sopromat2
.pdfh1 = h4 = t; h2 = 0,5t; h3 = 0,3t; b1 = 5t; b2 = 3t; t = 0,1h, |
(1) |
приведенными при постановке задачи.
Используя условие прочности по нормальным напряжениям (2) находят необходимый осевой момент инерции сечения балки на каждом участке:
J ≥ |
max |
|
M |
|
|
ymax , |
(16) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
σadm |
|
|||||
где ymax – расстояние от нейтральной линии сечения до наиболее удаленного волокна.
Момент сопротивления поперечного сечения балки определяется по формуле:
W = J/ymax. |
(17) |
Для определения момента сопротивления W необходимо найти осевой момент инерции Jx относительно главной центральной оси x поперечного сечения балки (нейтральной линии), а также расстояние ymax от нейтральной линии сечения до наиболее удаленного волокна.
4.2. Определение геометрических характеристик нестандартных поперечных сечений балки. Поперечные сечения нестандартной формы разбивают на простейшие фигуры (прямоугольники, треугольники, трапеции, круги, круговые сегменты и т.п.), для которых имеются формулы для расчёта геометрических характеристик этих фигур: координат центра площади – xc, yc; площадей – A; моментов инерции сечения относительно собственных центральных осей xi , yi – Jxi , Jyi.
В приложении 1 представлены геометрические характеристики трапеции с двумя прямыми углами (прямоугольной трапеции), прямоугольного треугольника, кругового сегмента и полукруга.
Процедура определения главных моментов инерции сечения Jx состоит из следующих этапов:
–на масштабной бумаге вычерчивают поперечное сечение и расчленяют его на простые фигуры;
–выбирают положение осей x1 и y1;
–для каждой простой фигуры вычисляют положения центров площадей ci и указывают на чертеже положения главных центральных осей cixi , ciyi ;
вычисляют расстояния аi и bi между осями xi и x1 , yi и y1;
– для каждой простой фигуры вычисляют или выписывают из таблиц сортамента моменты инерции Jxi и площади поперечных сечений Аi;
– по формуле (19) определяют координату yc центра площади составного сечения и проводят главные оси инерции всего сечения х и у;
– вычисляют моменты инерции для всего сечения по формуле (18).
Ось симметрии сечения обязательно является его главной осью, поэтому положение главной оси y сечений на рис.4,а,б определяется
41
непосредственно. Вторая главная ось x перпендикулярна оси симметрии и проходит через центр площади сечения.
Согласно теореме о параллельном переносе осей координат главные центральные моменты инерции Jx вычисляют по формуле:
Jx = ∑(J |
|
+ a |
2A |
|
) , |
(18) |
i |
xi |
|
i |
i |
|
|
где Jxi – момент инерции каждой отдельной части составного сечения относительно собственной центральной оси xi, параллельной главной центральной оси всего сечения x; ai – расстояние между упомянутыми осями xi и x; Ai – площадь отдельной части составного сечения.
Рис.7. К определению геометрических характеристик поперечного сечения балки.
Координату yc центра площади составного сечения определяют по формуле:
yc |
= ∑S |
xi |
/A, |
(19) |
|
i |
|
|
где Sxi – статические моменты площадей отдельных частей составного сечения относительно какой-либо оси x1, параллельной главной центральной оси всего сечения x; A – площадь всего составного сечения.
Выразим осевой момент инерции поперечного сечения Jx для двутавра, показанного на рис.2, а также на рис.7,а, через высоту сечения h и определим ее числовые значения на разных участках балки из условия прочности (2) по нормальным напряжениям.
42
Представим двутавр совокупностью прямоугольников и треугольников, как показано на рис.7,б. Ось х1 проведем через центр площади прямоугольника 1.
Осевые моменты прямоугольного треугольника со сторонами b, h относительно его центральных осей x, y определяются выражениями (см. приложение 1):
J |
x |
= bh3/36 |
, |
J |
y |
= hb3/36 . |
(20) |
|
|
|
|
|
|
Площадь поперечного сечения на рис.7,б:
А = (h – h1 – h4)t + h1b1 + 2 0,5h2 0,5 (b1 – t) + h4b2 + 2 0,5h3 0,5 (b2 – t).
После подстановки размеров элементов поперечного сечения по формулам (1) получаем: A = 0,173 h2 .
Статический момент Sx1 площади двутавра относительно оси х1:
Sx1 = h1b1 0,5 (h – h1) + 2 0,5h2 0,5 (b1 – t) (0,5h – h1 – h2/3) –
–h4b2 0,5 (h – h4) – 2 0,5h3 0,5(b2 – t) (0,5h – h4 – h3/3).
Сучетом соотношений (1): Sx1 =11,663 t3.
Расстояние yc от центра площади двутавра до оси х1:
yc = Sx1 / A = 11,663t3 / 17,3t2 = 0,674t = 0,0674h .
Зная yc проводим главную центральную ось x.
Осевой момент инерции Jx двутавра относительно центральной оси х:
Jx = t (h – h1 – h4)3 / 12 + t (h – h1 – h4) y2 |
+ b1 h3 /12 + |
|
c |
1 |
|
+ b1h1 (0,5h – 0,5h1 – yc)2 + 2 [0,5(b1 – t)h23 /36 + |
|
|
+ 0,5h2 0,5(b1 – t) (0,5h – h1 – yc – h2/3)2] + |
(21) |
|
+ b2 h34 /12 + b2h4 (0,5h – 0,5h4 + yc)2 + 2[0,5(b2 – t) h33 /36 +
+0,5h3 0,5(b2 – t) (0,5h – h4 + yc – h3/3)2].
Сучетом соотношений (1):
Jx = 216,743t4 = 216,743 10-4 h4 .
Расстояние ymax от нейтральной оси х до наиболее удаленного волокна балки:
ymax = h / 2 + yc = 5t + 0,674t = 5,674t = 0,567h |
(22) |
Используя условие прочности (2) и допускаемые напряжения σadm = 30 МПа, τadm = 10 МПа, определяем требуемую высоту Hk (k=I, II, III, IV) поперечного сечения балки по участкам:
– участок I (0 ≤ z < 1 м):
43
σ |
(1) |
= max |
MI |
y |
(1) |
= 3 103 0,567HI |
= 78,48 103 ; |
||||||||||
|
max |
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(1) |
|
|
216,743 10 |
−4H4 |
H3 |
|||||||||||
|
|
|
Jx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
I |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
H |
I |
≥ |
3 |
|
78,48 103 |
|
= 0,138 м ; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
30 106 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– участок II (1 ≤ z < 3 м):
σ (2) |
= |
max |
M |
II |
|
y |
(2) |
|
|
= |
22,112 103 0,567H |
II |
= |
578,45 103 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
max |
|
10−4H4 |
|
|
|||||||||||
max |
|
(2) |
|
|
|
|
|
216,743 |
|
|
H3 |
|
|||||||
|
|
Jx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
H |
II |
≥ |
3 |
|
578,45 103 |
|
= 0,268 м ; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
30 106 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– участок III (3 ≤ z < 6 м):
σ |
(3) |
= max |
MIII |
y |
(3) |
= 21,776 103 0,567HIII = 569,66 103 ; |
||||||||||
|
max |
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
216,743 10 |
−4H4 |
H3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Jx |
|
|
|
|
|
|
|
III |
III |
||||
|
|
|
|
H |
|
|
≥ 3 |
569,66 103 |
|
= 0,267 м ; |
|
|
||||
|
|
|
|
III |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
30 106 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– участок IV (6 ≤ z < 10 м):
σ |
(4) |
= |
max |
MIV |
y |
(4) |
= |
40 103 |
0,567H |
IV |
|
= |
1046,4 103 |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
max |
|
|
|
max |
216,743 10−4H4 |
|
H3 |
||||||||||||
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Jx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV |
|
|
IV |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
H |
IV |
≥ 3 |
1046,4 103 |
|
= 0,327 м . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
30 106 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Высота поперечного сечения балки на втором и третьем участках мало отличается по величине, поэтому принимаем для дальнейших расчетов
HII = HIII = 0,268 м.
4.3. Проверка прочности балки по касательным напряжениям.
После подбора размеров поперечных сечений балки по нормальным напряжениям (условие (2)) необходимо проверить прочность балки по касательным напряжениям (условие (3)). Для выполнения этой проверки
44
необходимо найти максимальное значение статического момента отсеченной части площади поперечного сечения относительно нейтральной оси S(maxотс) .
Для верхней отсеченной части сечения по рис.7,б находим: |
|
S(max,1отс) = t (0,5h – h1 – yc) 0,5(0,5h – h1 – yc) + 2[0,5(b1 – t) h2 × |
|
× (0,5h – h1 – yc – h2 / 3)] + b1h1 (0,5h – 0,5h1 – yc) =27,819t3.. |
(23) |
Для нижней отсеченной части сечения получаем:
S(max,2отс) = t (0,5h – h4 + yc) 0,5(0,5h – h4 + yc) + 2[0,5(b2 – t) h3 ×
× (0,5h – h4 – h3 / 3 + yc)] + b2h4 (0,5h – 0,5h4 + yc) = 27,819t3 . (24)
Вычисление максимального значения статического момента отсеченной площади поперечного сечения для его верхней и нижней части служит проверкой правильности положения нейтральной оси, которая является главной центральной осью.
Принимаем S(maxотс) = 27,819t3 ≈ 0,0278h3. Максимальные значения касательных напряжений:
– на первом участке:
(1) |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2qa 0,0278HI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
τmax= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
216,743 10−4 H4 0,1H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
|
|
2 2 103 0,0278 |
|
|
= 2,69 106 < τadm =10 106Па; |
||||||||||||||||
|
|
|
216,743 10−4 (0,138)2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
– на втором и третьем участках: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
(2) |
(3) |
|
|
|
|
6,278qa 0,0278H |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
τmax= τmax |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
216,743 10−4H4 0,1H |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|
= |
6,278 2 103 0,0278 |
|
= 2,24 106 < τadm = 10 106Па; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
216,74310−4 (0,268)2 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
– на четвертом участке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(4) |
|
13,722qa 0,0278H |
3 |
|
|
|
|
|
13,722 2 103 0,0278 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||
τ max = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
216,743 10 |
−4 |
4 |
|
|
|
|
|
216,743 10 |
(0,327) |
0,1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
HIV 0,1H IV |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
45
= 3,29·106 < τadm = 10 106Па.
Условия прочности по касательным напряжениям выполнены. Таким образом, размеры поперечного сечения балки по условиям
прочности (2), (3) определены.
Далее необходимо проверить, удовлетворяет ли балка условиям жесткости. Расчеты балок на жесткость выполняются по специальным методикам, одна из которых применяется в задании № 5.
4.4. Оценка экономичности предлагаемых размеров балки.
Экономичность предлагаемых размеров поперечных сечений балки оценим, сравнивая затраты материала (железобетона) согласно выполненному проектировочному расчету, в котором учитывается разная напряженность участков балки и предлагается принимать разную высоту ее сечений, и затраты материала в соответствии расчетом, в котором не учитывается разная напряженность участков балки и предлагается принимать одинаковую высоту ее сечений по всей длине балки.
С этой целью вычислим объем балки V согласно выполненному проектировочному расчету и объем балки Vo в соответствии расчетом, в котором не учитывается разная напряженность участков балки, т.е. принимается одинаковая высота ее сечений по всей длине балки.
Площадь поперечных сечений балки A выражается через их высоту h по формуле A = 0,173 h2 ; вычисленная высота поперечных сечений балки составляет: HI= 0,138,HII = 0,268, HIII = 0,268, HIV = 0,327м; длины участков равны l1 = 1, l2 = 2, l3 = 3 и l4 = 4м. Вычисления V сведены в табл. 4.
Таблица 4
№ |
Длина |
Высота |
Площадь |
Объем |
уч-ка |
уч-ка, |
сечения, |
сечения, |
балки, |
|
м |
м |
м2 |
м3 |
I |
1 |
0,138 |
0,00329 |
0,329·10-2 |
II |
2 |
0,268 |
0,01243 |
0,02486 |
III |
3 |
0,268 |
0,01243 |
0,03729 |
IV |
4 |
0,327 |
0,0185 |
0,074 |
|
|
|
Всего: |
0,08972 м3 |
Если не учитывается разная напряженность участков балки, то в соответствии с условием прочности (2) принимается одинаковая высота ее сечений H = HIV = 0,327м по всей длине балки l = 10м. В этом случае площадь поперечного сечения балки Ao = 0,173·(0,327)2 = 0,0185 м2 , а объем балки Vo = 0,0185·10 = 0,185 м3.
Если же учитывается разная напряженность участков балки, то ее объем V = 0,08972 м3.
Разность объемов ΔV = Vo – V = 0,185 – 0,08972 = 0,09528 м3.
46
Перерасход материала Err составляет
Err = 0,09528 100% = 106%.
0,08972
Таким образом, затраты материала (железобетона) согласно выполненному проектировочному расчету, в котором учитывается разная напряженность участков балки и предлагается принимать разную высоту ее сечений, в два раза меньше, чем затраты материала в соответствии расчетом, в котором не учитывается разная напряженность участков балки и предлагается принимать одинаковую высоту ее сечений по всей длине балки.
Расчеты закончены.
47
Задание № 4. Определение несущей способности составной деревянной балки по допускаемым напряжениям.
1. Формулировка задания. В конструкциях деревянных зданий и инженерных сооружений (мостов, эстакад, пирсов, плотин и других сооружений) используются составные деревянные балки. Составные деревянные балки – это конструкции из двух-трех бревен или брусьев, соединенных между собой по длине колодками (шпонками) или нагелями. На рис.1, рис.2 представлены схемы составных трехъярусных балок на колодках и на пластинчатых нагелях. Размеры на рис.1, рис.2 – ориентировочные, указаны для визуальной оценки соотношений размеров.
Рис.1. Составная трехъярусная балка на колодках.
На рис.1 обозначено: 1– бревна или брусья; 2 – колодки; 3 – болты.
Рис.2.Составная трехъярусная балка на пластинчатых нагелях.
На рис.2 обозначено: 1– бревна или брусья; 2 – пластинчатые нагели; 3 – болты.
В задании требуется для составной деревянной балки, изготовленной из сосновых бревен, с известными формой и размерами поперечного сечения определить допускаемую нагрузку расчетом по допускаемым напряжениям.
Расчетные схемы балок приведены на рис.3,а,б; типы поперечных сечений – на рис.4 и рис.5; исходные данные – в таблице 1.
Номер расчетной схемы и числовые значения исходных данных выбираются из табл.1 по коду из трех цифр n2n1n0 , выданному преподавателем; n2 , n1 , n0 – три цифры кода студента: n2 – первая слева цифра, n1 – вторая слева цифра, n0 – последняя цифра кода.
48
Рис.3,а. Расчетные схемы балок 1÷5 к заданию №4.
В задании на выполнение расчета влажность древесины для балок с поперечным сечением типа 1 принимается равной 26% , а для балок с поперечным сечением типа 2 – 15%.
2. Основы прочностных расчетов деревянных конструкций.
Внутренние усилия в элементах деревянных конструкций допускается определять по линейно-упругой модели деформирования древесины. Пространственную конструкцию можно расчленять на отдельные плоские системы и рассчитывать их на прочность без учета
49
податливости элементов. При этом узловые соединения элементов сквозных конструкций в расчетных схемах принимают шарнирными.
Рис.3,б. Расчетные схемы балок 6÷0 к заданию №4.
Напряжения и деформации от изменения температуры, а также вследствие усушки и разбухании древесины, допускается не учитывать.
Действие сил трения учитывают только в случаях, когда трение ухудшает условия работы конструкции или соединения (коэффициент трения дерева по дереву в этих случаях допускается принимать равным 0,6).
50