sopromat2

Задание № 8. Проектировочный расчет стержневых систем по предельному равновесию

1. Формулировка здания. В задании № 8 необходимо определить размеры поперечных сечений стержней статически неопределимой стержневой конструкции (ячейки фермы) расчетом по допускаемым напряженииям и методом предельного равновесия.

Схема 4 Схема 3

Схема 5 Схема 6

Рис.1,a. Расчетные схемы 1 6 к заданию № 8. Задачами работы являются:

•упругий проектировочный расчет конструкции (по допускаемым напряжениям);

141

•определение размеров поперечных сечений стержней конструкции с учетом упруго-пластических деформаций по предельным нагрузкам двумя способами: последовательных догружений и кинематическим или статическим;

•сравнительная оценка металлоемкости конструкции, рассчитанной по допускаемым напряжениям и по предельным нагрузкам.

Расчетные схемы выбираются по рис.1,a (схемы 1÷6) или рис.1,б (схемы 7÷10) по последней цифре (n0) трехзначного шифра n2n1n0, который выдает преподаватель.

Схема 9

Схема 10

Рис.1,б. Расчетные схемы 7÷10 к заданию № 8.

Исходные данные для работы выбираются из табл.1 по трем цифрам n2, n1 и n0 трехзначного шифра, выданного преподавателем.

Стержни стальные. Предел текучести стали σу = 240 МПа, допускаемое напряжение σadm=160 МПа, коэффициент запаса прочности nу = 1,50, модуль продольной упругости стали Е = 200 ГПа.

При выполнении задания рекомендуется придерживаться той последовательности, в которой изложен пример расчета аналогичной конструкции в п.2.2.

142

При оформлении выполненной работы в нее необходимо включить следующие рисунки:

•расчетную схему конструкции (аналогично рис.3);

•схему равновесия действующих сил (план сил) – рис. 4;

•план перемещений конструкции (аналогично рис.5);

•возможные схемы предельного деформированного состояния (рис.6), если используется кинематический способ определения размеров поперечных сечений.

Втекст изложения выполненной работы включается таблица сравнительной оценки металлоемкости конструкции, рассчитанной по допускаемым напряжениям и по предельным нагрузкам (табл.2).

2. Основные гипотезы и допущения метода предельного равновесия. Теория предельного равновесия конструкций основана на положениях, в определенной степени идеализирующих свойства материала и условия работы отдельных элементов конструкций. В этой теории, как и вообще в механике деформируемого твердого тела, термины “сила” и “перемещение” следует понимать в обобщенном смысле. “Сила” – любая внешняя или внутренняя сила или их совокупность: сосредоточенные внешние силы Fe , распределенные по линии или поверхности силы q, пары сил с моментами Me , продольные и поперечные силы N,Q, изгибающие или крутящие моменты M, T. “Перемещения” – деформации, соответствующие обобщенным силам в смысле определения работы сил. “Перемещения” обычно измеряются по направлению действия сил и представляют собой линейные и угловые деформации: удлинения Δl, прогибы v, изменения кривизны оси Δκ , углы поворота сечений θ, углы закручивания φ.

Обобщенные перемещения, характеризующие конфигурацию конструкции в процессе деформирования под действием приложенных внешних сил, считаются малыми, так что при определении опорных реакций и внутренних усилий в стержнях можно использовать принцип отвердевания или начальных размеров, т.е. вести расчеты по недеформированной схеме.

Гипотезы плоских сечений при растяжении-сжатии, изгибе стержней и кручении валов, используемые в расчетах по упругой стадии деформирования, сохраняются и в расчетах по предельным нагрузкам.

Принимается, что материал конструкции обладает идеально упругопластическими свойствами. Связь напряжений с деформациями при одноосном растяжении или сжатии стандартного образца имеет вид прямолинейных отрезков (диаграмма Прандтля), представленный на рис.2. При растяжении или сжатии образца до предела текучести σу (отрезок 5-0-

144

где σ0 – предыдущее значение напряжений; εel – условный предел упругих деформаций; ε0, ε - предыдущее и последующее значения деформаций.

Упругие деформации настолько малы по сравнению с пластическими, что их можно не учитывать в изменениях геометрических размеров конструкции (геометрическая схема не изменяется), однако деформации пластичности могут быть любой величины, необходимой для реализации перераспределения напряжений.

Это предположение о так называемых идеально жесткопластических свойствах фактически приводит к дальнейшему упрощению идеализированной диаграммы напряжений на рис.2, когда принимается, что при напряжениях σ < σy никаких деформаций нет (εel = 0), а при напряжениях σ = σy деформации могут принимать любые значения. Напряжений σ > σy не может быть.

Строго говоря, подобная идеализация находится в противоречии с действительными физико-механическими свойствами материалов конструкций. Тем не менее, она существенно упрощает исследование стадии исчерпания несущей способности и дает результаты, весьма близкие к экспериментальным, получаемым для конструкций из различных материалов.

Внешнюю статическую нагрузку на конструкцию можно представлять обобщенной силой Р, определяемой распределением нагрузки на конструкцию и соотношениями между ее характерными значениями.

Например, если внешняя нагрузка на конструкцию задана сосредоточенными силами F1, F2, ..., Fn , сосредоточенными моментами M1, M2, ..., Mj и распределенными нагрузками q1, q2, ..., qm , то в качестве обобщенной силы можно выбрать сосредоточенную силу Р = Fk , и выразить все остальные нагрузки через P и характерный линейный размер l:

где κi – числовые коэффициенты, i = 1, 2, … , n+j+m.

Предполагается, что обобщенная сила Р прикладывается статически и возрастает от своего начального значения до предельного Рlim пропорционально параметру λ = λ(t):

где λu – предельное значение параметра λ: 0 < λ ≤ λu, определяемое в расчете.

При этом принимается, что распределение нагрузки и соотношения

(d) между ее величинами остаются неизменными, т.е. κi = const.

146

Нагружение (нарастание обобщенной силы Р от нуля до своего конечного значения), величина которого изменяется пропорционально одному параметру, называется простым.

Впроцессе нагружения конструкции, особенно за пределами упругости, ее элементы могут потерять устойчивость, вследствие чего будет исчерпана несущая способность; в связи с этим в процессе расчета необходимо проверять устойчивость сжатых элементов конструкции.

Вчастности, при наличии в составе конструкции сжатых, сжатоизогнутых или тонкостенных изгибаемых стержней открытого профиля необходимо, как и в расчете по допускаемым напряжениям, производить проверку устойчивости этих элементов и обеспечить ее конструктивными мерами.

Критерием прочности (несущей способности) конструкции служит

предельная обобщенная сила Рlim (предельная нагрузка).

Предельной нагрузкой Plim называется такое значение обобщенной внешней силы P, при котором конструкция переходит в предельное деформированное состояние, характеризующееся тем, что при бесконечно

малом приращении P предельной нагрузки Plim + P) конструкция либо разрушается, либо теряет свою геометрическую неизменяемость, либо становится неустойчивой, либо приобретает

Если действующая на конструкцию внешняя обобщенная сила Р не превосходит некоторой доли предельного значения, определяемой коэффициентом запаса прочности n, то несущая способность конструкции считается достаточной. Это значение обобщенной силы называется допускаемым и обозначается символом Padm: Padm = Plim/n (n – коэффициент запаса прочности).

Методом предельного равновесия для конструкций из пластичного материала с определенными механическими характеристиками (предел текучести σу , предел прочности σu , относительное остаточное удлинение εr) могут быть решены следующие задачи:

–при известных распределении статической внешней нагрузки, форме и размерах поперечных сечений конструкций отыскивается значение предельной нагрузки (определение несущей способности);

–при известных распределении и величине статической внешней нагрузки и форме конструкции определяются размеры ее поперечных сечений (проектировочный расчет).

147

Пример проектировочного упруго-пластического расчета.

Методику проектировочного упруго-пластического расчета (определения размеров поперечных сечений стержней) рассмотрим на примере системы, представленной на рис.3.

Три стальных стержня соединены между собой и с неподвижным недеформируемым основанием с помощью четырех цилиндрических шарниров i , j , k , C. Геометрия конструкции определяется размерами: a1 = 3; a2 = 0,5; H1 = 0,5; H2 = 2 м. Форма поперечных сечений стержней выбирается из стальных прокатных профилей. Соотношения

Рис.3. Ячейка фермы из трех стержней.

В общем узле С конструкция нагружена сосредоточенной силой F = 320 kH, направленной вертикально вниз.

Требуется подобрать форму и размеры поперечных сечений стержней конструкции расчетами по предельным нагрузкам тремя способами: последовательных догружений, кинематическим и статическим; определить экономию металла, которая может быть получена в результате расчетов по предельным нагрузкам по сравнению с расчетом по допускаемым напряжениям.

3. Расчет по допускаемым напряжениям.

3.1. План сил. Так как стержни 1 3 плоской конструкции на рис.3 соединены в узле C и с неподвижным основанием цилиндрическими шарнирами, внешняя сила F приложена в узле С и других внешних сил нет, то в поперечных сечениях стержней действуют только продольные силы N1, N2, N3 – рис.4.

Условия прочности стержней имеют вид:

148