Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет им. С.М. Кирова
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

sopromat2

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
15.03.2015
Размер:
3.23 Mб
Скачать
☆

Разложим объемное напряженно-деформированное состояние на сумму 3-х одноосных (рис.5) и, используя принцип независимости действия сил, найдем работу напряжений:

Рис.5. Схема к определению удельной потенциальной энергии.

 

На рис.5 обозначено: I, II, III – главные оси; σ1

 

σ2 σ3 – главные

напряжения;

dx, dy, dz – длины ребер элементарного параллелепипеда

материала; ε1 , ε2 , ε3

–

главные деформации, определяемые по закону

Гука:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε=

1

[σ− ν(σ + σ)],

ε =

1

[σ − ν(σ+ σ)],

ε=

1

[σ − ν(σ+ σ)].

 

 

 

1

 

E 1

2 3

2

 

E 2

1 3

3

E

3

1 2

(26) Работа W, производимая напряжениями в направлении главных осей,

вычисляется следующим образом:

 

1

 

1

 

1

 

 

1

3

 

W =

σdydzεdx +

σdxdz εdy +

σdxdy εdz =

∑ σε dxdydz

 

 

 

 

2

1 1

2

2 2

2

3 3

 

2 k=1

k k

 

 

 

 

 

Объем элементарного параллелепипеда до деформации:

V0 = dx·dy·dz.

Удельная потенциальная энергия:

201

u =

W

=

W

=

1

(σε+ σε+ σε)=

1

∑3 σε.

(27)

V

dxdydz

 

 

 

 

2

1 1 2 2 3 3 2

k=1

k k

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Удельная потенциальная энергия, выраженная через напряжения:

3

1

σε =

1

{σ[σ−ν (σ + σ)]+ σ

[σ −ν (σ+ σ)] +

 

u = ∑

 

2

 

 

k=1

k k 2E

 

1 1

2 3 2 2

1 3

 

+ σσ−ν (σ+ σ)} =

 

1

σ2

+ σ2 + σ2 − 2ν

(σσ + σσ + σσ)

,

 

 

3 3

 

1 2

 

 

2E

2 3

1 2

 

 

 

 

 

 

1

2 3 1 3

 

 

 

 

(28)

где E , ν – модуль Юнга и коэффициент Пуассона.

 

Объемная деформация

εV

определяется

как сумма главных

деформаций:

 

 

 

εV = ε1 +

ε2 + ε3 .

(29)

Связь октаэдрических нормальных (средних) напряжений с объемными деформациями устанавливается следующим образом.

Суммируя левые и правые части обобщенного закона Гука [6]

εV=ε1+ε2+ε3=

1

 

[σ+ σ + σ − 2ν(σ+ σ + σ)]=

1− 2ν3σ ,

E

 

 

1 2

3

1 2

3

 

E

V

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε=

3(1− 2ν )

σ ,

σ =

E

ε = k ε,

(30)

v

E

 

v

v

3(1− 2ν )

v

v v

 

где kV – модуль объемного сжатия:

 

 

 

 

 

 

 

kv

=

 

 

E

 

.

 

(31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3(1

− 2ν )

 

Выражения (30) – закон Гука для октаэдрических (средних)

напряжений и объемных деформаций.

 

 

 

 

Удельную потенциальную энергию изменения объема uV

найдем как

работу средних напряжений на объемных деформациях:

 

u

v

=

1

σε =

1

σ

3(1− 2ν )

σ =

(1− 2ν )

(σ+ σ + σ)2.

(32)

 

2

 

 

 

2

v v

v

E

 

 

v

6E 1 2 3

 

202

где G – модуль сдвига: G =

Удельную потенциальную энергию изменения формы uD найдем как разность полной удельной потенциальной энергии деформации элемента u и удельной потенциальной энергии изменения объема uV :

 

1

 

2

2

2

 

 

 

 

uD = u – uv =

 

 

3σ

+3σ

+ 3σ

− 6ν (σσ + σσ + σσ) −

6E

 

1

2

3

1

2

2

3

1 3

 

 

 

 

 

 

−(1− 2ν )(σ2 + σ2

+ σ2

+ 2σσ + 2σσ+ 2σσ)]=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

 

 

 

1 2

 

 

2

 

3

1 3

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

2σ

+2σ

+ 2σ − 2σσ − 2σσ − 2σσ +

 

 

 

6E

 

 

 

 

 

1

 

 

2

3

 

 

1

2

 

 

2

 

3

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2ν σ2

+ 2ν σ2

+ 2ν σ2

− 2ν σσ − 2ν σσ− 2ν σσ]–

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

3

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

2 3

1 3

 

1 + ν

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

=

 

=

 

 

 

 

σ − σ

 

 

+

σ − σ

 

 

+

σ

− σ

 

 

 

 

 

6E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

2

3

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

9(1+ν )

 

2

 

 

3(1+ν )

 

2

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oct

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

τ =

 

 

 

τ =

 

 

 

 

 

 

,

(33)

 

 

 

 

6E

2E

 

4

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

oct

 

 

 

oct

 

 

 

 

E 2(1+ν ) .

Таким образом, удельная потенциальная энергия изменения формы uD выражается через октаэдрические касательные напряжения по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

τ

 

 

 

 

 

3(1+ν )

2

3

2

 

 

 

 

 

 

oct

 

 

u

D

=

 

τ =

 

 

 

.

(34)

2E

4

 

G

 

 

oct

 

 

 

По четвертой теории прочности опасное (предельное) напряженнодеформированное состояние (НДС) наступает в случае, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает опасного (предельного) значения uD,dan.

В случае одноосного НДС: σ1 = σ, σ2 = σ3 = 0.

 

(1)

 

1+ν

2

2

 

 

1+ν 2

По формулам (33):

uD

=

 

 

 

σ

+ σ

 

=

 

 

σ; в случае

 

 

 

 

 

 

 

6E

 

 

 

 

 

3E

одноосного НДС опасным является достижение нормальными напряжениями предела текучести:

 

(1)

 

1+ν

2

 

u

D,dan

=

 

 

σ .

(35)

 

3E

 

 

 

y

 

Линейное (одноосное) и объемное (трехмерное) НДС считаются равноопасными, если удельная потенциальная энергия формоизменения

203

достигает опасного (предельного) значения в обоих НДС. Приравнивая удельную потенциальную энергию формоизменения объемного и линейного НДС, и используя условие прочности линейного НДС: σ ≤ σadm = σy/k, где k – коэффициент запаса прочности, условие прочности объемного НДС по четвертой теории прочности принимают в виде:

u(3) =

1+ ν(σ− σ)2+ (σ − σ)2+ (σ− σ)2

≤

1+ νσ2 .

(36)

D

6E

 

2

2

3

1

 

 

3E

adm

 

 

1

3

 

 

 

Вводят так называемое приведенное напряжение:

 

 

σ(IV) =

1

(σ−σ)2+ (σ −σ)2+ (σ−σ)2

1/2.

(37)

 

 

 

red

2

 

2

2

3

1

 

 

 

 

 

1

 

3

 

Приведенное напряжение по IV-ой теории прочности приобретает вполне определенный физический смысл:

σ(IV) =

3

 

τ .

(38)

 

 

 

red 2

 

oct

 

Как следует из выражений (36) и (37), приведенное напряжение не должно превышать допускаемого напряжения. Тогда условие прочности получает вид:

σ(IV) ≤ σ .

(39)

red

adm

 

Приведенное (эквивалентное)

напряжение σ(IV)

по IV-ой

 

red

 

(энергетической) теории прочности, пропорциональное октаэдрическому касательному напряжению τoct, не должно превышать допускаемого напряжения.

Оценку локальной прочности выполним при следующих исходных

данных:

 

 

 

 

 

 

σ1

=

123 ; σ2 = – 52,6 ; σ3 = – 130,4; σadm= 160 МПа.

 

Вычисляем приведенное напряжение

σ(IV)

=

 

1

[(123+52,6)2 + (-52,6+130,4)2 + (123+130,4)2 ] 0,5 = 225 МПа;

 

 

 

red

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ(IV)

> σ

= 160 МПа.

 

 

 

 

 

red

adm

204

Условие прочности по четвертой теории не выполнено; площадка возможного скольжения – октаэдрическая площадка, нормаль к которой имеет одинаковые направляющие косинусы в системе главных осей; положение этой площадки показано на рис. 4.

Расчеты закончены.

205

Задание № 11. Расчеты статически неопределимых балок.

1.Формулировка задания. Для балок, расчетные схемы которых представлены на рис.1,а и рис. 1,б, требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов, а также произвести один из трех типов расчетов на прочность: I – проверочный; II – проектировочный; III – определение несущей способности.

Механические характеристики материала балок: допускаемое нормальное напряжение σadm = 160 МПа, допускаемое касательное напряжение τadm = 100 МПа, модуль упругости E = 200 ГПа.

Типы поперечных сечений балок:

 

 

 

 

а)Двутавр по

 

 

 

 

 

б)Два швеллера по

 

 

в)Труба по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГОСТ 8239-72*

 

 

 

 

 

 

ГОСТ 8240-72*

 

 

ГОСТ 10704-91*

 

 

 

 

(приложение 3)

 

 

 

 

 

 

(приложение 4)

 

 

(приложение 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)Короб сварной по ТУ 36-

 

 

 

 

 

 

д) уголки неравнобокие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2287 (приложение 6)

 

 

 

 

 

 

 

по ГОСТ 8510-72*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(приложение 8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходные данные приведены в табл. 1.

Таблица 1 Исходные данные к расчету статически неопределимых балок

 

№

Тип

 

 

 

 

 

 

 

Тип

№

 

 

се-

 

 

 

l1,

l2,

l3,

 

Про-

q,

n0

схе-

n1

k1

k2

n2

рас-

 

мы

че-

 

 

 

м

м

м

чета

фи-

кН/м

 

ния

 

 

 

 

 

 

 

ля(*)

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

1

а)

1

1,5

1

3

2

3

1

I

18

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

б)

2

2

1,25

2

3

2

2

II

?

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

в)

3

2,5

1,5

3

2

3

3

III

20

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

г)

4

3

1,25

2

3

3

4

I

18

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

д)

5

2

1

3

2

2

5

II

?

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

6

а)

6

1,5

1,25

2

3

3

6

III

20

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

7

б)

7

2

1,5

3

2

3

7

I

18

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

8

в)

8

2,5

1,25

2

3

3

8

II

?

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

9

г)

9

3

1

3

2

2

9

III

20

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

д)

0

2

1,25

2

3

3

0

II

?

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

206

На схемах балок (рис.1,а и рис. 1,б) обозначено: q – равномерно распределенная нагрузка (кН/м); F – сосредоточенная сила (кН); Me – момент пары сил (кН·м); соотношения между ними: F = k1ql1 , Me = k2ql12 .

Рис.1,а. Расчетные схемы балок 1÷5.

Номер расчетной схемы и числовые значения исходных данных выбираются из табл.1 по коду из трех цифр n2n1n0, выданному преподавателем; n2 , n1 , n0 – три цифры кода студента: n2 – первая слева цифра, n1 – вторая слева цифра, n0 – последняя цифра кода. Например, если 237 – три цифры кода, то n2 = 2, n1 = 3, n0 = 7.

В графе 12 табл.1 приведены номера профилей а), б), или диаметры D трубы в см, или высота короба h в см, или ширина большей полки B

207

неравнобоких уголков; толщину стенок трубы или короба, или уголка, а также ширину меньшей полки уголка студент выбирает самостоятельно.

Знак вопроса в графах 12, 13 табл.1 означает, что номер профиля или нагрузка должны быть определены в результате расчета балки.

Рис.1,б. Расчетные схемы балок 6÷0.

2. Методы расчета плоских статически неопределимых балок.

2.1. Основные понятия. Плоская геометрически неизменяемая система как целое обладает тремя степенями свободы – двумя линейными перемещениями sy, sz и углом поворота ϕx относительно оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежит система. Поэтому для того, чтобы плоская система была неподвижной по отношению к "основанию", необходимо устранить эти три степени свободы. С этой целью плоскую систему надо соединить с "основанием" как минимум

208

тремя стержнями-связями, направления осей которых не параллельны между собой и не пересекаются в одной точке. Эти три связи являются необходимыми и достаточными, а все другие связи, сверх необходимых, соединяющие систему с "основанием", являются как бы лишними. Если система соединена с "основанием" только необходимыми связями, то реакции в 3-х необходимых связях могут быть определены с помощью 3-х уравнений равновесия, которые можно составить для плоской системы сил.

Если, кроме того, и внутренние усилия в системе могут быть определены только из уравнений равновесия, то система называется

статически определимой.

Если же реакции в опорных связях или какие-либо внутренние усилия в системе не могут быть определены только из уравнений равновесия, то система называется статически неопределимой.

Системы могут быть внешне и внутренне статически неопределимыми.

Если внутренние усилия в статически неопределимой системе могут быть определены только из уравнений равновесия, то система называется

внешне статически неопределимой.

Если же реакции в опорных связях статически неопределимой системы могут быть определены из уравнений равновесия, а внутренние усилия не могут быть определены из уравнений равновесия, то система называется внутренне статически неопределимой.

Разъясним на примере, чем отличаются внешне статические неопределимые системы от внутренне статически неопределимых систем.

Рассмотрим систему, состоящую из четырех жестко связанных между собой балок, представленную на рис.2.

Эта система 3 раза внешне статически неопределимая и 3 раза внутренне статически неопределимая, – всего 6 раз статически неопределимая система.

Рис.2. Шесть раз статически неопределимая система.

Для обеспечения неподвижности этой системы достаточно иметь 3 стержня-связи или одно жесткое защемление. Отбросив правую опору и заменив ее реакциями X1, X2, X3 , получим систему, представленную на рис.3.

Рис.3. Внутренне статически неопределимая система.

209

Если X1, X2, X3 – известны, то система внешне статически определимая, но внутренне статически неопределимая.

Можно в любом сечении верхней или нижней балки сделать разрез и приложить

Рис.4.Эквивалентная система.

по три внутренних усилия X4,

X5, X6

с

каждой

стороны разреза,

как

показано

на

рис.4,

– получится эквивалентная система.

 

 

 

 

Так

как

X4, X5,

X6 приложены в сечении

попарно,

то в

любом

уравнении равновесия они будут эквивалентны нулю, то есть взаимно уничтожатся, и из составленных уравнений равновесия их определить невозможно. Эти силы можно определить только из уравнений совместности деформаций. Следовательно, замкнутый контур – три раза внутренне статически неопределимая система. Усилия в замкнутом контуре системы нельзя определить только с помощью уравнений равновесия, поэтому система на рис.3 остается 3 раза внутренне статически неопределимой.

Каждый цилиндрический шарнир уменьшает степень статической неопределимости на единицу. Введем в расчетную схему на рис.2 два шарнира, как показано на рис.5. Теперь эта система 4 раза статически неопределимая. Степень статической неопределимости можно определить

по формуле:

 

n = c + 3k – ш – 3,

(1)

где с – число эквивалентных опорных стержней; к – число замкнутых контуров; ш – число простых цилиндрических шарниров.

В задании рассматриваются только внешне статически неопределимые балки.

Рис.5. Система с двумя шарнирами.

2.2. Применение метода сил для расчета статически неопределимых балок. В этом методе за "лишние" неизвестные принимают обобщенные силы, поэтому метод называется методом сил. Для внешне статически неопределимой балки за "лишние" неизвестные принимают реакции в "лишних" связях. Для расчета статически неопределимой балки надо рассмотреть ее деформации и составить столько уравнений совместности перемещений, какова степень статической неопределимости.

"Лишние" связи отбрасывают и прикладывают неизвестные реакции X1, X2, …Xn по направлениям отброшенных связей. Получают основную

210

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности