sopromat2

Выбрав масштабы напряжений F/A и γl , строим эпюру нормальных напряжений σ = σ (z) по участкам – рис.4,в.

Пунктирной линией на рис. 4,в показана эпюра нормальных напряжений, соответствующая действию на брус только сосредоточенных сил.

Рис.4. Эпюры продольных сил (б), нормальных напряжений (в) и перемещений сечений бруса (г).

2.4. Построение эпюры перемещений сечений бруса.

В общем случае перемещение одного конца участка бруса Δw относительно другого можно определить следующим образом.

По определению относительной продольной деформации на участке бруса длиной dz:

εz = dz(dz) , (е)

21

сечениями. Если в сечении при z = zb перемещения wb известны, то перемещение сечения с координатой z = ze относительно сечения с координатой zb можно найти суммированием (dz):

Таким образом, приращение перемещений Δw на участках бруса, где изменяется площадь поперечного сечения А и продольная сила N можно

определить по формуле:

ze

Δw = ∫εdz . (17) zb

Относительные продольные деформации ε = ε(z) определяются по

закону Гука:

ε = σ / E ,

где Е – модуль продольной деформации материала (модуль Юнга).

Как следует из формул (18), …,(21), деформации ε(z) изменяются "скачками" на границах участков, а внутри участков ε(z) – непрерывные линейные функции вида:

где ε0 – деформация на левой границе участка, с – постоянное в пределах участка число.

Внутри участка, на бесконечно малом интервале dz его длины, условные относительные продольные деформации ε(z) определяются по выражению (e):

22

ε(k−1)

воспользуемся выражением (26). Вычисляем постоянные 0 и cк по

выражениям (27), …,(30) с учетом выбранных выше соотношений (а) между входными величинами:

Выражение (26) представляет перемещения на правых границах участков относительно их левых границ, т.е. приращения перемещений:

24

Первые слагаемые в правых частях (31) пропорциональны уменьшению длины участка бруса под действием силы F: Δ(F) = Fl/EA;

вторые – под действием собственного веса γAl: Δ(γA)= 0,5γAl2/EA. Перемещения сечений бруса по участкам выражаются в виде:

где wk – приращения перемещений на правых границах участков, опреде-

ε(k−1)

ляемые по формулам (31); 0 , cк – постоянные, определяемые по формулам (з).

Пунктирной линией на рис.4,г показана эпюра перемещений, соответствующая действию на брус только сосредоточенных сил.

3. Проверочный расчёт бруса на прочность.

Для рассматриваемой расчетной схемы (рис.4,а) примем: A = 0,4м2; F = 100кН; γ = 18кН/м3. Допускаемое напряжение на первом участке

возьмем равным σadm(1) = 10МПа; допускаемые напряжения на остальных

участках: σadm(2) = 1,2σadm(1) = 1,2 10 = 12МПа; σadm(3) = 1,5σadm(1) = 1,5 10 = 15МПа; σadm(4) = 0,8σadm(1) = 0,8 10 = 8МПа.

Проверяем выполнение условия прочности (1) по участкам:

maxσI<σadm(1) = 10МПа;

условие прочности на первом участке выполнено;

25

Задание № 3. Проектировочный расчет балки по допускаемым напряжениям

1. Постановка задачи. В качестве расчетной схемы подкрановых балок, плит перекрытий и покрытий зданий и сооружений, а также несущих конструкций мостов может служить двухконсольная балка переменного сечения, показанная на рис.1, где использованы следующие обозначения: F, q, M – сосредоточенная сила, распределенная нагрузка, сосредоточенный момент (момент пары сил); EJ – изгибная жесткость поперечного сечения (Е – модуль упругости, J – осевой момент инерции).

Рис. 1. Расчетная схема балочной конструкции.

В проектировочном расчете требуется подобрать размеры поперечного сечения балки при известных нагрузках, длине балки и заданной форме поперечного сечения. Зададим, например, форму поперечного сечения балки в виде двутавра с неравными полками, как показано на рис.2.

Геометрические характеристики поперечного сечения (площадь поперечного сечения балки A, статические моменты S, моменты инерции J) можно выразить через параметр t, который определяется после вычислений необходимых геометрических характеристик поперечного сечения балки из условий прочности. Затем по заданным соотношениям между размерами поперечного сечения (1) можно вычислить эти

размеры.

В задании № 3 требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов в статически определимых балках и подобрать размеры поперечных сечений по участкам балки.

28

Расчетные схемы балок приведены на рис.3,а,б; типы поперечных сечений – на рис.4,а,б; исходные данные – в таблице 1.

Рис.3,а. Расчетные схемы балок 1÷5.

На схемах балок обозначено: q – равномерно распределенная нагрузка; F – сосредоточенная сила; M – момент пары сил.

Номер расчетной схемы, тип поперечного сечения и числовые значения исходных данных выбираются из табл.1 по коду из трех цифр n2n1n0 , выданному преподавателем; n2 , n1 , n0 – три последние цифры кода студента; n2 – третья справа цифра, n1 – вторая справа цифра, n0 – последняя цифра кода.

29