Рис.1,б. Расчетные схемы рам 7÷14.
Три цифры кода студента n2n1n0 образуют трехзначное число. Номер расчетной схемы определяется делением числа n2n1n0 на 30 с остатком и равен этому остатку. Обозначим номер расчетной схемы символом № , остаток – δ. Пусть результатом деления числа n2n1n0 на 30 с остатком будет 30·k + δ, где k – целое число; тогда № = δ.
241
Рис.1,в. Расчетные схемы рам 15÷22.
Например, если n2 = 5, n1 = 3, n0 = 9, то n2n1n0 = 539; деление числа 539 на 30 с остатком дает: 30·17 + 29, δ = 29 и № = 29.
1. Основные понятия. Рама – это стержневая конструкция, стержни которой, в основном, жестко соединены между собой. Некоторые стержни
242
могут соединяться с помощью шарниров. Оси стержней рамы могут пересекаться между собой под произвольными углами.
Рис.1,г. Расчетные схемы рам 23÷30.
Плоская рама – такая, оси стержней которой и внешние силы, включая и опорные реакции, лежат в одной плоскости.
Вобщем случае, в поперечных сечениях стержней плоских рам возникают продольные N и перерезывающие Q силы, а также изгибающие моменты M.
Взадании рассматривается случай, когда внешние силы действуют в плоскости рамы.
Силы N, Q и изгибающий момент М будем называть обобщенными силами или силовыми факторами.
Рама называется статически определимой, если опорные реакции и внутренние силы во всех ее стержнях могут быть определены только из уравнений равновесия.
Для придания плоской раме геометрической неизменяемости и неподвижности необходимо закрепить ее на основании с помощью как минимум трех не параллельных и не пересекающихся в одной точке связей. Возникает плоская система сил, для которой можно составить три независимых уравнения равновесия.
Для расчета рамы на прочность и жесткость надо знать распределение силовых факторов N, Q, M по длине стержней, а также деформации стержней рамы.
Методика определения N, Q, M в стержнях рам аналогична методике определения Q, M в балках (см. Задание № 3). Отличие состоит в том, что при использовании метода сечений для определения N, Q, M в стержнях рам необходимо вводить локальные системы координат для каждого стержня и составлять не два, а три уравнения равновесия.
Деформации стержней рамы следует определять двумя способами – по теореме Кастильяно и по формуле Мора.
Теорема Кастильяно формулируется следующим образом:
если упругое тело находится в равновесии под действием системы статически приложенных внешних сил, то обобщенное перемещение m произвольной точки тела m по направлению приложенной в этой точке обобщенной силы Pm можно определить как частную производную от потенциальной энергии тела U по этой силе Pm:
Потенциальная энергия U деформации плоской стержневой системы вычисляется по формуле:
|
1 |
n |
|
N |
2 |
|
M |
2 |
|
|
Q |
2 |
|
|
U = |
|
|
+ |
|
+ kQ |
|
|
|
|
|
∑ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dz , |
(2) |
|
EA |
EJ |
|
|
|
2 j=1(l |
) |
|
|
|
GA |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где M, N, Q – аналитические выражения изгибающих моментов, продольных и перерезывающих сил, обусловленных действием на
стержневую систему заданных сил, а также обобщенной силы Pm , приложенной в точке m по направлению обобщенного перемещения m; n
– число участков, на которые поделена рама; lj – длина участка с номером j ; E, G – модули упругости и сдвига; A, J – площадь поперечного сечения и осевой момент инерции сечения j-го стержня; kQ – коэффициент влияния формы поперечного сечения стержня на распределение касательных напряжений в поперечном сечении.
Участками называются части стержней, в пределах которых не изменяются ни внешние силы, ни поперечное сечение, ни материал стержней.
Зная, каким образом M, Q и N выражаются через обобщенные силы Pm, можно найти обобщенное перемещение m дифференцированием правой части формулы (2) под знаком интеграла:
|
|
∂U |
n |
|
|
M |
|
∂M |
|
N |
|
∂N |
|
|
Q |
|
∂Q |
m |
= |
= ∑ |
∫ |
|
|
|
|
+ |
|
+ k |
|
|
|
|
dz. (3) |
∂P |
EJ |
|
|
∂P |
Q GA |
∂P |
|
|
|
|
|
∂P EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m j=1(lj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
Формула (3) – теорема Кастильяно для определения перемещений в плоских стержневых системах.
Вслучае, когда в точке m отсутствует заданная сила Pm, прикладывается фиктивная сила Pm = 0, которая исключается из выражений M, N, Q после дифференцирования M, N, Q по Pm.
Впрактических расчетах рам со стержнями, длина которых превышает наибольший размер поперечного сечения в десять и более раз, влиянием продольных (N) и перерезывающих (Q) сил на перемещения пренебрегают, ввиду малости их вклада в величину перемещений, и перемещения определяют по упрощенной формуле:
|
|
|
|
∂U |
|
n |
|
|
M |
|
∂M |
|
|
|
|
m |
= |
= ∑ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz . |
|
(4) |
|
|
|
|
EJ |
|
|
∂P |
|
|
|
|
|
∂P |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m j=1(lj) |
|
|
|
|
m |
|
|
По Мору обобщенное перемещение |
|
i произвольной точки i плоской |
стержневой системы можно определить, используя выражение: |
|
|
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
n |
|
|
M |
i |
+ |
Np |
N |
i |
+ k |
|
Qp |
Q |
i |
|
|
∑ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz, |
(5) |
|
|
EJm |
EAm |
Q GAm |
i |
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(lm) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Mp ,Np , Q p – эпюры изгибающих моментов, продольных и перере-
зывающих сил, обусловленных действием на стержневую систему заданных сил; Mi , Ni , Q i – эпюры изгибающих моментов, продольных и
перерезывающих сил, обусловленных действием на стержневую систему обобщенной единичной силы Pi = 1, приложенной в i-ой точке по направ-
лению обобщенного перемещения i; n – число участков, на которые поделена рама; lm – длина участка с номером m ; E, G – модули упругости и сдвига; Am , Jm – площадь поперечного сечения и осевой момент инерции стержня на участке с номером m; kQ – коэффициент влияния формы поперечного сечения стержня на распределение касательных напряжений в поперечном сечении.
Выражение (5) называется формулой Мора.
2. Примеры расчетов.
Пример 1. Определение внутренних усилий N, Q, M в статически определимой раме. Расчетная схема рамы представлена на рис.2. Для определения усилий используем метод сечений. Для определения знаков усилий назначаем растянутые волокна и отмечаем их пунктирной линией.
2.1. Определение опорных реакций. Обозначаем опорные реакции
символами Vo, Ho, VB. Вводим глобальную систему координат yz . Составляем следующие уравнения равновесия, из решения которых находим опорные реакции:
Σ Fz = 0: Ho = F = 100 кН;
Σ m |
= 0: |
V 5 – 100 7 – 20 4 (2 + 1) |
= 0; |
V = |
700 + 240 |
=188 кН ; |
|
|
(B) |
|
o |
|
|
o |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ m |
= 0: |
– V 5 |
+ 100 7 – 20 4 2 = 0; V |
= |
700 −160 |
=108 кН . |
|
(o) |
|
B |
|
в |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка: Σ Fy = 0: |
188 – 20 4 – 108 = 0. |
|
|
|
|
|
|
2.2. Определение внутренних сил в стержнях рамы. Раму разбиваем на отдельные участки (стержни) и нумеруем их 1-2; 3-4; 5-6; 7-8 таким образом, чтобы в каждом узле имелась нумерация примыкающих стержней.
Далее используем локальные системы координат для стержней.
Составляем аналитические выражения для N, Q, M в локальных системах координат. Рассекаем раму по стержню 1-2 и отбрасываем часть рамы выше и правее стержня 1-2. В сечении прикладываем реакции отброшенной
части – усилия N12, Q12, M12 (см рис.3).
Рис.2. Расчетная схема.
Для определения этих усилий составляем уравнения равновесия выделенной части стержня 1-2, из решения которых находим усилия N12,
Q12, M12.
Участок 1 – 2 (рис. 3).
ΣF z1 = 0; N12 = –Vo = –188 кН;
ΣFy1 = 0; Q12 = –Ho = –100 кН;
Σm(c) = 0; M12 = –Ho z1 = –100·z1;
Изгибающий момент в стержне 1-2 – линейная функция; для построения ее графика достаточно иметь
значения M12 в двух точках: |
|
M12 |
|
z = o |
= 0 ; M12 |
|
z = 4 |
= − 400 кНм . |
|
|
|
1 |
1 |
|
Рис.3. Стержень 1-2. |
|
|
|
|
Участок 3 – 4 (рис. 4). |
|
|
|
|
Σ Fz2 = 0; |
N34 = 0; Σ Fy2 = 0; Q34 = –F = –100 кН; |
Σm(c) = 0; |
M34 = F·z2 = 100·z2; |
Изгибающий момент в стержне 3-4 – линейная функция; для построения ее графика достаточно
иметь значения M34 в двух точках:
Рис.4. Стержень 3-4. |
M34 |
|
z2 = o = 0; |
M34 |
|
z2 = 3 |
= 300 кНм . |
|
|
|
|
|
|
Участок 7 – 8 (рис. 5).
Раскладываем реакцию VB на две составляющие – VB(y3)и VB(z3) :
V(y3) |
= V |
sinβ , V(z3) |
= V cosβ . |
B |
B |
B |
B |
Угол β определяется как угол наклона стержня 7-8 к вертикали (см. рис. 2):
|
|
1 |
|
|
β = arctg |
|
|
|
= 0,245рад. |
4 |
ΣFz3 = 0; N78 = VBcos β = 108 0,97 = 105 кН;
Σ Fy3 = 0; Q78 = VBsin β = 108 0,242 = 26,14 кН;
Σm(c) = 0; M78 = – VBsin β z3 = – 26,14 z3;
Изгибающий момент в стержне 7-8 – линейная функция; для построения ее графика
достаточно иметь значения M78 в двух точках: M78 z3 = o = 0;
M78 |
|
z |
|
= |
|
= − 26,14 |
17 |
= −107,8 кН м . |
|
3 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5. Стержень 7-8.
Участок 5 – 6 (рис. 6).
Рассекаем раму по стержню 5-6 и отбрасываем левую часть рамы. В сечении прикладываем реакции
отброшенной части – усилия N56,
Q56, M56 (см рис.6).
Для определения этих усилий составляем уравнения равновесия выделенной части рамы, из решения
которых находим усилия N56, Q56,
M56 . Локальную систему координат y46z4 выбираем с началом в узле 6.
Рис.6. Стержень 5-6. |
|
N56 = 0; Q56 = VB + q·z4 = 108+ 20z4; |
M |
56 |
= – V |
(1 + z |
4 |
) – |
1 |
qz2 |
= – 108 (z |
4 |
+ 1) – |
10z2. |
|
|
B |
|
2 |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Перерезывающая сила в стержне 5-6 – линейная функция; для построения ее графика достаточно иметь значения Q56 в двух точках:
Q56 |
|
z |
4 |
= o =108 кН; |
Q56 |
|
z |
4 |
= o =108 + 20 4 =188 кН . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изгибающий момент в стержне 5-6 – нелинейная функция; для
построения ее графика необходимо иметь не менее трех значений M56 в трех точках:
248
M |
56 |
|
|
z |
|
= 0 |
= −108 кНм ; M |
56 |
|
z |
|
= 2 |
= −108 3 −10 22 = − 364 кНм; |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −108 5 −10 16 = − 540 −160 = −700 кНм. |
M56 |
|
z |
4 |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Построение эпюр внутренних |
сил (N, Q, M). Используя |
построенные в п.2.2 аналитические выражения для N, Q, M строим их эпюры по точкам.
Рис.7. Эпюры внутренних усилий N, Q, M.
2.4. Проверка равновесие узлов. Проверяем равновесие узлов, в которых сходятся стержни 1-2, 3-4 и 3-6, а также стержни 3-6 и 7-8.
На рис.8,а и 8,б показаны силы и изгибающие моменты, действующие в узле, где сходятся стержни 1-2, 3-4 и 3-6; на рис. 8,в и 8,г
– силы и изгибающие моменты в узле, где сходятся стержни 3-6 и 7-8. Длины примыкающих к узлам стержней предполагаются бесконечно малой величины.
Силы имеют размерность кН, изгибающие моменты – кНм.
Рис.8. Равновесие узлов.
249
Равновесие узла, где сходятся стержни 1-2, 3-4 и 3-6, очевидно. Проверяем равновесие узла, где сходятся стержни 5-6 и 7-8.
Проецируем силы, приложенные к этому узлу, на оси yz глобальной системы координат (см. рис.2):
∑F |
= 108 – 1052 + 262 |
= 108 – 108,2 = 0,8 ≈ 0, так как невязка |
y |
|
|
составляет менее 1% ;
∑Fz = 26 cos β −105 sinβ = 26 0,97 −1050,245 =
= 25,22 − 25,725 = − 0,505 ≈ 0 , так как невязка составляет около 2% : 0,505/25,22 ≈ 2%.
Пример 2. Определение перемещений в статически определимой
раме.
|
На рис.9 |
представлена |
расчетная |
|
схема статически определимой |
|
рамы, |
вертикальные |
стержни |
|
которой имеют жесткость EJ, а |
|
горизонтальный стержень – 2EJ. |
|
Левая опора рамы – шарнирно- |
|
неподвижная, правая – шарнирно- |
|
подвижная. На |
раму |
действует |
|
равномерно |
распределенная |
|
нагрузка |
q. |
Осевой |
момент |
|
инерции J = 5·10-4 м4; модуль |
Рис.9. Расчетная схема рам |
упругости E = 30 ГПа, a = 1м, q = |
|
|
|
= 10 кН/м. |
Требуется найти горизонтальное перемещение узла В – |
В и угол |
поворота левого вертикального стержня в узле O – θ0.
2.5. Определение перемещений по формуле Мора. В точке В прикладываем единичную обобщенную силу FB =1, в точке O –Mo =1.
По упрощенной формуле Мора перемещение узла – В и угол поворота –
θо определяются выражениями:
