sopromat2

систему. Основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой.

Основная система, нагруженная обобщенными внешними силами P = {q, F, Me, …} и реакциями отброшенных связей X = {X1, X2, …Xn} преобразуется в эквивалентную систему.

Ее напряженно-деформированное состояние (НДС) совпадает с НДС исходной расчетной схемы. Рассмотрим схему применения метода сил на примере n раз внешне статически неопределимой балки.

Под действием внешних сил P и реакций отброшенных связей X сечения балки, в которых были отброшены "лишние" связи, получат перемещения по направлениям X1, X2,…, Xn – 1 (P, X), 2 (P, X),..., 3 (P, X), которые по принципу независимости действия сил можно найти отдельно от Р и отдельно от X, а затем сложить. Зная, что в исходной расчетной схеме перемещения по направлениям X1, X2,…, Xn имеют значения c1, c2, …, cn , получают n уравнений совместности перемещений.

Систему уравнений (2) можно записать в виде

По принципу независимости действия сил перемещения, зависящие только от P, можно отделить от перемещений, зависящих только от X:

Далее, еще раз воспользовавшись принципом независимости действия сил (обобщенным законом Гука), можно разложить j(X) на составляющие, зависящие только от каждой неизвестной Xm и результаты

сложить.

n

j(X) = ∑ δjmXm , (5) m=1

где δjm – удельные перемещения j-ой точки в основной системе по направлению силы Xj под действием единичной силы Xm = 1,

приложенной в точке m балки.

Удельные перемещения j-ой точки основной системы определяют по формуле Мора:

211

где n1 – число участков интегрирования на балке; Mi , Q i – эпюры

изгибающих моментов и перерезывающих сил, обусловленных действием на стержневую систему обобщенной единичной силы Xi= 1, приложен-

ной в i-ой точке по направлению обобщенного перемещения i (i = j, m); lk

– длина участка с номером k ; E, G – модули упругости и сдвига; Ak , Jk – площадь поперечного сечения и осевой момент инерции стержня на участке с номером k; kQ – коэффициент влияния формы поперечного сечения стержня на распределение касательных напряжений в поперечном сечении.

Участками называются части балки, в пределах которых не изменяются ни внешние силы, ни поперечное сечение, ни материал балки.

Перемещение j-ой точки под действием P в основной системе – jp =

где Mp,Q p – эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил, вызванных действием на основную систему заданных сил.

В случае длинных балок (отношение длины балки к ее высоте более

10)влиянием перерезывающих сил в формулах (6), (7) пренебрегают. Подставляя в (4) выражения (5), (7) придем к канонической системе

уравнений метода сил:

В развернутой записи каноническая система уравнений метода сил имеет вид:

Определив из системы (9) X1, X2, …XN, можно построить эпюры M, Q по принципу независимости действия сил:

212

В случае многопролетных неразрезных балок в качестве основной системы выбирают балку с конструктивными шарнирами, врезанными над промежуточными опорами. Благодаря такой основной системе существенно сокращается объем вычислений, так как матрица удельных перемещений δjm становится трехдиагональной.

2.3. Применение формулы Кастильяно для расчета статически неопределимых балок. В случае один-два раза внешне статически неопределимых балок для определения реакций “лишних” опорных связей целесообразно использовать формулу Кастильяно, с помощью которой можно выразить обобщенное перемещение сечения балки по направлению реакции “лишней” опорной связи.

Общая схема применения формулы Кастильяно состоит в следующем.

После замены “лишней” опорной связи в точке m ее реакцией X составляются аналитические выражения для изгибающих моментов, продольных и перерезывающих сил, обусловленных действием на стержневую систему заданных сил, а также обобщенной силы Pm ≡ X, приложенной в точке m по направлению обобщенного перемещения m.

Составляются уравнения равновесия балки под действием заданных сил, а также обобщенной силы Pm ≡ X.

В дополнение к уравнениям равновесия балки составляются

где U – потенциальная энергия деформации балки; M, Q – аналитические выражения изгибающих моментов и перерезывающих сил, обусловленных действием на стержневую систему заданных сил, а также обобщенной силы Pm, приложенной в точке m по направлению обобщенного перемещения m; n – число участков, на которые поделена балка; lj – длина участка с номером j ; E, G – модули упругости и сдвига; A, J – площадь поперечного сечения и осевой момент инерции сечения j-го стержня; kQ – коэффициент влияния формы поперечного сечения стержня на распределение касательных напряжений в поперечном сечении.

Зная действительные перемещения сечений балки, приравнивают выраженные по формуле Кастильяно перемещения действительным

213

значениям перемещений и получают уравнения совместности перемещений вида (3).

В практических расчетах балок, длина которых превышает высоту поперечного сечения в десять и более раз, влиянием перерезывающих сил

(Q) на перемещения пренебрегают и перемещения определяют по упрощенной формуле:

Совокупности уравнений равновесия балки и уравнений совместности перемещений вида (3) достаточно для определения реакций всех опорных связей.

2.4. Применение метода начальных параметров для расчета статически неопределимых балок. Для раскрытия статической неопределимости двух-трехпролетных неразрезных балок целесообразно использовать метод начальных параметров (МНП), изложенный в Приложении 2.

Общая схема применения МНП состоит в следующем.

После замены “лишних” опорных связей их реакциями X1, X2, … составляются уравнения равновесия балки под действием заданных сил, а также реакций X1, X2, … .

Из условий закрепления балки определяются некоторые начальные параметры – обычно два из четырех параметров.

Далее, используя универсальное уравнение изогнутой оси балки, составляют аналитические выражения для перемещений и углов поворота сечений балки по участкам. Зная действительные перемещения сечений балки, приравнивают выраженные по формулам МНП перемещения действительным значениям перемещений и получают уравнения совместности перемещений вида (3). При этом в уравнения совместности перемещений могут войти неизвестные начальные параметры, в связи с чем необходимо составить дополнительные уравнения совместности перемещений, чтобы общего числа уравнений равновесия балки и уравнений совместности перемещений было достаточно для определения опорных реакций и неизвестных начальных параметров.

Контроль правильности раскрытия статической неопределимости осуществляется путем решения задачи двумя разными методами.

3. Примеры расчетов статически неопределимых балок.

3.1. Раскрытие статической неопределимости методом сил.

Пример 1. Рассматривается двухпролетная неразрезная балка (рис.6,а) постоянного поперечного сечения (J – осевой момент инерции поперечного сечения балки, J = const) на трех опорах: левая опора – шарнирно-неподвижная, средняя и правая опоры – шарнирноподвижные. Длина левого пролета – l1, правого – l2. Балка нагружена равномерно

214

распределенными силами q1 = const, q2 = const. Модуль упругости материала балки Е. Требуется определить опорные реакции VO, VB, VC.

Рис. 6. Расчетная схема балки (а) и основная система (б).

Балка один раз статически неопределимая. Принимаем в качестве "лишней" опорной связи шарнирно-подвижную опору В. Отбрасываем ее и заменяем опорную реакцию VВ "лишней" неизвестной X = VB. В качестве основной системы выбираем однопролетную балку (рис.6,б).

Нагрузив основную систему силами {q1, q2} и опорной реакцией VВ, получим эквивалентную систему (рис.7).

где δ11 – удельное перемещение (прогиб) в точке В основной системы под

215

где M1– эпюра изгибающих моментов в основной системе под действием единичной силы X =1 (рис. 9,в).

где Mp – эпюра изгибающих моментов в основной системе под действием заданных сил Р = {q1, q2}.

Эпюра Мр должна быть построена для схемы, представленной на

рис.8.

Определяем опорные реакции Vo(P) и Vc(P) в основной системе от заданных сил Р = { q1, q2 }.

Рис.8. Схема для построения эпюры Mp.

По формулам (17), (18) строим эпюру изгибающих моментов Mp в

основной системе под действием заданных сил Р = {q1, q2}. Эпюра Мр

216

представлена на рис. 9,а и 9,б отдельно от опорных реакций VO, VC и

распределенной нагрузки {q1, q2}.

В точке B основной системы (рис.6,б) прикладываем единичную силу X =1, определяем опорные реакции и строим единичную эпюру

M1(рис.9, в).

Используя эпюру M1 (рис. 9, в), вычисляем EJδ11 графоаналитическим способом (Верещагина) – см. Приложение 12.

Рис.9. Эпюры Мр (а+б) и M1(b).

Используя эпюру Мр (рис.9,а,б), вычисляем EJ 1p графоаналитическим способом (Приложение 12).

217

Подставляем в (20) выражения Vo(P), Vc(P) по (16), (17):

Зная VB, опорные реакции Vo и Vc в исходной расчетной схеме (рис. 6,а) определяем из уравнений равновесия балки.

218

Задача решена полностью.

В случае равных пролетов (l1 = l2 = l) и одинаковых распределенных нагрузок (q1 = q2 = q) опорные реакции получают значения:

3.2. Построение эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Пример 2. Двухпролетная балка постоянного поперечного сечения (EJ = const) опирается на шарнирно-неподвижную опору и на две шарнирно-подвижные опоры. Длина левого пролета l1 = 6м, длина правого пролета l2 = 4м. На балку действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 20 кН/м. Расчетная схема представлена на рис.10.

Требуется построить эпюры изгибающих моментов "М" и перерезывающих сил "Q". Балка один раз статически неопределимая.

Рис.10. Исходная расчетная схема.

Уравнения равновесия

219

после подстановки числовых значений величин принимают вид:

10Ro + 4RB =1000;

(28)

6RB +10Rc = 1000.

Для определения перемещений балки воспользуемся методом начальных параметров (Приложение 2). В точке O известны два начальных параметра – прогиб v0 = 0 и изгибающий момент M0 = 0; два других начальных параметра – угол поворота поперечного сечения θ0 и перерезывающая сила R0 – неизвестны. С целью определения неизвестных начальных параметров θ0 и R0 составим два уравнения совместности перемещений. Воспользуемся тем, что на опорах B и C прогибы балки (вертикальные перемещения) равны нулю:

Подставляем (30), (31) в граничные условия (29):

Решив систему уравнений (28), (32), (33), находим θ0 и опорные реакции

220