении (см. формулу (16)).

Расстояние zmax от оси yc до наиболее удаленного волокна найдем как наибольшее из двух расстояний: z1 – расстояния от оси yc до верхнего крайнего волокна и z2 – расстояния от оси yc до нижнего крайнего волокна (см. рис.7);

z1 = 2R– δ1 – δ2 + h + R – δ2 + zc = 2·22 – 1,8 – 4 + 10 + 22 – 4 + 0,614 =

69

= 66,2 см; z2 = 2R – δ2 + h + R – δ2 – zc = 2·22 – 4 + 10 + 22 – 4 – 0,614 = 67,386см.

zmax max(z1, z2) = 67,386см.

Вычисляем момент сопротивления ослабленного сечения Wnt:

Wnt = kcont ·Jyc /zmax = 0,8·1,461·106/67,386 = 1,735·104 см3 = 1,735·10-2 м3.

Для окантованных бревен сосны с влажностью 26% из табл.2 выбираем расчетное сопротивление древесины при изгибе Rdb равным 13,7МПа: Rdb = 13,7МПа.

По условию прочности (25)

Md ≤ Rdb· kcont ·Jyc /zmax = 13,7·106· 1,735·10-2 = 23,77·104 Н·м.

Так как Md = max|M| = 20qa2 (см рис.9), то для обеспечения прочности балки по нормальным напряжениям необходимо, чтобы

Из неравенства (26) при a = 1м получаем

q ≤ 1, 188·104 Н/м = 11,88 кН/м.

Проверяем выполнение условия прочности по касательным

где Qd – расчетное значение поперечной силы: Qd = max|Q|;

Rdab – расчетное сопротивление древесины при скалывании вдоль волокон при изгибе; принимаем по табл.2: Rdab = 2,15МПа;

Sbr – статический момент брутто части сечения относительно нейтральной оси; Sbr = Syc = 18,608·103 см3 = 1,861·10-2 м3 ; Ibr – момент инерции сечения

брутто; Ibr = Jyc = 1,461·106 см4 = 1,461·10-2 м4;

b – ширина сечения на уровне нейтральной оси: b = 2·22 = 44см (см. рис.7). Расчетное значение поперечной силы Qd = max|Q| определяем по эпюре на рис.8: Qd = 13,722qa = 13,722·11,88 = 163кН. После подстановки в

левую часть числовых значений величин находим:

70