sopromat2

При построении эпюр изгибающих моментов M и перерезывающих

сил Q используем локальные координаты z1, z2: z1 отсчитываем от левого конца балки (точка O); z2 отсчитываем от правого конца балки (точка C) – см. рис.11.

Рис.11. Схема к построению эпюр Q, M.

Составляем аналитические выражения для Q, M по участкам.

Определяем положение экстремума изгибающего момента MI на первом участке. Обозначаем координату сечения балки, в котором достигается экстремум изгибающего момента MI , символом z1*. При z1 =

z1* перерезывающая сила QI должна обращаться в ноль.

Определяем положение экстремума изгибающего момента MII на втором участке. Обозначаем координату сечения балки, в котором достигается экстремум изгибающего момента MII , символом z2*.

221

По значениям перерезывающих сил и изгибающих моментов в пролетах балки и на опоре B на рис.12 построены эпюры Q, M в исходной расчетной схеме.

Пример 3. Однопролетная балка постоянного поперечного сечения защемлена на правом конце и оперта на шарнирно-подвижную опору на левом конце. В средней части пролета на балку действует равномерно распределенная нагрузка q = 20 кН/м; а = 1 м. Расчетная схема представлена на рис.13,а.

Требуется построить эпюры перерезывающих сил Q и изгибающих моментов M.

На опоре O действует реакция Ro, направленная вертикально; в заделке – три составляющие реакции: RB, HB, MB (рис.13,а). Для плоской системы сил можно составить только три независимых уравнения равновесия, а число реакций равно четырем – Ro, RB, HB и MB, следовательно, балка – один раз статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости используем тот очевидный факт, что прогиб на опоре O равен нулю:

Используя условие (38) составим уравнение совместности деформаций, которое будет зависеть от искомой опорной реакции RO.

Отбросим "лишнюю" связь – опору O – и заменим ее действие реакцией RO, которая должна быть такой, чтобы выполнялось уравнение совместности деформаций (38); в результате получим эквивалентную систему, представленную на рис.13,б.

Для определения прогиба vo используем теорему Кастильяно

Рис.13. Расчетная (а) и эквивалентная (б) системы.

без учета перерезывающих сил Q:

где U – потенциальная энергия деформации балки; l – пролет балки.

223

Σ M(B) = 0; Ro 4a – q 2a 2a + MB = 0.

Система уравнений (39), (40) позволяет найти HB , Ro, RB, MB. Изгибающий момент под знаком интеграла в соотношении (39)

необходимо выразить через искомую реакцию Ro. Разбиваем балку на три участка (рис.13,а) и составляем выражения для изгибающих моментов:

третий участок: 3a ≤ z < 4a; MIII = Roz – q 2a (z – 2a).

Дифференцирование под знаком интеграла в правой части (39) дает:

224

Суммируем (a), (b), (c) и делим на EJ:

Приравниваем vo к нулю в соответствии с (39) и находим реакцию Ro опоры O:

Подставляем числовые значения q = 20 кН/м, а = 1м в выражения для

Ro, RB, MB:

Ro = 13,125 кН, RB = 26,875 кН, MB = 27,5 кНм.

Знак "+" у полученных реакций означает, что их направление выбрано правильно.

Проверяем правильность найденных реакций:

∑ M(o) = – q·2a·2a – MB + RB·4a = – 80 кНм – 27,5 кНм + 107,5 кНм = 0.

Построение эпюр Q, M по участкам.

225

Эпюра Q (рис.14,а): участок I: QI = Ro = 13,125 кН;

участок II: QII – изменяется по линейному закону от значения 13,125 кН в сечении с координатой z = a до значения – 26,875 кН в сечении с координатой z = 3a;

участок III: QIII = – RB = – 26,875 кН.

Эпюра М (рис. 14,б):

– на первом и на третьем участках балки М – линейная функция [MI = Roz, MIII = Roz – q 2a (z – 2a)], поэтому для построения графиков достаточно иметь по две точки;

– на втором участке необходимо найти экстремум функции МII(z) =

Экстремум функции МII(z) достигается в сечении с координатой z* , где Q(z) обращается в ноль:

RBz + Roz = 2Roa;

Рис.14.Эпюры Q (а), M (б) в исходной расчетной схеме.

M=13,1251,656 − 1 20 (1,656 −1)2 = 21,735 − 4,3 =17,43кНм; II z =1,656 2

226

Максимальный по модулю изгибающий момент в пролете балки на втором участке имеет значение

maxMII = 17,43 кНм.

Максимального по модулю значения изгибающий момент в балке достигает на опоре B

max|M| = 27,5 кНм.

3.3. Проверочный расчет статически неопределимой балки.

Пример 4. Стальная однопролетная балка постоянного поперечного сечения двутаврового профиля № 40 с консолью жестко заделана в стену правым концом и оперта на шарнирно-подвижную опору на левом конце. Расстояние между опорами l = 5 м, вылет консоли a = 2 м. На консоль действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью

q = 20 кН/м.

Расчетная схема представлена на рис. 15. Допускаемые напряжения

σadm = 160 МПа, τadm = 100 МПа. Жесткость балки EJ; E – модуль Юнга, J

– осевой момент инерции поперечного сечения.

Требуется построить эпюры изгибающих моментов М и перерезывающих сил Q, а также произвести проверочный расчет.

Балка один раз статически неопределимая.

Уравнения равновесия балки: ΣM(o) = 0;5Rc – 2q(5+1) – Mo = 0,

Рис. 15. Исходная расчетная схема.

Два уравнения равновесия (43), (44) содержат три неизвестные опорные реакции Ro , Rc , Mo ; для их отыскания необходимо составить еще одно уравнение. Выберем начало координат на опоре O, ось z направим влево, а ось y – вверх.

Используем тот факт, что прогиб на опоре C в исходной расчетной схеме равен нулю:

Прогиб на опоре C выразим с помощью метода начальных параметров (Приложение 2). Два начальных параметра известны: vo = 0, θ0 = 0; два других – искомые реакции Ro, Mo.

Уравнение упругой линии балки на первом участке (0 ≤ z < 5 м)

227

σmax < σadm = 160 МПа.

τmax < τadm = 100 МПа.

Условия прочности выполнены.

3.4. Проектировочный расчет статически неопределимой балки.

Пример 5. Стальная двухпролетная балка, нагруженная в правом пролете равномерно распределенной нагрузкой q = 20 кН/м, опирается на одну шарнирно-неподвижную и две шарнирно-подвижные опоры.

Расстояние между опорами l = 3 м. Допускаемые напряжения σadm = 140

МПа, τadm = 80 МПа. Жесткость балки EJ = const; E – модуль Юнга, J – осевой момент инерции поперечного сечения. Расчетная схема представлена на рис. 17.

Требуется построить эпюры изгибающих моментов М и перерезывающих сил Q, а также произвести проектировочный расчет, т.е. подобрать размеры поперечного сечения стального двутаврового профиля.

Балка один раз статически неопределимая.

Уравнения равновесия балки: ΣM(c) = 0;

Рис. 17. Исходная расчетная схема балки.

Два уравнения равновесия (49), (50) содержат три неизвестные опорные реакции RO , RB , RC; для их отыскания необходимо составить дополнительные уравнения.

Выберем начало координат на опоре O, ось z направим вправо, а ось y – вверх.

229

Используем тот очевидный факт, что прогибы на опорах B,C равны нулю:

Прогибы на опорах B,C выразим через заданные силы по методу начальных параметров (Приложение 2). Два начальных параметра известны: vO = 0, MO = 0; два других – RO , θO следует найти. Так как появилось еще одно неизвестное – параметр θO , в дополнение к уравнениям равновесия (49), (50) составим два уравнения, отражающие

Уравнение упругой линии балки на втором участке (3 ≤ z < 6м):

Подставляем (52) в первое условие совместности деформаций (51), (53) – во второе условие совместности деформаций (51) и получаем два дополнительных уравнения для определения RO , RB , RC , θ0 :

Решив систему уравнений (49), (50), (54), (55), находим опорные реакции:

Ro = – 3,75 кН, RB = 37,5 кН, Rc = 26,25 кН.

Для построения эпюр изгибающих моментов М и перерезывающих

сил Q используем локальные координаты z1 и z2 (рис.18,а). Координату z1

отсчитываем от левой опоры балки (точка O), координату z2 – от правой опоры (точка C).

Строим аналитические выражения для Q, M по участкам.

230