sopromat2

Сравнивая полученное значение касательного напряжения τxz с расчетным сопротивлением древесины при скалывании вдоль волокон при изгибе Rdab = 2,15МПа, заключаем, что условие прочности балки по касательным напряжениям выполнено.

8. Определение расстояния между колодками в составном сечении.

Используя формулы (6),…,(10), найдем необходимые расстояния между прямыми колодками в составном сечении балки по рис.7, обеспечивающими прочность соединений бревен.

Определяем допускаемую сдвигающую силу Tadm(1) по условию

прочности на скалывание по материалу колодки (формула (7)).

Обозначим расчетное сопротивление соснового бревна при скалывании вдоль волокон при изгибе R(0)dab = 2,15МПа. Из табл.3 для

дубовой колодки выбираем коэффициент перехода k2 = 1,3. Коэффициент условий работы колодки k1 = 0,8. Расчетное сопротивление дубовой

колодки при скалывании вдоль волокон при изгибе R(1)dab получает значение

R(1)dab = 2· k1 · k2 · R(0)dab = 2·0,8·1,3·2,15 = 4,472МПа. (Сомножитель 2 учитывает две плоскости скалывания колодки). Принимаем длину колодки a равной 0,4м; ширину колодки b равной

0,2м. Тогда допускаемая сдвигающая сила Tadm(1) по условию прочности на скалывание по материалу колодки принимает значение

Tadm(1) = abR(1)dab = 0,4·0,2·4,472·106 = 3,578·105Н.

Расчетные сопротивления бревна при смятии вдоль волокон при

сдвигающую силу Tadm(2) по условию прочности на смятие по бревну (формула (8)):

71

В формуле (28) принято: Ant = 0,67b2δ2 – площадь смятия в виде кругового сегмента; b2, δ2 – величины, определенные в п.6.1. Геометрические характеристики сечений каждого яруса составной балки. Верхний ярус.

Наименьшее значение допускаемой сдвигающей силы minTadm на одну колодку получается равным 11,182·104 Н: minTadm = 11,182·104 Н.

Для определения минимального расстояния между колодками с вычисляем (c – a) по формуле (9), учитывая, что перерезывающая сила Q и геометрические характеристики J, S найдены для двух ветвей сечения составной балки по рис.7:

c – a = 2·minTadm · J / QS = 2·11,182·104 · 1,461ּ10-2 / (163·103·1,861·10-2) = 1,08м;

c = 1,08 + a = 1,08 + 0,4 = 1,48м.

Таким образом, допускаемая нагрузка на балку определена: q1,adm = q = 11,88; q2,adm = 2q = 23,76; q3,adm = 3q = 35,64 кН/м;

F1,adm = qa = 11,88; F2,adm = 2qa = 23,76 кН;

M1,adm = 10qa2 = 118,8; M2,adm = 20qa2 = 237,6 кНм.

Расчет закончен.

72

Задание № 5. Проектировочный расчет балок требуемой

(заданной) жесткости

1. Постановка задачи. Балки в качестве конструктивных элементов должны отвечать требованиям не только прочности, но и жесткости. Жесткость – это свойство деформируемых тел сохранять в заданных пределах свои первоначальные размеры и форму при действии внешних сил.

Требование к жесткости конструкций, помимо других причин, вытекает из необходимости обеспечения условий для сборки объектов из деталей, а также – работы технологического оборудования. Например, в зданиях и сооружениях дверные и оконные проемы должны сохранять проектные форму и размеры для того, чтобы можно было установить дверные и оконные блоки, изготовленные заводским способом; в работающих машинах деформирование деталей не должно вызывать повреждений.

В нормах по расчету и проектированию строительных конструкций и деталей машин требования к жесткости обычно формулируют в виде ограничений на максимальные прогибы vmax и углы поворотов поперечных сечений θmax элементов:

где vadm , θadm – допускаемые значения прогибов и углов поворота поперечных сечений.

Допускаемые значения прогибов vadm задают как некоторые доли

допускаемые значения углов поворота поперечных сечений θadm задают в виде предельных значений углов.

Например, в строительных нормах и правилах по проектированию стальных конструкций (СНиП II-23-81) требуется обеспечить:

– для балок подкрановых путей vmax ≤ l / 400;

– для балок покрытий и перекрытий vmax ≤ l / 150, где l – пролет балки (расстояние между опорами).

В машиностроительных нормах для валов общего назначения

Для определения vmax , θ max необходимо найти распределение прогибов и углов поворота сечений по длине балки.

73

В задании № 5 рассматриваются статически определимые балки со ступенчато изменяющейся по длине балки изгибной жесткостью EJ; E – модуль продольной упругости (модуль Юнга), J – осевой момент инерции поперечных сечений.

Рис.1,а. Расчетные схемы балок 1÷5.

Впроектировочном расчете требуется подобрать размеры поперечного сечения балки при известных нагрузках, длине балки, заданной форме поперечного сечения и заданной жесткости. При этом балка, естественно, должна быть прочной. Для обеспечения прочности должен быть выполнен расчет на прочность, основные этапы которого рассмотрены в задании №3 “Проектировочный расчет балки по допускаемым напряжениям”.

Взадании № 5 главное внимание уделяется расчету балок на жесткость. Для расчета балок на жесткость необходимо найти распределения прогибов и углов поворота сечений по длине балки, из

74

которых затем установить максимальные по величине значения vmax , θmax.

Рис.1,б. Расчетные схемы балок 6÷0.

преподавателем; n2 , n1 , n0 – три цифры кода студента: n2 – первая слева цифра, n1 – вторая слева цифра, n0 – последняя цифра кода.

Допускаемые напряжения принимаются равными σadm = 30 МПа, τadm = 10 МПа; модуль Юнга – Е = 30 ГПа.

75

Таблица 1

Исходные данные к расчету балки

Из табл.1 выбираются: номер расчетной схемы, тип поперечного сечения балки и значения величин, указанных на схемах балок.

2. Методика расчета. Методику определения прогибов и углов поворота сечений по длине балки изложим на примере расчетной схемы, представленной на рис.3,а, где использованы следующие обозначения: F, q, M – сосредоточенная сила, распределенная нагрузка, сосредоточенный момент (момент пары сил); EJ – изгибная жесткость поперечного сечения (Е – модуль упругости, J – осевой момент инерции).

При изложении методики расчета форму поперечного сечения балки примем в виде двутавра с неравными полками, как показано на рис.4, со следующими исходными данными:

l1 = a, l2 = 2a, l3 = 3a, l4 = 4a; a1 = a, a2 = 3a, a3 = 6a, a4 = 10a; a = 1 м;

q1 = q, q2 = 2q, q3 = 3q; q = 2 кН/м;

F1 = qa, F2 = 2qa; M1 = 10qa2, M2 = 20qa2;

F1 = 2, F2 = 4 кН; M1 = 20, M2 = 40 кН/м;

σadm = 30 МПа, τadm = 10 МПа; Е = 30 ГПа;

vadm = L/400, L – пролет балки, L = l2 + l3 + l4 = 9м; θadm = 0,005 рад.

77

где t – толщина стенки двутавра.

2.1. Определение размеров поперечного сечения балки расчетом на прочность по допускаемым напряжениям. Проектировочный расчет на прочность по допускаемым напряжениям балки, расчетная схема которой представлена на рис.3,а с поперечным сечением по рис.4, выполнен в задании №3. Далее представлены основные результаты этого расчета.

Использованы следующие условия прочности по допускаемым напряжениям:

– условие прочности по нормальным напряжениям

где σmax , σadm – максимальное и допускаемое нормальные напряжения; max М – максимальный по абсолютному значению изгибающий момент; J – осевой момент инерции сечения балки; ymax – расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленного волокна в сечении;

– условие прочности по касательным напряжениям:

где τmax, τadm – максимальное и допускаемое касательные напряжения; max Q – максимальная по абсолютному значению перерезывающая сила;

– максимальный статический момент отсеченной части сечения относительно нейтральной линии; b – ширина сечения на уровне нейтральной линии.

Опорные реакции балки: VB = 8,278qa, Vc = 13,722qa. Аналитические выражения для определения поперечных сил и

изгибающих моментов балки имеют вид:

– первый участок (0 ≤ z < a1); ось z направлена вправо, начало оси – на левом конце балки (рис.3,б);

QI = – q (a + z); MI = – (qaz + 0,5qz2);

– второй участок (а1 ≤ z < a2); ось z направлена вправо, начало оси – на левом конце балки (рис.3,в);

QII = 6,278 qa; MII = 6,278qaz – 7,778qa2;

– третий участок (a4 – a3) ≤ z1 < (a4 – a2); ось z1 направлена влево, начало оси – в точке c (рис.3,г);

79